Cím:	Még egyszer a B. 3438. feladatról
Szerző(k):	Dályay Pál Péter
Füzet:	2002/március, 139 - 145. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/február: B.3438

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az eredeti kérdés   A KöMaL 2001/7. szám 407. oldalán kitűzött feladat így szólt:   B. 3438. Az $f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ függvényre teljesül, hogy bármely $t$ valós számra $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x+t\mathrm{,}y+t\mathrm{,}z+t\right)}& {\displaystyle =t+f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle f\left(tx\mathrm{,}ty\mathrm{,}tz\right)}& {\displaystyle =t\cdot f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)}& {\displaystyle =f\left(y\mathrm{,}z\mathrm{,}x\right)=f\left(x\mathrm{,}z\mathrm{,}y\right)}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (1) Mennyi $f\left(\mathrm{2000,2001,2002}\right)$? Tűzzük ki célul a feladatbeli függvényegyenlet-rendszer megoldását, azaz valamennyi, a fenti előírásnak eleget tevő függvény meghatározását. Ehhez először a háromváltozós függvényről szóló kérdést egyváltozós függvény keresésére vezetjük vissza. Az első két egyenletből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(\mathrm{0,0,0}\right)}& {\displaystyle =0\cdot f\left(\mathrm{0,0,0}\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle f\left(x\mathrm{,}x\mathrm{,}x\right)}& {\displaystyle =x+f\left(\mathrm{0,0,0}\right)=x\mathrm{,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ valamint $x\ne y$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)=x+f\left(\mathrm{0,}y-x\mathrm{,}z-x\right)=x+\left(y-x\right)f\left(\mathrm{0,1,}\frac{z-x}{y-x}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Vezessük most be az egyváltozós $g$ függvényt a következőképpen: legyen $g\left(t\right)=f\left(\mathrm{0,1,}t\right)$; ekkor az előző összefüggés $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)=x+\left(y-x\right)\cdot g\left(\frac{z-x}{y-x}\right)}\end{array}$ alakba írható. Vegyük figyelembe, hogy $f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ értéke nem függ az $x\mathrm{,}y\mathrm{,}z$ változók sorrendjétől. Így az $x$ és $y$ felcserélésével azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)=f\left(y\mathrm{,}x\mathrm{,}z\right)=y+\left(x-y\right)\cdot g\left(\frac{z-y}{x-y}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A két utóbbi összefüggés jobb oldalai egyenlők; legyen ($x\ne y$ esetén) $t=\frac{z-x}{y-x}$, ekkor $1-t=\frac{z-y}{x-y}$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+\left(y-x\right)g\left(t\right)}& {\displaystyle =y+\left(x-y\right)g\left(1-t\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle g\left(t\right)+g\left(1-t\right)}& {\displaystyle =\frac{y-x}{y-x}=1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Hasonlóan kapjuk $f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)=f\left(x\mathrm{,}z\mathrm{,}y\right)$ figyelembevételével, hogy $x\ne z$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+\left(y-x\right)\cdot g\left(t\right)=f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)}& {\displaystyle =f\left(x\mathrm{,}z\mathrm{,}y\right)=x+\left(z-x\right)g\left(\frac{1}{t}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle g\left(t\right)}& {\displaystyle =t\cdot g\left(\frac{1}{t}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A $g$ függvény tehát kielégíti a $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle g\left(t\right)+g\left(1-t\right)=1}& {\displaystyle \left(\text{minden }t\in \text{R}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle g\left(t\right)=t\cdot g\left(\frac{1}{t}\right)}& {\displaystyle \left(\text{minden }0\ne t\in \text{R}\right)}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (2) egyenleteket. Vegyük észre, hogy másrészt $g$ ‐ mint láttuk ‐ meghatározza $f$-et: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle x+\left(y-x\right)\cdot g\left(\frac{z-x}{y-x}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≠</mo><mi>y</mi></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle