Kezdőlap


Cím:	A 2000-2001. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	2001/november, 466 - 470. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. kategória: Szakközépiskolák
Első (iskolai) forduló

1. Az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}

síkbeli konvex hatszögben az

A_{1} A_{2}

A_{2} A_{3}

A_{3} A_{4}

A_{4} A_{5}

A_{5} A_{6}

A_{6} A_{1}

oldalak felezőpontjai rendre a

B_{1}

B_{2}

B_{3}

B_{4}

B_{5}

B_{6}

pontok.
Bizonyítsa be, hogy a

\begin{matrix} \vec{B_{1} B_{4}}, \vec{B_{3} B_{6}}, \vec{B_{5} B_{2}} \end{matrix}

vektorok összege nullvektor! (9 pont)

2. Az

A = \bar{x y z u}

és a

B = \bar{u z y x}

tízes számrendszerben felírt, pontosan négyjegyű számok. Szorzatuknak pontosan az utolsó három számjegye 0. Határozza meg az összes ilyen tulajdonságú

A

és

B

számpárt! (14 pont)

3. Az

\begin{matrix} x^{4} - p x^{3} + q = 0 \end{matrix}

egyenletről tudjuk, hogy
a) a

p

és a

q

paraméterek pozitív prímszámok,
b) az egyenletnek van olyan gyöke, amelyik egész szám.
Határozza meg a

p

és a

q

paramétereket, valamint a lehetsés

p

q

értékekhez tartozó egyenlet összes egész gyökét! (14 pont)

4. Az

A B C D

trapéz párhuzamos oldalai

A B

és

C D

. Az

A C

átló hossza 3 cm, a

B D

átló hossza 4 cm, továbbá

\begin{matrix} C A B ∢ = 2 \cdot D B A ∢ . \end{matrix}

Számítsa ki a trapéz területét! (14 pont)

5. Oldja meg a valós számok halmazán a

\begin{matrix} 18 \sqrt[]{2 x - 3} - 9 \sqrt[4]{(2 x - 3) (x - 2)} \geq 2 \sqrt[]{x - 2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget! (18 pont)

6. Egy

x \mapsto f (x)

valós számokra értelmezett függvényről azt tudjuk, hogy minden valós

x

-re értelmezve van, és

\begin{matrix} 2 \cdot f (x) + f (1 - x) = x^{2} . \end{matrix}

a) Mennyi a függvény értéke az

x = 5

helyen?
b) Adja meg a hozzárendelést meghatározó

f (x)

képletét! (19 pont)

Második forduló

1. Oldja meg a valós számok halmazán a

\begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt[]{7 x + y} + \sqrt[]{x + y} & = 6, & (1) \\ \sqrt[]{x + y} - y + x & = 2 & (2) \end{matrix} \end{matrix}

egyenletrendszert! (15 pont)

2. Egy egyenlőszárú háromszögről tudjuk, hogy a köré írt kör területe kilencszerese a beírt kör területének. Számítsa ki a háromszög szögeit! (17 pont)

3. Hogyan kell a

\begin{matrix} 3 000 003 \end{matrix}

tízes számrendszerben felírt hétjegyű számban (a legnagyobb helyiértéktől kiindulva) a harmadik és az ötödik helyen álló nullák közül legalább egyet úgy megváltoztatni, hogy a változtatás után kapott hétjegyű szám osztható legyen 13-mal? (17 pont)

4. Bizonyítsa be, hogy az

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} + \frac{1}{2001} \end{matrix}

összeg nem egész szám! (18 pont)

A B C D

egységnyi oldalú négyzet. Az

A B

oldalon az

E

pont egy belső pont, az

A D

oldalon az

F

pont ugyancsak belső pont.
Bizonyítsa be, hogy ha az

A E F

háromszög kerülete 2 kerületegység, akkor a

B E F C

négyszög nem lehet húrnégyszög. (21 pont)

Harmadik (döntő) forduló

1. Milyen

x

y

z

valós számok elégítik ki a következő egyenletrendszert?

