Cím: A 32. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia Feladatai
Füzet: 2001/október, 427 - 435. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1

 

 
Kísérleti forduló 2
 


 

Forgó folyadék
 

A mérés három fő részből áll:

1. A forgó folyadék szabad felszínének vizsgálata, és a nehézségi gyorsulás meghatározása.

2. A forgó folyadéknak mint optikai rendszernek a vizsgálata.

3. A folyadék törésmutatójának meghatározása.
 
1. ábra
 

1. ábra. Definíciók: y tengely körüli állandó szögsebességű forgás esetében θ a lejtés szöge a P(x,y) pontban; V a forgó folyadék forgásparaboloid felületének csúcspontja, F a fókusza. A folyadék eredeti magassága h0, R pedig az edény sugara.

Ha egy folyadékkal töltött hengeres edény a középpontján átmenő függőleges tengely körül állandó ω szögsebességgel forog, a folyadék szabad felszíne forgásparaboloid alakú lesz (1. ábra). Egyensúlyi állapotban a felület P(x,y) pontbeli érintője θ szöget zár be a vízszintessel, úgy hogy
tgθ=ω2xg(ha  |x|≤R),(1)
ahol R az edény sugara és g a nehézségi gyorsulás. Az is belátható, hogy ω<ωmax esetében (ahol ωmax ebben a részfeladatban azt a szögsebességet jelöli, amelynél a forgó folyadék felszíne középen érinti az edény alját) az
x=x0=R2helyeny(x0)=h0,(2)
azaz a forgó folyadék magassága megegyezik az álló folyadék magasságával.
A forgó folyadék szabad felszíne parabola alakú, amit a következő egyenlet definiál:
y=y0+x24C,(3)
ahol a parabola csúcspontja a V(0,y0) pontban, fókusza pedig az F(0,y0+C) pontban van. Ha a szimmetriatengellyel (optikai tengellyel) párhuzamos fénysugarak verődnek vissza a parabola felszínéről, akkor ezek mind átmennek az F ponton.
 
A mérési berendezés és tartozékai (2. ábra)
 
2. ábra
 
2. ábra. Kísérleti elrendezés az 1. és a 2. részfeladathoz: 1. Állványra rögzített lézer, 2. átlátszó ernyő, 3. motor, 4. motor szabályozó, 5. forgó korong, 6. forgástengely, 7. hengeres edény.

‐ Glicerinnel töltött, merev, hengeres műanyag edény. Az edény oldalán és alján milliméter skála van.
‐ Kis egyenáramú motorral hajtott forgó korong. A motort egy változtatható feszültségforrás működteti, ezzel lehet szabályozni a szögsebességet.
‐ Átlátszó vízszintes ernyő, amelyre átlátszó vagy áttetsző milliméter skálát rakhatsz. Az ernyő helyzete függőleges és vízszintes irányban is állítható.
‐ Állványra szerelt lézer. A lézer helyzete állítható. A lézer fejrésze cserélhető.
‐ Másik fejrész a lézerhez.
‐ Vonalzó.
‐ Filctoll.
‐ Stopper. (A bal gombbal lehet nullázni, a középsővel az üzemmódot beállítani, a jobb gombbal pedig indítani és leállítani a stoppert.)
‐ 1000 vonal/mm-es optikai rács.
‐ Buborékos vízszintező.
‐ Szemüveg.
 
Fontos figyelmeztetések
 

• NE NÉZZÉL KÖZVETLENÜL A LÉZERSUGÁRBA! VEDD FIGYELEMBE, HOGY A TÜKRÖZŐ FELÜLETEKRŐL VISSZAVERŐDŐ LÉZERFÉNY IS VESZÉLYES LEHET! SAJÁT BIZTONSÁGOD ÉRDEKÉBEN HASZNÁLD A RENDELKEZÉSRE BOCSÁTOTT SZEMÜVEGET!
 


• A mérés során végig óvatosan bánj a glicerinnel teli edénnyel!
• A forgó korong vízszintezve van. A buborékos vízszintezőt az ernyő vízszintezésére használd!
• A mérés során az ernyőn több fényfoltot is fogsz látni, melyeket a folyadék, a levegő, az ernyő és az edény különböző határfelületein létrejövő visszaverődések és/vagy törések okoznak. Győződj meg róla, hogy a megfelelő sugarat méred-e!
• A folyadék forgatásakor folyamatosan változtasd a szögsebességet, és várd meg az egyensúlyi állapot beálltát, mielőtt mérni kezdenél!

 
A mérés
 

1. rész: g Meghatározása forgó folyadék segítségével (7,5 pont)

‐ Vezesd le az (1)-es egyenletet!

‐ Mérd meg az edényben lévő folyadék h0 magasságát és az edény 2R belső átmérőjét!

‐ Helyezd az ernyőt a fényforrás és az edény közé! Mérd meg az ernyő és a forgó asztal közti H távolságot.

