Kezdőlap


Cím:	William Lowell PUTNAM Matematikaverseny 2001
Füzet:	2002/február, 74 - 75. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A1. Tekintsünk egy $S$ halmazt és a halmazon egy kétváltozós $*$ műveletet (ami azt jelenti, hogy bármely két $S$ -beli $a$ , $b$ esetén $a * b$ is $S -$ beli). Tegyük föl, hogy $(a * b) * a = b$ teljesül minden $S$ -beli $a$ , $b$ -re. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $a * (b * a) = b$ is teljesül minden $S$ -beli $a, b$ -re.

A2. Adottak az

E_{1}, E_{2}, ..., E_{n}

érmék. Egyikük sem igazságos, a

k

-adikon a fej dobásának a valószínűsége

\frac{1}{2 k + 1}

. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az

n

darab érmét feldobva páratlan számú fejet kapunk? A választ adjuk meg az

n

racionális függvényeként.

A3. Adott

m

egész számra tekintsük a

P_{m} (x) = x^{4} - (2 m + 4) x^{2} + {(m - 2)}^{2}

polinomot. Az

m

milyen értékeire bomlik

P_{m} (x)

két nem-konstans egész együtthatós polinom szorzatára?

A4. Az

A B C

háromszög területe egységnyi. Az

E

F

és a

G

pontok rendre a

B C

C A

, illetve

A B

oldalakon vannak úgy, hogy

A E

R

pontban felezi

B F

-et,

B F

S

pontban felezi

C G

-t, végül

C G

T

pontban felezi

A E

-t. Mekkora az

R S T

háromszög területe?

A5. Bizonyítsuk be, hogy az

a^{n + 1} - {(a + 1)}^{n} = 2001

egyenlőség pontosan egy pozitív egész

a, n

számpárra teljesül.

A6. Lehet-e egy egységnyi sugarú kör belsejében lévő parabolaív hossza 4 egységnél nagyobb?

B1. Legyen

n

pozitív páros szám. Írjuk az

1,2, ..., n^{2}

számokat egy

n \times n

-es táblázat mezőibe úgy, hogy a táblázat

k

-adik sorában az elemek balról jobbra olvasva rendre

\begin{matrix} (k - 1) n + 1, (k - 1) n + 2, ..., (k - 1) n + n \end{matrix}

legyenek (

k = 1,2, ..., n

Színezzük ki az így kitöltött táblázat mezőit piros és fekete színnel úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a mezők fele piros, a másik fele pedig fekete legyen. (A sakktábla-szerű színezés például egy lehetőség.) Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen színezésre a piros és a fekete mezőkön lévő számok összege egyenlő.

B2. Melyek azok az

(x, y)

valós számok, amelyekre teljesül az alábbi egyenletrendszer?

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} & = (x^{2} + 3 y^{2}) (3 x^{2} + y^{2}) \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{2 y} & = 2 (y^{4} - x^{4}) . \end{matrix} \end{matrix}

B3. Tetszőleges pozitív egész

n

számra jelölje

〈 n 〉

\sqrt[]{n}

-hez legközelebb eső egész számot. Mennyi a

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{〈 n 〉} + 2^{- 〈 n 〉}}{2^{n}} \end{matrix}

összeg értéke?

B4. Jelölje

S

- 1,0,1

számoktól különböző racionális számok halmazát és legyen

f : S \to S

f (x) = x - \frac{1}{x}

. Bizonyítsuk be, vagy cáfoljuk meg, hogy

⋂_{n = 1}^{\infty} f^{(n)} (S) = \emptyset

, ahol

f^{(n)} = {\underset{︸}{f \circ f \circ \dots \circ f}}_{n}^{}

B5. Legyenek

a

és

b

valós számok a

(0, \frac{1}{2})

intervallumban, a

g

pedig olyan valós értékű függvény, amelyre

g (g (x)) = a g (x) + b x

minden valós

x

-re. Bizonyítsuk be, hogy valamilyen

c

konstanssal

g (x) = c x

B6. Legyen az

{(a_{n})}_{n \geq 1}

pozitív tagú szigorúan monoton növő sorozat, amelyre

{lim}_{n \to \infty}^{} \frac{a_{n}}{n} = 0.

Van-e ekkor végtelen sok pozitív egész

n

, amelyre teljesül, hogy

a_{n - i} + a_{n + i} < 2 a_{n}

, ha

i = 1,2, ..., n - 1