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} & = 8, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} & = 22, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{z}{x y} & = 0. \end{matrix} \end{matrix}

2. Az

A B C D

négyzet belsejében elhelyezkedő

P

pontnak az

A

B

C

csúcsoktól mért távolságai rendre

1

2

3

hosszúságegységek.
Számítsa ki az

A P B

szög nagyságának pontos értékét!

3. Az

A B C D

téglalap oldalai

\begin{matrix} A B = C D = 5 a és B C = D A = 3 a \end{matrix}

hosszúságúak (

a > 0

). Az oldalakra ugyanazon körüljárási irányban felmérjük az

\begin{matrix} x = A A_{1} = B B_{1} = C C_{1} = D D_{1} \end{matrix}

szakaszokat úgy, hogy az

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

négyszöget az

A B C D

téglalap tartalmazza.
a) Hogyan kell az

x

szakaszt megválasztani, hogy az

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

négyszög területe a lehető legkisebb legyen?
b) Legyen az

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

négyszög területe

k^{2}

(

k^{2} \neq 0

). A

k^{2}

-től függően hány megoldása van a feladatnak?

II. kategória: Általános tantervű gimnáziumok

Első (iskolai) forduló

1. Közelítő értékek használata nélkül adjuk meg a

\begin{matrix} K = tg 47^{\circ} + tg 43^{\circ} - tg 2^{\circ} (tg 47^{\circ} - tg 43^{\circ}) \end{matrix}

kifejezés pontos értékét! (7 pont)

2. Az

A B C D

trapéz

A B

és

C D

oldalai párhuzamosak, kerületének hossza 2. A

B

és

C

csúcsokhoz tartozó külső szögfelezők a

P

pontban, az

A

és

D

csúcsokhoz tartozó külső szögfelezők pedig a

Q

pontban metszik egymást. Mekkora a

P Q

szakasz hossza? (7 pont)

3. Az

A

halmaz a

\frac{3 n - 4}{5 n - 3}

, a

B

halmaz a

\frac{4 k - 3}{7 k - 6}

alakban előállított számokból áll, ahol

n

és

k

befutják a nemnegatív egész számok halmazát. Írjuk fel az

A

és

B

közös részének (

A \cap B

-nek) az elemeit. (7 pont)

4. Azok közül a téglatestek közül, amelyek térfogatának a mérőszáma kétszerese a felszínük mérőszámának, melyiknek a legkisebb a térfogata? (7 pont)

5. Az

A B C

egyenlő szárú háromszögben

A C = B C

. Jelölje a háromszög tetszőleges

P

belső pontjának az oldalegyenesektől mért távolságait

x

y

z

. Tudjuk, hogy

x^{2} + y^{2} + z^{2}

C

csúcshoz tartozó

C T

magasság

F

felezőpontjára a legkisebb. Mekkorák a háromszög szögei? (7 pont)

Második forduló

1. Az

M

pozitív egészből az

N

pozitív egész úgy származtatható, hogy

M

jegyeit valamilyen más sorrendben írjuk fel (első jegyük nem lehet 0). Lehet-e mindkét szám 2-nek pozitív egész kitevőjű hatványa?

2. Egy háromszög két kisebbik oldalát,

a

-t és

b

-t érintő hozzáírt körök sugarai

r_{a}

és

r_{b}

. A háromszög területe

t = r_{a} \cdot r_{b}

. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\begin{matrix} {(5^{x} - 2^{x - 2})}^{2} + 2 \cdot lg (5^{x} + 2^{x - 2}) = x . \end{matrix}

4. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan

n

pozitív egész, amelyre a valós számok halmazán értelmezett

\begin{matrix} f (x) = cos x + cos (x \sqrt[]{n^{2} + 1}) \end{matrix}

függvény periódikus.

