Kezdőlap


Cím:	Olimpiai megjegyzések I.
Szerző(k):	Kós Géza
Füzet:	2001/november, 460 - 461. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Októberi számunkban közöltük az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatainak megoldását. Ebben a cikkben az egyik feladatra visszatérve olyan további megoldást mutatunk, amelyik lényegesen különbözik az októberben közölttől, ugyanakkor tanulságos lehet mindazoknak, akik a jövőben országos vagy nemzetközi versenyeken szeretnének eredményesen részt venni. Ebben a megjegyzésben a 2. feladattal foglalkozunk.^{$^{*}$}

A 2. feladat. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + 8 b c}} + \frac{b}{\sqrt[]{b^{2} + 8 c a}} + \frac{c}{\sqrt[]{c^{2} + 8 a b}} \geq 1 \end{matrix}

(1)

minden

a

b

c

pozitív valós számra.

A feladat első pillantásra ártalmatlan egyenlőtlenségnek tűnik, ami nem lehet nagyon nehéz

...

vagy mégis? A magyar csapat számára ez a feladat bizonyult a legnehezebbnek. Hat versenyzőnk együttvéve csupán 2 pontot szerzett meg a lehetséges 42-ből.
A megoldáshoz első lépésként kézenfekvő lehet behelyettesíteni a

x = \frac{b c}{a}

y = \frac{c a}{b}

z = \frac{a b}{c}

változókat. Ezek szintén pozitív számok, a szorzatuk

1

, és a behelyettesítés után az (1) egyenlőtlenség a következő, egyszerűbb alakot ölti:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{1 + 8 x}} + \frac{1}{\sqrt[]{1 + 8 y}} + \frac{1}{\sqrt[]{1 + 8 z}} \geq 1. \end{matrix}

(2)

Azt is megállapíthatjuk, hogy az

x = y = z = 1

(azaz

a = b = c

) esetben egyenlőség áll fenn.
Hogyan tovább? Láthatjuk, hogy a feladat nehézsége abból fakad, hogy összegek négyzetgyökeit kell felülről becsülnünk, ehhez pedig meglehetősen kevés eszköz áll rendelkezésünkre. Ha alsó becslésre volna szükség, akkor egészen más lenne a helyzet. A három négyzetgyökös kifejezést kényelmesen tudjuk alulról becsülni például a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel. Közben persze vigyáznunk kell, hogy

x = y = z = 1

esetén mindig egyenlőség álljon:

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + 8 x} \geq \sqrt[]{9 \cdot \sqrt[9]{1 \cdot x^{8}}} = 3 x^{4 / 9}; \sqrt[]{1 + 8 y} \geq 3 y^{4 / 9}; \sqrt[]{1 + 8 z} \geq 3 z^{4 / 9} . \end{matrix}

(3)

Ezek alapján a három gyökös kifejezés szorzatát és összegét sem nehéz alulról megbecsülni.
De mi a helyzet a felső becsléssel? A felső becsléshez jó lenne megszabadulni a kellemetlen négyzetgyökjeltől. Ez pedig legegyszerűbben négyzetre emeléssel lehetséges. Szorozzuk be a (2) egyenlőtlenséget a nevezőkkel. Az így kapott egyenlőtlenségben csupán egyetlen négyzetgyökös kifejezést kell felülről becsülnünk, a jobb oldalt:

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + 8 y} \sqrt[]{1 + 8 z} + \sqrt[]{1 + 8 z} \sqrt[]{1 + 8 x} + \sqrt[]{1 + 8 x} \sqrt[]{1 + 8 y} \geq \sqrt[]{1 + 8 x} \sqrt[]{1 + 8 y} \sqrt[]{1 + 8 z} . \end{matrix}

(4)

Most pedig vegyünk nagy levegőt, emeljük mindkét oldalt négyzetre, és rendezzük az egyenlőtlenséget! (Ne felejtsünk el

x y z

helyére

1

-et írni.) A rendezés után a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

\begin{matrix} 4 x + 4 y + 4 z + \sqrt[]{1 + 8 x} \sqrt[]{1 + 8 y} \sqrt[]{1 + 8 z} (\sqrt[]{1 + 8 x} + \sqrt[]{1 + 8 y} + \sqrt[]{1 + 8 z}) \geq 255. \end{matrix}

(5)

A rendezés során azt tapasztaljuk, hogy (4) jobb oldalának négyzetét ,,lenyelik'' a baloldalon álló tagok négyzetei, csupán egy konstans marad.
A megoldás innen kezdve triviális: behelyettesítjük a (3) egyenlőtlenség-hármast és alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget.

Kós Géza

^{$^{*}$}Az olimpiai feladatok megoldása a KöMaL 2001/7. számának 389‐394. oldalán olvasható.