Cím:	A 42. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2001/szeptember, 324. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Első nap     1. Legyen az $ABC$ hegyesszögű háromszög körülírt körének középpontja $O$. Legyen $P$ az $A$-ból induló magasságvonal talppontja a $BC$ oldalon. Tegyük fel, hogy $BCA\sphericalangle \ge ABC\sphericalangle +{30}^{\circ }$. Bizonyítsuk be, hogy $CAB\sphericalangle +COP\sphericalangle <{90}^{\circ }$.   2. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{\sqrt[]{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^2+8ab}}\ge 1}\end{array}$ minden $a$, $b$, $c$ pozitív valós számra.   3. Egy matematikaversenyen $21$ lány és $21$ fiú vett részt. * $•$Mindegyik versenyző legfeljebb hat feladatot oldott meg. * $•$Mindegyik fiúhoz és mindegyik lányhoz van legalább egy olyan feladat, amelyet mindketten megoldottak. Bizonyítsuk be, hogy van olyan feladat, amelyet legalább három lány és legalább három fiú megoldott.     Második nap     4. Legyen $n$ egy $1$-nél nagyobb páratlan egész, $k_1$, $k_2$, $\text{...}$, $k_n$ pedig adott egészek. Az $1$, $2$, $\text{...}$, $n$ számok mind az $n!$ darab $a=\left(a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n\right)$ permutációjára legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle S\left(a\right)=\sum _{i=1}^n{k}_i{a}_i\mathrm{.}}\end{array}$ Bizonyítsuk be, hogy van két olyan $b$ és $c$ permutáció, amelyekre $b\ne c$, és $n!$ osztója $\left(S\left(b\right)-S\left(c\right)\right)$-nek.   5. Az $ABC$ háromszögben legyen $AP$ a $BAC\sphericalangle$ szögfelezője, ahol $P$ a $BC$ oldalon van, $BQ$ pedig az $ABC\sphericalangle$ szögfelezője, ahol $Q$ a $CA$ oldalon van. Tudjuk, hogy $BAC\sphericalangle ={60}^{\circ }$ és hogy $AB+BP=AQ+QB$. Mik az $ABC$ háromszög szögeinek lehetséges értékei?   6. Legyenek $a$, $b$, $c$, $d$ egészek, amelyekre $a>b>c>d>0$. Tegyük fel, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Bizonyítsuk be, hogy $ab+cd$ nem prímszám.