Harmadik (döntő) forduló

1. Legyen a

H = {1, 2, 3, ..., 2000, 2001}

halmaz 77 elemű részhalmazai közül azoknak a száma, amelyekben az elemek összege páros,

S

-sel egyenlő, és azoknak a száma, amelyekben az elemek összege páratlan,

N

-nel egyenlő. Melyik nagyobb:

S

vagy

N

? És mennyivel?

2. Egy hatoldalú szabályos gúla alaplapja és oldallapjai által bezárt szög egyenlő bármely két másodszomszédos oldallap síkjának a hajlásszögével. Mekkora szöget zárnak be a gúla oldalélei az alaplappal?

3. Bizonyítsuk be, hogy az

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

pozitív számokra teljesül az

\begin{matrix} \frac{a_{1}^{2}}{a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{2} + a_{3}} + ... + \frac{a_{n - 1}^{2}}{a_{n - 1} + a_{n}} + \frac{a_{n}^{2}}{a_{n} + a_{1}} \geq \frac{1}{2} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) \end{matrix}

egyenlőtlenség.

III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok

Első forduló

1. Legyenek

x

y

és

z

pozitív, 4-nél kisebb valós számok. Bizonyítsuk be, hogy az

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - y}, \frac{1}{y} + \frac{1}{4 - z} és \frac{1}{z} + \frac{1}{4 - x} \end{matrix}

számok között van olyan, amely nagyobb vagy egyenlő 1-nél.

2. Oldjuk meg az egész számok körében az

5 x^{2} - 14 y^{2} = 11 z^{2}

egyenletet.

3. Melyek azok a háromszögek, amelyekben az egyik csúcsból induló szögfelező egyenesére szimmetrikusan helyezkedik el az ugyanonnan induló súlyvonal és magasságvonal?

4. Igazoljuk, hogy bármely

1 \leq m \leq n

esetén

\begin{matrix} n ((\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) - ... + {(- 1)}^{m - 1} (\binom{n}{m - 1})) \end{matrix}

osztható

m

-mel.

5. Határozzuk meg a legkisebb olyan

c

valós számot, amely rendelkezik az alábbi tulajdonsággal: Bármely háromszög kerületén található két olyan pont, amelyek a háromszög kerületét felezik, és a távolságuk nem nagyobb a kerület

c

-szeresénél.

Második (döntő) forduló

1. Legyen

c

pozitív egész, és jelölje

c_{1}

c_{3}

c_{7}

, illetve

c_{9}

rendre a

c

azon pozitív osztóinak számát, amelyek utolsó számjegye (tízes számrendszerben) 1, 3, 7, illetve 9. Bizonyítsuk be, hogy

c_{1} + c_{9} \geq c_{3} + c_{7}

2. Adottak a síkon a

k_{1}

és

k_{2}

körök, valamint a

P

pont. Szerkesztendő olyan, a

P

-n átmenő

e

egyenes, amely a

k_{i}

köröket (

i = 1, 2

) az

A_{i}

és

B_{i}

pontokban metszi úgy, hogy a

k_{i}

körvonalak alkalmas

C_{i}

pontjaira

A_{1} C_{1} = A_{2} C_{2} = B_{1} C_{1} = B_{2} C_{2}

teljesül. (Nem szükséges annak diszkutálása, hány ilyen

e

egyenes létezik, illetve létezik-e egyáltalán ilyen

e

egyenes.)

3. Adott

k + m

darab különböző, 1-nél nagyobb egész szám,

a_{1}

...

a_{k}

b_{1}

...

b_{m}

, ahol mindegyik

a_{i}

páros sok, mindegyik

b_{j}

pedig páratlan sok (nem feltétlenül különböző) prímszám szorzata. Hányféleképpen lehet a

k + m

darab szám közül néhányat (akár egyet sem, akár az összeset) kiválasztani úgy, hogy bármelyik

b_{j}

-nek (

j = 1, 2, ..., m

) a kiválasztott számok között páros sok osztója legyen?