x+\left(z-x\right)\cdot g\left(\frac{y-x}{z-x}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≠</mo><mi>z</mi></math>}}\hfill \\ {\displaystyle x\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle ha\text{x = y = z}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (3) és könnyen ellenőrizhető, hogy ha egy tetszőleges $g$ függvény kielégíti a (2) összefüggéseket, akkor a (3) szerint belőle (vissza)kapott $f$ teljesíti (1)-et. (Nem okoz ellentmondást az, ahogy $y\ne x\ne z$ esetén $f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ értékét eredetileg értelmeztük, mivel a (2) teljesülése miatt ezek ugyanazt adják.) Ezek szerint a továbbiakban elegendő a (2) követelményt teljesítő $g$ függvényeket meghatározni. Előbb azonban következzék egy kis kitérő.   2. Transzformációcsoportok   Legyen $H$ egy halmaz, és tegyük fel, hogy értelmezett rajta egy (pl. ,,szorzással'' vagy az elemek puszta egymás után írásával jelölt) művelet: minden $a\mathrm{,}b\in H$-ra $a\cdot b$ (egyszerűbben: $ab$) is egy jól meghatározott eleme a $H$-nak. Tegyük fel, hogy van olyan $e$ elem a $H$-ban, hogy minden $a\in H$-ra $ea=ae=a$ teljesül; ilyenkor azt mondjuk, hogy $e$ egységeleme a $H$-nak. Tételezzük fel továbbá, hogy a $H$ minden $c$ eleméhez létezik olyan $c\text{'}$ elem, amelyre $cc\text{'}=c\text{'}c=e$; az ilyen $c\text{'}$ elemet a $c$ inverzének hívjuk. Ha mindezeken túl a $H$-n értelmezett művelet még asszociatív is, azaz teljesíti (minden $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\in H$-ra) az $a\cdot \left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c$ azonosságot, akkor azt mondjuk, hogy $H$ csoport erre a műveletre. A csoportok nagyon sok helyen fordulnak elő a matematikában; már tanulmányaink legelején is találkozhatunk velük, hiszen például az egész számok halmaza csoport az egész számok összeadásának műveletére. Ugyanígy csoportot alkotnak a nemnulla valós számok a valós számok szorzására, stb. Ezeknél a ,,számtanos'' példáknál azonban sokkal fontosabb és jellemzőbb példa csoportra az, amikor a csoport elemei nem számok, hanem egy halmaz bizonyos tulajdonságú leképezései, a köztük értelmezett művelet pedig a leképezések egymás után alkalmazása, azaz kompozíciója.   1. példa. Legyen $X$ tetszőleges halmaz, és jelölje $H$ az összes $X\to X$ bijektív leképezések halmazát. (Egy $f:X\to X$ leképezés bijektív, ha minden $x\ne y$ esetén $f\left(x\right)\ne f\left(y\right)$, valamint az $X$ halmaz minden eleme az $f$-nél vett képe egy-egy alkalmas $X$-beli elemnek: (minden $x\in X$) (van olyan $y\in X)$ $f\left(y\right)=x$. Mivel az $f$ különböző elemeket különböző elemekbe képez, azért látható, hogy minden $x\in X$-hez pontosan egy olyan $y\in X$ található, amelyre $f\left(y\right)=x$.) Könnyen látható, hogy két bijektív leképezésnek a kompozíciója is bijektív, és az is egyszerűen igazolható, hogy a leképezések kompozíciója asszociatív művelet. Jelölje $\epsilon$ az $X$ halmaz identikus leképezését $(\left(\forall x\in X\right)$ $\epsilon \left(x\right)=x)$; ekkor tetszőleges $f:X\to X$ leképezésre és $x\in X$-re $\begin{array}{c}{\displaystyle \epsilon \left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)=f\left(\epsilon \left(x\right)\right)\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\epsilon \circ f=f\circ \epsilon =f$. Ez azt jelenti, hogy $\epsilon$ egységeleme a $H$-nak a kompozíció ($\circ$-rel jelölt) műveletére. Végül, ha $f:X\to X$ bijektív leképezés, akkor definiáljuk az $f\text{'}$ leképezést $X$-en a következőképpen: minden $x\in X$-hez van pontosan egy olyan $y\in X$, amelyre $f\left(y\right)=x$; legyen $f\text{'}\left(x\right)=y$. Ebből egyszerűen belátható, hogy $f\circ f\text{'}=\epsilon =f\text{'}\circ f$, vagyis $f\text{'}$ az $f$ inverze, és $f\text{'}$ is bijektív. Tehát $H$ csoport a kompozíció műveletére.   