Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a 2001/9. sz. feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2002/január, 31 - 33. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A háromszög középvonalára vonatkozó tétel alkalmazásával adódik, hogy a négyszög átlóinak hossza 12 egység, az átlók szöge $30^{\circ}$ , így a négyszög területe

\begin{matrix} T = \frac{12 \cdot 12 \cdot sin 30^{\circ}}{2}, T = 36 területegység. \end{matrix}

(Végtelen sok ilyen négyszög létezik.)

2. Az egyenlőtlenségben szereplő kifejezések akkor értelmezettek, ha

\begin{matrix} x > 0, x \neq 1, - 2 x^{2} - 2 x + 4 > 0 és 4 - 3 x > 0. \end{matrix}

Ez akkor teljesül, ha

0 < x < 1

.
Mivel a logaritmus alapszáma 0 és 1 között változik és a logaritmusfüggvény minden ilyen alapszámra szigorúan monoton csökkenő, ezért

\begin{matrix} - 2 x^{2} - 2 x + 4 \leq 4 - 3 x, azaz 2 x (x - \frac{1}{2}) \geq 0. \end{matrix}

Az egyenlőtlenség megoldásai:

\frac{1}{2} \leq x < 1

3. A feltételek és a koszinusztétel alkalmazásával

(a^{2} + b^{2} - c_{1}^{2}) + 2 a b = 2 a b - \sqrt[]{2} a b

(a^{2} + b^{2} - (a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ_{1})) = 2 a b - \sqrt[]{2} a b

, ahonnan

cos γ_{1} = - \frac{\sqrt[]{2}}{2}

γ_{1} = 135^{\circ}

, illetve

c_{2}^{2} - (a^{2} + b^{2} - 2 a b) = 2 a b + \sqrt[]{2} a b

a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ_{2} - a^{2} - b^{2} + 2 a b = 2 a b + \sqrt[]{2} a b

, ahonnan

cos γ_{2} = - \frac{\sqrt[]{2}}{2}

γ_{2} = 135^{\circ}

, tehát

γ_{1} = γ_{2}

c_{1} = c_{2}

, a két háromszög egybevágó, így természetesen a területük egyenlő.

4. Vegyük észre, hogy

\begin{matrix} x + 4 + 2 \sqrt[]{x + 3} = (x + 3) + 2 \sqrt[]{x + 3} + 1 = {(\sqrt[]{x + 3} + 1)}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} 2 x + 3 - 4 \sqrt[]{2 x - 1} = (2 x - 1) - 4 \sqrt[]{2 x - 1} + 4 = {(\sqrt[]{2 x - 1} - 2)}^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} | \sqrt[]{x + 3} + 1 | - | \sqrt[]{2 x - 1} - 2 | = 3, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{x + 3} - | \sqrt[]{2 x - 1} - 2 | = 2. \end{matrix}

Az egyenlet akkor értelmezett, ha

x \geq \frac{1}{2}

.
Ha

\sqrt[]{2 x - 1} \geq 2

x \geq \frac{5}{2}

, akkor

\sqrt[]{x + 3} = \sqrt[]{2 x - 1}

x_{1} = 4

és ez valóban megoldás.
Ha

0 \leq \sqrt[]{2 x - 1} < 2

, azaz

\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}

, akkor

\sqrt[]{x + 3} + \sqrt[]{2 x - 1} = 4

, ahonnan

x_{2} = 52 - 8 \sqrt[]{39}

.
Az egyenlet megoldásai

x_{1}

és

x_{2}

5. Alkalmazzuk a

sin^{2} x = \frac{1}{2} (1 - cos 2 x)

cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + cos 2 x)

valamint a

2 sin x cos x = sin 2 x

azonosságokat:

\begin{matrix} \begin{matrix} f (x) & = \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} (1 - cos 2 x - (1 + cos 2 x)) + 3 sin 2 x; \\ f (x) & = 3 (sin 2 x - \sqrt[]{3} cos 2 x); \\ f (x) & = 6 (\frac{1}{2} sin 2 x - \frac{\sqrt[]{3}}{2} cos 2 x) . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

\frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}

és

\frac{\sqrt[]{3}}{2} = sin \frac{π}{3}

, ezért

\begin{matrix} f (x) = 6 sin (2 x - \frac{π}{3}) . \end{matrix}

f (x)

legnagyobb értéke 6, amit akkor vesz fel, ha

sin (2 x - \frac{π}{3}) = 1

x = \frac{5 π}{12} + k π

k \in Z

f (x)

legkisebb értéke

- 6

, amit akkor vesz fel, ha

x = \frac{11 π}{12} + k π

k \in Z

6. Legyen a mértani sorozat négy tagja:

a

a q

a q^{2}

a q^{3}

. Ekkor a számtani sorozat négy egymást követő tagja:

a - 1

a q + 6

a q^{2} + 4

a q^{3} - 4

.
A számtani sorozat második tagjától bármely tagjának kétszerese egyenlő a szomszédos tagok összegével, így

\begin{matrix} a - 1 + a q^{2} + 4 = 2 (a q + 6) és a q + 6 + a q^{3} - 4 = 2 (a q^{2} + 4) . \end{matrix}

Ezekből

a {(q - 1)}^{2} = 9

a q {(q - 1)}^{2} = 6

q = \frac{2}{3}

a = 81

. A négy szám: 80, 60, 40, 20.

7. Az

E

érintési pont abszcisszája,

3 x_{0} - 4 \cdot 9 = - 45

x_{0} = - 3

. Az

e

egyenes az

x

tengelyt az

A (- 15; 0)

pontban metszi. A feltételeknek két kör felel meg, a körök az

x

tengelyt az

F_{1}

és

F_{2}

pontban érintik. Egy külső pontból a körhöz húzható érintőszakaszok egyenlősége miatt

A E = A F_{1} = A F_{2}

A E^{2} = 12^{2} + 9^{2} = 15^{2}

A E = 15

, tehát

A F_{1} = A F_{2} = 15

, így

F_{1} (0,0)

F_{2} (- 30,0)

. A keresett körök középpontjai rajta vannak a közös érintőre az

E

pontban merőleges egyenesen, valamint az

x = 0

, illetve

x = - 30

egyenletű egyeneseken, így

u_{1} = 0

u_{2} = - 30

és mivel

4 x + 3 y = 15

, ezért

v_{1} = 5

v_{2} = 45

. A körök egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25 illetve {(x + 30)}^{2} + {(y - 45)}^{2} = 2025. \end{matrix}

Megjegyzés. A feladat sokféle módon oldható meg, paraméteresen, szögfelező alkalmazásával, trigonometria, illetve elemi geometria alkalmazásával.

8. Az egyenletnek akkor valósak a gyökei, ha az egyenlet diszkriminánsa nem negatív, azaz

\begin{matrix} 4 - 4 {(a - 1)}^{2} \geq 0, 1 \geq {(a - 1)}^{2}, 1 \geq | a - 1 |, - 1 \leq a - 1 \leq 1, 0 \leq a \leq 2. \end{matrix}

A gyökök összege, illetve szorzata:

x_{1} + x_{2} = 2

x_{1} x_{2} = {(a - 1)}^{2}

, így

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 - 2 {(a - 1)}^{2}

. Mivel

0 \leq {(a - 1)}^{2} \leq 1

, ezért

- 2 \leq - 2 {(a - 1)}^{2} \leq 0

és

2 \leq 4 - 2 {(a - 1)}^{2} \leq 4

.
A gyökök négyzetösszegének legkisebb értéke 2, amit

a = 0

és a

a = 2

esetén vesz fel; a gyökök négyzetösszegének legnagyobb értéke 4, amit

a = 1

esetén vesz fel.