A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A1. Tekintsünk egy halmazt és a halmazon egy kétváltozós műveletet (ami azt jelenti, hogy bármely két -beli , esetén is beli). Tegyük föl, hogy teljesül minden -beli , -re. Bizonyítsuk be, hogy ekkor is teljesül minden -beli -re.
A2. Adottak az érmék. Egyikük sem igazságos, a -adikon a fej dobásának a valószínűsége . Mennyi a valószínűsége annak, hogy az darab érmét feldobva páratlan számú fejet kapunk? A választ adjuk meg az racionális függvényeként.
A3. Adott egész számra tekintsük a polinomot. Az milyen értékeire bomlik két nem-konstans egész együtthatós polinom szorzatára?
A4. Az háromszög területe egységnyi. Az , és a pontok rendre a , , illetve oldalakon vannak úgy, hogy az pontban felezi -et, az pontban felezi -t, végül a pontban felezi -t. Mekkora az háromszög területe?
A5. Bizonyítsuk be, hogy az egyenlőség pontosan egy pozitív egész számpárra teljesül.
A6. Lehet-e egy egységnyi sugarú kör belsejében lévő parabolaív hossza 4 egységnél nagyobb?
B1. Legyen pozitív páros szám. Írjuk az számokat egy -es táblázat mezőibe úgy, hogy a táblázat -adik sorában az elemek balról jobbra olvasva rendre | | legyenek (). Színezzük ki az így kitöltött táblázat mezőit piros és fekete színnel úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a mezők fele piros, a másik fele pedig fekete legyen. (A sakktábla-szerű színezés például egy lehetőség.) Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen színezésre a piros és a fekete mezőkön lévő számok összege egyenlő.
B2. Melyek azok az valós számok, amelyekre teljesül az alábbi egyenletrendszer? | |
B3. Tetszőleges pozitív egész számra jelölje a -hez legközelebb eső egész számot. Mennyi a összeg értéke?
B4. Jelölje a számoktól különböző racionális számok halmazát és legyen , . Bizonyítsuk be, vagy cáfoljuk meg, hogy , ahol .
B5. Legyenek és valós számok a intervallumban, a pedig olyan valós értékű függvény, amelyre minden valós -re. Bizonyítsuk be, hogy valamilyen konstanssal .
B6. Legyen az pozitív tagú szigorúan monoton növő sorozat, amelyre Van-e ekkor végtelen sok pozitív egész , amelyre teljesül, hogy , ha ? |