2. példa. Tekintsük a következő függvényeket: $\epsilon :x\mapsto x$, $\sigma :x\mapsto 1-x$, $\theta :x\mapsto \frac{1}{x}$, $\alpha :x\mapsto \frac{x-1}{x}$, $\beta :x\mapsto \frac{x}{x-1}$, $\gamma :x\mapsto \frac{1}{1-x}$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \sigma \circ \theta :x\mapsto 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\mathrm{,}}\end{array}$ így $\sigma \circ \theta =\alpha$. Hasonlóan például $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta \circ \beta :x\mapsto \frac{\beta \left(x\right)}{\beta \left(x\right)-1}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{x-1}}}{{\displaystyle \frac{x}{x-1}}-1}=\frac{x}{x-\left(x-1\right)}=x\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\beta \circ \beta =\epsilon$. Folytatva ezt a számolást belátható, hogy a $G=\left\{\epsilon \mathrm{,}\theta \mathrm{,}\sigma \mathrm{,}\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{,}\gamma \right\}$ halmazba tartozó bármely két függvény kompozíciója is a $G$-hez tartozik. A számolás eredményeit a következő ,,szorzótábla'' foglalja össze (bekereteztük a két, imént részletezett ,,szorzás'' eredményét).   Mivel leképezések kompozíciója asszociatív, azért a kompozíció a $G$ halmazon is asszociatív művelet. Egységelem is van, az $\epsilon$. A táblázatból leolvasható, hogy $\alpha$ és $\gamma$ egymás inverzei, míg $\epsilon$, $\theta$, $\sigma$ és $\beta$ önmaguk inverzei; tehát $G$ csoport a függvénykompozíció (az összetett függvény képzése) műveletére.   3. Orbit és transzverzális. Tegyük föl, hogy $X$ egy halmaz, és $H$ az $X$ bizonyos, önmagára történő leképezéseinek a halmaza úgy, hogy e leképezések csoportot alkotnak a kompozíció műveletére; tegyük fel továbbá azt is, hogy $H$ egységeleme az $\epsilon$ identikus leképezés (ez mindkét példánkban teljesült). Jelölje $x$ az $X$ halmaz tetszőleges elemét. Az $x$ orbitjának nevezzük az $X$ azon elemeinek az összességét, amelyeket megkaphatunk $x$-nek valamelyik $H$-beli leképezésnél vett képeként; ez éppen az $\left\{\eta \left(x\right)\mid \eta \in H\right\}$ halmaz.   Mit mondhatunk két orbit viszonyáról? Tekintsük ehhez két tetszőleges elem, $x$ és $y$ orbitját. Ha ezeknek nincs közös elemük, akkor persze $y$ nem eleme az $x$ orbitjának, csakúgy, mint $x$ sem az $y$-énak. Ez azt jelenti, hogy ilyenkor nincs olyan $H$-beli leképezés, amely $x$-et $y$-ba képezné, és olyan sem, ami az $y$-t képezné $x$-be. A másik lehetséges eset az, hogy $x$ és $y$ orbitjának létezik közös eleme, pl. $z$. Ekkor van olyan ${\eta }_1$ és ${\eta }_2\in H$, hogy ${\eta }_1\left(x\right)=z$, ${\eta }_2\left(y\right)=z$. Jelölje ${\eta }_2$ inverzét az $\eta \text{'}$; ekkor $y=\epsilon \left(y\right)=\eta \text{'}\left({\eta }_2\left(y\right)\right)=\eta \text{'}\left(z\right)$, így $\eta \text{'}\left({\eta }_1\left(x\right)\right)=\eta \text{'}\left(z\right)=y$, azaz $\eta \text{'}\circ {\eta }_1$ az $x$-et $y$-ba képezi: $y$ tehát benne van az $x$ orbitjában. Ekkor azonban az $y$ orbitja: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left\{\xi \left(y\right)\mid \xi \in H\right\}}& {\displaystyle =\left\{\xi \left(\left[\eta \text{'}\circ {\eta }_1\right]\left(x\right)\right)\mid \xi \in H\right\}=\left\{\left[\xi \circ \eta \text{'}\circ {\eta }_1\right]\left(x\right)\mid \xi \in H\right\}\subseteq }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \subseteq \left\{\zeta \left(x\right)\mid \zeta \in H\right\}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Azt kaptuk, hogy $y$ orbitja része az $x$ orbitjának. Ugyanígy látható be az is, hogy az $x$ orbitja része az $y$ orbitjának, tehát a két orbit egyenlő. Ezzel beláttuk, hogy két orbit vagy egyenlő egymással, vagy diszjunktak.   