A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A múlt havi számunkban közreadtuk a 2001. évi őszi Ankét totó-kérdéseit. A telitalálatos szelvény: | | találatos szelvény egyetlen egy akadt, ezt Pongrácz András (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimnázium 10. évf.) adta be. 13 találatot 14-en értek el. Valamennyien könyvjutalomban részesültek.
Az alábbiakban rövid útmutatást adunk a feladatok megoldásához. 1. Tükrözzük az fókuszt az érintő tengelyre, ekkor az érintő szögfelező tulajdonsága miatt a nagytengely hossza | | 2. Egy homogén, de anizotróp kristályos anyag deformációi (nyújtási és nyírási alakváltozása) egy -as szimmetrikus mátrixszal, tehát 6 adattal adható meg. Ugyanennyi adat szükséges az anyagban fellépő húzó- és nyírófeszültségek megadásához is. Az általánosított Hooke-törvény szerint a deformációk arányosak a feszültségekkel, és az arányossági tényezők egy -os (tehát 36 elemet tartalmazó) mártixba rendezhetők. Azonban ez a mátrix is szimmetrikus, így csak független eleme van. Ennyi adat szükséges egy kristály rugalmas tulajdonságainak jellemzéséhez, ha a kristály a rácsszerkezet periodicitásán kívül más szimmetriával nem rendelkezik. Ezeket háromhajlású (triklin) kristályoknak nevezik. 3. és , így | | tehát | | és így . Ha , akkor , tehát az egyenlőség lehetséges.
4. Egy hosszúságú, sugarú folyadékszál térfogata , a felületi feszültségből származó energiája pedig . ( miatt a felület lényegében a hengerpalást felületével egyenlő, a folyadékszál végeinek területét elhanyagolhatjuk.) Ha a folyadékszál darab sugarú gömbre esik szét, a térfogat változatlanságából | | következik. A felületi energia ,,magától'' nem növekedhet, vagyis ahonnan 5. Egy szám négyzetét egyetlen szorzással, negyedik hatványát 2 szorzással, -edik hatványát szorzással lehet kiszámítani. Mivel 2001 kettes számrendszerben alakú, 10 szorzással megkaphatjuk a legnagyobb helyiértéknek megfelelő 1024-ik hatványt, és ezt a többi 6 (1-es számjegynek megfelelő) számmal összeszorozva összesen 16 művelet elvégzésével ki tudjuk számítani -t. 6. Az esőcsepp állandósult sebességét a sugár köbével arányos gravitációs erő és a sebesség négyzetével és a keresztmetszettel arányos közegellenállási erő egyensúlya határozza meg: Mivel két esőcsepp összeolvadásakor a (jó közelítéssel összenyomhatatlannak tekinthető) víz térfogat nem változik meg, a sugár -szorosára nő, sebesség pedig m/s lesz. 7. Legyen azoknak az -jegyű számoknak a száma, amelyekben pontosan darab nulla van (, ). Ekkor értéke , hiszen darab nullát kell elhelyeznünk az -jegyű számban (a legelső helyiértékre nem kerülhet), és a további 9 számjegy bármelyike kerülhet a további helyre. Így | | ami a binomiális tétel szerint . Készen vagyunk: | | 8. Az energia- és a lendületmegmaradás törvényéből, valamint a rúd merevségéből viszonylag egyszerűen adódik, hogy a rúd felső vége a tömegek nagyságától függetlenül mindig sebességgel csapódik az asztalhoz, ahol a rúd hossza. 9. Ha összesen kilenc darab 1-esből és 0-ból álló szám osztható 27-tel, akkor 9-cel is osztható, így mind a kilenc jegye 1-es, de ekkor nem osztható 27-tel. A 27 darab 1-esből álló szám osztható 27-tel, tehát ez a válasz lehetséges, ha nincs kisebb. A tíz darab 1-esből álló szám , tehát ha a tízesek helyére 1 helyett 0-t írunk, akkor 27-tel osztható számot kapunk . A legkisebb egyébként az . 10. Könnyű olyan homogén tetraédert készíteni, amely 2 oldaláról is felborul, ha vízszintes asztallapra állítjuk. Mind a négy oldallapja nem lehet instabil, hiszen a helyzeti energiája a négy helyzet közül valamelyikben biztosan minimális. A kérdés tehát az, hogy van-e olyan tetraéder, amelyik csak egyetlen oldallapján áll meg stabilan. A válasz: nincs, ennek részletes bizonyítása megtalálható a Fizikai Szemle ,,Négyszögletes kerék'' rovatában, az 1989. évi 5. szám 189. oldalán.)
11. Indukcióval könnyen igazolható, hogy a 38-nál nagyobb páros számok előállnak a kívánt alakban. A 38-nál kisebb páros számok közül a , , , , így tehát 14 páros szám marad, amely nem írható fel a kívánt alakban. 12. A mászókötél vége emelkedik magasabbra. Ennek elemi (felsőbb matematikai ismereteket nem igénylő) bizonyítása a Fizikai Szemle 1994. évi 1. számának 44/B. oldalán olvasható. 13. Mivel az függvényre teljesül, hogy , azért elegendő az intervallumot végignézni. Némi szöszmötölés után kiderül, hogy itt 8 darab szám áll elő a kívánt alakban, éppen mint | | Mivel , azért a válasz . 13+1. A szabályos háromszög ,,háromfogású'' (a középpontja körül 120 fokos szögű elforgatásnak megfelelő) szimmetriája miatt az egyensúlyi helyzetben mindhárom mágnes ugyanakkora (mondjuk ) szöget kell bezárjon a háromszög szemközti oldalával. A rendszer összenergiája (amely a három mágnes páronként számítható kölcsönhatási energiája) kifejezhető az szöggel, és az eredmény: ahol és pozitív állandók. Ennek a függvénynek -nál és -nál minimuma van. Ezeknél a szögeknél (amelyeknél a mágnesek párhuzamosak a szemközti oldallal) a rendszernek stabil egyensúlyi állapota van, míg -nál az energia maximális, ezek tehát instabil egyensúlyi helyzetek. Megjegyzés. A fenti megoldás csak akkor érvényes, ha a három mágnes egymás terét érzékeli csupán, külső (pl. a földmágnességből származó) mágneses mező nincs, vagy elhanyagolhatóan kicsi. Ez mindig teljesül, ha a három mágnes elegendően közel van egymáshoz. Sajnos az őszi Ankéton kiosztott szelvényeken a külső tér hiányára való utalás nem szerepelt, emiatt többen félreértették a feladatot. |