Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a 2001/7. sz. feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2001/november, 472 - 473. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Jelölje a derékszögű háromszög két befogóját $a$ és $b$, a kerületét $2s$. Ekkor $ab=\mathrm{86,4}$, $s=\frac{T}{\varrho }=18$, $2s=36$. Az érintő szakaszok egyenlősége miatt az átfogó $a+b-\mathrm{4,8}$, tehát $2a+2b-\mathrm{4,8}=\mathrm{3,6}$, $a+b=\mathrm{20,4}$. Az egyenletrendszer megoldása $a=\mathrm{14,4}$, $b=6$ egység ($a\ge b$), az átfogó $c=\mathrm{20,4}-\mathrm{4,8}=\mathrm{15,6}$ egység.   2. Az egyenlet diszkriminánsa $\begin{array}{c}{\displaystyle D=4{\left(b+c\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(ab+bc+ca-a^2\right)=4\left({\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2\right)\ge 0}\end{array}$ minden $a$, $b$, $c\in \text{R}$ esetén, tehát mindig van valós megoldás. A két megoldás pontosan akkor egyenlő, ha $D=0$, azaz ha $a=b=c$. Ekkor $x_1=x_2=a$.   3. Jelölje az átlót $e$, a szárat $c$, a trapéz köré írt kör sugarát $r$. Ekkor $e\text{cos}\alpha =\frac{a+b}{2}$, $c=2r\text{sin}\alpha$. Mivel $c^2=e^2+a^2-2ea\text{cos}\alpha$, azért $c^2=e^2-ab$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle c^2={\left(\frac{a+b}{2\text{cos}\alpha }\right)}^2-ab=\frac{a^2+b^2+2ab-4ab\text{cos}{}^2\alpha }{4\text{cos}{}^2\alpha }=\frac{a^2+b^2-2ab\text{cos}2\alpha }{4\text{cos}{}^2\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ A trapéz köré írt kör sugara $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{c}{2\text{sin}\alpha }=\frac{\sqrt[]{a^2+b^2-2ab\text{cos}2\alpha }}{2\text{sin}2\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$   4. A feltétel szerint $a_1=q+3$ és $S_n=35$. Ha $q=1$, akkor $a_1=4$, tehát $a_n=4$, így $a_1\cdot a_n=16\ne 100$, tehát $q\ne 1$. Ekkor $35=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$ és $a_1^2\cdot q^{n-1}=100$, tehát $q-1=a_1-4$ és $a_1\cdot q^n=\frac{100}{a_1}\left(a_1-3\right)$; ezekből $35\left(a_1-4\right)=\frac{100}{a_1}\left(a_1-3\right)-a_1$, $\begin{array}{c}{\displaystyle 36a_1^2-240a_1+300=\mathrm{0,}{a}_1=5\text{vagy}{a}_1=\frac{5}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $a_1=5$, akkor $q=2$ és $n=3$, hiszen $25\cdot 2^{n-1}=25\cdot 4$, ha $a_1=\frac{5}{3}$, akkor $q=-\frac{4}{3}$, és nincs megfelelő $n$, hiszen $\frac{25}{9}{\left(-\frac{4}{3}\right)}^{n-1}=100$ egyetlen $n$-re sem teljesül.   5. A $P$ ponton áthaladó $x=5$ egyenletű egyenes a feltételnek nem felel meg. Minden ettől különböző, a $P$ ponton áthaladó egyenes egyenlete $y-3=m\left(x-5\right)$ alakban is írható. Ha $m=-\frac{3}{2}$, akkor az egyenes párhuzamos az adott egyenesekkel, így $m\ne -\frac{3}{2}$. A keresett egyenes az első egyenest az $x_1=\frac{10+10m}{3+2m}$, a második egyenest az $x_2=\frac{5+10m}{3+2m}$ abszcisszájú pontban metszi. A feltétel szerint $|x_1-x_2|=1$, tehát $\frac{5}{|3+2m|}=1$, ahonnan $m=1$ vagy $m=-4$. A feltételnek két egyenes felel meg, ezek egyenlete: $x-y=2$, illetve $4x+y=23$. (A feladat más úton is megoldható. Hogyan?)   6. Teljes négyzetté alakítással $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-2\text{sin}xy\right)}^2+4\text{cos}{}^{2}xy=\mathrm{0,}}\end{array}$ (1) hiszen $4-4\text{sin}{}^{2}xy=4\text{cos}{}^{2}xy$. Az (1) egyenlet pontosan akkor teljesül, ha $\text{cos}xy=0$ és $x=2\text{sin}xy$. Ha $xy=\frac{\pi }{2}+2n\pi$, $n\in \text{Z}$, akkor $\text{sin}xy=1$, tehát $x=2$ és $y=\frac{\pi }{4}+n\pi$, $n\in \text{Z}$; ha $xy=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$, $k\in \text{Z}$, akkor $\text{sin}xy=-1$, tehát $x=-2$ és $y=-\frac{3\pi }{4}+k\pi$, $k\in \text{Z}$. (A feladat más módokon is megoldható. Hogyan?)   7. Legyen a keresett távolság $x$, a gúla magasságát jelölje $m$. A hasonló testek térfogatának arányára vonatkozó tétel alkalmazásával $x=\frac{m}{\sqrt[3]{2}}$. A gúla akkor létezik, ha $c>\frac{1}{2}\sqrt[]{a^2+b^2}$, azaz ha $4c^2>a^2+b^2$. Az átló tengelymetszet felhasználásával $m^2=c^2-\frac{a^2+b^2}{4}$, $m=\frac{1}{2}\sqrt[]{4c^2-a^2-b^2}$. A szóban forgó távolság $x=\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\cdot \sqrt[]{4c^2-a^2-b^2}$, a síkmetszet területe $t=\frac{ab}{\sqrt[3]{4}}$.   8. Az eredeti feladatban az egyenlet gyökeire helyesen: $x_1^2+x_2^2=\frac{9}{2}$. Mivel a gyökök valósak, azért $p^2+4q\ge 0$, $x_1+x_2=-p$, $x_1{x}_2=-q$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{9}{2}=x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=p^2+2q\mathrm{,}\text{azaz}4q=9-2p^2\mathrm{,}q=\frac{9}{4}-\frac{1}{2}{p}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Az $f\left(p\right)=q-p=\frac{9}{4}-\frac{1}{2}{p}^2-p=\frac{11}{4}-\frac{1}{2}{\left(p+1\right)}^2$ kifejezés értékkészletét a $-3\le p\le 3$ intervallumban keressük, mivel $p^2+4q=p^2+9-2p^2\le 0$ pontosan akkor, ha $p^2\le 9$. Így $-2\le p+1\le 4$, amiből $0\le {\left(p+1\right)}^2\le 16$, ezért $-8\le -\frac{1}{2}{\left(p+1\right)}^2\le 0$, tehát $-\frac{21}{4}\le f\left(p\right)\le \frac{11}{4}$. Rábai Imre