Egy, az orbithoz szorosan kapcsolódó fogalom a transzverzális. Az $X$ egy részhalmazát transzverzálisnak nevezzük, ha minden orbitból pontosan egy elemet tartalmaz. Nézzük meg, mik az orbitok és a transzverzálisok két korábbi példánkban. Az első példában egyetlen orbit van: maga az egész $X$ halmaz, hiszen minden $x\mathrm{,}y\in X$-re van (általában nem is egy) olyan bijektív leképezés, ami $x$-et $y$-ba képezi. Így az $X$ bármelyik eleme egy transzverzális. Sokkal érdekesebb a 2. példa esete. Ha $r$ egy valós szám, és mind a hat $G$-beli függvény értelmezve van $r$-ben, akkor $r$ orbitja, $\left\{h\left(r\right)\mid h\in G\right\}$ legfeljebb hat számból áll. Mivel minden olyan valós szám, amin $G$ elemei értelmezettek eleme egy orbitnak, az orbitok száma ezúttal végtelen. (A 0 és az 1 az a két szám, ahol függvényeink némelyike nincs értelmezve; ezeket egyelőre figyelmen kívül hagyjuk.) Megmutatjuk, hogy ha a $G$-beli függvényeket csak a 0-tól és 1-től különböző valós számokon értelmezzük, akkor a $\left[\mathrm{2,}+\infty \right)$ félegyenes pontjai transzverzálist alkotnak. Ehhez tekintsük a következő, egyszerűen belátható egyenlőtlenségeket: $\begin{array}{c}{\displaystyle r>2\Rightarrow \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \sigma \left(r\right)=1-r<-1\Rightarrow \sigma \left(\left(\mathrm{2,}+\infty \right)\right)=\left(-\infty \mathrm{,}-1\right)}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle -1<\gamma \left(r\right)=\frac{1}{1-r}<0\Rightarrow \gamma \left(\left(\mathrm{2,}+\infty \right)\right)=\left(-\mathrm{1,0}\right)}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 0<\theta \left(r\right)=\frac{1}{r}<\frac{1}{2}\Rightarrow \theta \left(\left(\mathrm{2,}+\infty \right)\right)=\left(\mathrm{0,}\frac{1}{2}\right)}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \frac{1}{2}<\alpha \left(r\right)=\frac{r-1}{r}<1\Rightarrow \alpha \left(\left(\mathrm{2,}+\infty \right)\right)=\left(\frac{1}{2}\mathrm{,1}\right)}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 1<\beta \left(r\right)=\frac{r}{r-1}<2\Rightarrow \beta \left(\left(\mathrm{2,}+\infty \right)\right)=\left(\mathrm{1,2}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Leolvasható, hogy minden, a 0-tól, 1-től, $\left(-1\right)$-től, $\frac{1}{2}$-től és 2-től különböző szám előáll pontosan egy $\left(\mathrm{2,}+\infty \right)$-beli számnak (pontosan) egy $G$-beli függvény szerinti értékeként. Mivel a kimaradt $-\mathrm{1,}\frac{1}{2}\mathrm{,2}$ számok egy orbitot alkotnak (ez az egyetlen háromelemű orbit), beláttuk, hogy $\left[\mathrm{2,}+\infty \right)$ valóban transzverzális.   3. A függvényegyenletek megoldása   Fogalmazzuk meg a (2)-ben szereplő egyenleteket a $G$ csoportot alkotó függvényeknek a nyelvén: az első egyenlet azt jelenti, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(\sigma \left(t\right)\right)=\sigma \left(g\left(t\right)\right)=1-g\left(t\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (4) a második pedig azt, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(\theta \left(t\right)\right)=\frac{g\left(t\right)}{t}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) A $G$-beli művelet segítségével (4)‐(5) következményeként kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \left(6\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle g\left(\alpha \left(t\right)\right)}& {\displaystyle =g\left(\sigma \left(\theta \left(t\right)\right)\right)=\sigma \left(g\left(\theta \left(t\right)\right)\right)=1-\frac{g\left(t\right)}{t}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \left(7\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle g\left(\beta \left(t\right)\right)}& {\displaystyle =g\left(\theta \left(\alpha \left(t\right)\right)\right)=\frac{g\left(\alpha \left(t\right)\right)}{\alpha \left(t\right)}=\frac{1-{\displaystyle \frac{g\left(t\right)}{t}}}{{\displaystyle \frac{t-1}{t}}}=\frac{t-g\left(t\right)}{t-1}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \left(8\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle g\left(\gamma \left(t\right)\right)}& {\displaystyle =g\left(\theta \left(\sigma \left(t\right)\right)\right)=\frac{g\left(\sigma \left(t\right)\right)}{\sigma \left(t\right)}=\frac{1-g\left(t\right)}{1-t}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A $g$-re megkövetelt egyenletek tehát kizárólag az azonos orbithoz tartozó helyeken fölvett értékekre írnak elő bizonyos összefüggéseket. Másrészt az is kiderült, hogy ha ismerjük a $g$ függvény értékét egy $t\ne \mathrm{0,1}$ helyen, akkor ez (4-8) alapján már egyértelműen meghatározza a $g$ értékét a $t$ orbitjába tartozó helyeken. Az előző részben láttuk, hogy ha $r\ne -\mathrm{1,0,}\frac{1}{2}\mathrm{,1,2}$, akkor pontosan egy olyan $t\in \left(\mathrm{2,}+\infty \right)$ és $\eta \in G$ létezik, amelyre $r=\eta \left(t\right)$. Tehát $g$ értékeit tetszés szerint megadhatjuk a $\left(\mathrm{2,}+\infty \right)$ félegyenesen, ezekből (4)‐(8) szerint ellentmondástól mentesen megkapjuk $g$ értékeit mindenhol, kivéve a $-1$, 0, $\frac{1}{2}$, 1, 2 helyeket. Az így kapott függvényre ‐ megadásának módjából következően ‐ nyilvánvalóan teljesülnek a (4)‐(8) összefüggések, tehát az ezekkel ekvivalens (2) egyenletek is. A $\left\{-\mathrm{1,2,}\frac{1}{2}\right\}$ orbit valamelyik helyén, pl. 2-ben azonban már nem írható elő tetszés szerint a $g$ értéke. Ennek az az oka, hogy $\beta \left(2\right)=2$, így, ha $g\left(2\right)=s$, akkor (7) szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle s=g\left(2\right)=g\left(\beta \left(2\right)\right)=\frac{2-g\left(2\right)}{2-1}=2-s\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $g\left(2\right)=s=1$, így (5) és (8) szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)=g\left(\theta \left(2\right)\right)=\frac{g\left(2\right)}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{,}\text{és}g\left(-1\right)=g\left(\gamma \left(2\right)\right)=\frac{1-g\left(2\right)}{1-2}=0.}\end{array}$ Könnyen ellenőrizhető, hogy ezekkel az értékekkel már teljesül (2) a $t=-\mathrm{1,}\frac{1}{2}\mathrm{,2}$ helyeken is. A még fennmaradt $t=\mathrm{0,1}$ helyeken a (2) követelmény csupán $g\left(0\right)+g\left(1\right)=1$ teljesülését kívánja, ezért ha egy tetszés szerint megválasztott $v$ számmal $g\left(0\right)=v$, akkor $g\left(1\right)=1-v$ megfelelő.   A (2) egyenletrendszer megoldása tehát a következő. Legyen $h$ tetszőleges, a $\left(\mathrm{2,}+\infty \right)$ félegyenesen értelmezett függvény, $v$ pedig valós szám. Ekkor, a $G$ szorzótábláját is felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(t\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle g\left(\sigma \left(\sigma \left(t\right)\right)\right)=1-g\left(\sigma \left(t\right)\right)=1-h\left(1-t\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo stretchy="false"><</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \mathrm{0,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle g\left(\gamma \left(\alpha \left(t\right)\right)\right)=\frac{1-g\left(\alpha \left(t\right)\right)}{1-\alpha \left(t\right)}=\frac{1-h\left(\frac{t-1}{t}\right)}{1-\frac{t-1}{t}}=t-t\cdot h\left(\frac{t-1}{t}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle v\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle g\left(\theta \left(\theta \left(t\right)\right)\right)=\frac{g\left(\theta \left(t\right)\right)}{\theta \left(t\right)}=\frac{h\left(\frac{1}{t}\right)}{\frac{1}{t}}=t\cdot h\left(\frac{1}{t}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false"><</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle g\left(\alpha \left(\gamma \left(t\right)\right)\right)=1-\frac{g\left(\gamma \left(t\right)\right)}{\gamma \left(t\right)}=1-\frac{h\left(\frac{1}{1-t}\right)}{\frac{1}{1-t}}=1+\left(t-1\right)\cdot h\left(\frac{1}{1-t}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false"><</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 1-v\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle g\left(\beta \left(\beta \left(t\right)\right)\right)=\frac{\beta \left(t\right)-g\left(\beta \left(t\right)\right)}{\beta \left(t\right)-1}=\frac{\frac{t}{t-1}-h\left(\frac{t}{t-1}\right)}{\frac{t}{t-1}-1}=t+\left(1-t\right)\cdot h\left(\frac{t}{t-1}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>2</mn></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \mathrm{1,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></math>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle h\left(t\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo stretchy="false">></mo><mn>2</mn></math>.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az eredeti feladatban szereplő $f$ függvényt innen a (3) szerint kaphatjuk meg.