‐ Állítsd be a lézert úgy, hogy a fénysugár függőlegesen lefelé mutasson, és a folyadék felszínét az edény középpontjától x0=R/2 távolságra érje el!

‐ Forgasd lassan a forgó asztalt! Győződj meg róla, hogy a folyadék középpontja nem éri el az edény alját!

‐ Tudjuk, hogy x0=R/2 esetén a folyadék magassága az ω szögsebeségtől függetlenül ugyanakkora, mint az eredeti h0 magasság. Felhasználva ezt a tényt mérd meg ezen az x0 helyen a θ szöget különböző ω szögsebességeknél, hogy ebből majd a g nehézségi gyorsulást meghatározhasd!

‐ Foglald táblázatba az egyes ω értékeknél mért és számított mennyiségeket!

‐ Készítsd el a g meghatározásához szükséges grafikont!

‐ Számítsd ki g értékét és határozd meg a mérési hibát!

‐ Írd be 2R, x0, h0, és H értékét, valamint g mért értékét és hibáját a válaszlapra!
 

2. rész: Optikai rendszer
 

A kísérlet ezen részében a forgó folyadékot képalkotó optikai rendszernek tekintjük. Mivel a forgás szögsebességét változtatva a felület görbülete változik, az optikai eszközünk fókusztávolsága függ ω-tól.
 

a)  A fókusztávolság vizsgálata (5,5 pont)
‐ Állítsd a lézert olyan helyzetbe, hogy a lézersugár az edény tengelye mentén függőlegesen lefele haladjon! Jelöld meg azt a P pontot, ahol a fénysugár átmegy az ernyőn. Ezt a pontot az edény középpontjával összekötő egyenes a rendszer optikai tengelye.

‐ Mivel a folyadék felszíne parabolatükörként viselkedik, az optikai tengellyel párhuzamosan beeső fénysugarak a visszaverődésük után az optikai tengelyt az F fókuszpontban metszik.

‐ Állítsd be a forgás szögsebességét úgy, hogy a fókuszpont éppen az ernyőre kerüljön. Mérd meg ekkor a forgás ω szögsebességét, valamint az ernyő és a forgó korong közötti H távolságot!

‐ Ismételd meg a fenti lépéseket különböző H értékek mellett!

‐ Másold át 2R és h0 mért értékeit, valamint a különböző H értékekhez tartozó mért ω-kat a válaszlapra!

‐ Mérési adataidra illesztett alkalmas grafikon segítségével határozd meg, hogy milyen kapcsolat van a fókusztávolság és a szögsebesség között!
 

b)  Az ernyőn látható ,,kép'' analízise (3,5 pont)
A mérési feladat ezen részében az optikai rendszer által létrehozott ,,képet'' kell vizsgálnod. Ezt az alábbi lépéseket követve teheted meg.

‐ Az óramutató járásával ellentétesen csavarva távolítsd el a lézer fejrészét!

‐ Helyezd fel (az óramutató járásával egyezően csavarva) a borítékban található új fejrészt! Így most a lézered a korábbi keskeny nyaláb helyett egy jellegzetes alakban kiinduló fényt fog kibocsátani.

‐ Állítsd be a lézert oly módon, hogy a fénye nagyjából az edény közepénél, majdnem merőlegesen essék a folyadékra!

‐ Helyezz egy áttetsző papírlapot az edényhez közeli helyzetben rögzített vízszintes ernyőre oly módon, hogy a lézerfény ne haladjon át a papírlapon, de a visszavert fény már igen!

‐ Figyeld meg a fényforrás direkt fénye által létrehozott, valamint a még nem forgó folyadékról visszaverődött fény által létrehozott ,,kép'' méretét, valamint állását!


‐ Kezdd el forgatni a folyadékot, és lassan növeld a szögsebességet egészen a feszültségforrás által elérhető legnagyobb értékig, s eközben figyeld az ernyőt! Miközben ω-t növeled, több szögsebesség-intervallumot figyelhetsz meg, amelyekben a ,,kép'' jellemző tulajdonságai lényegesen különbözőek. Írd le ezeket a megfigyeléseket (egészítsd ki a válaszlap táblázatát az egyes frekvencia-intervallumokra utaló sorok hozzáadásával)!

 

3. rész: A törésmutató (3,5 pont)
 

A mérési feladat ezen részében az adott folyadék törésmutatóját határozzuk meg egy optikai rács segítségével. Ha λ hullámhosszúságú monokromatikus fény merőlegesen esik egy diffrakciós rácsra, az m-edrendű elhajlási maximum αm szögét megadó egyenlet:
mλ=dsinαm,(4)
ahol d a rácsállandó. Ebben a részfeladatban egy diffrakciós rács segítségével a lézerfény hullámhosszát, majd a folyadék törésmutatóját kell meghatároznod (3. ábra).
 
3. ábra
 

3. ábra. Az optikai rács felülnézetben. 1. Skálázott oldalfal, 2. optikai rács tartóban, 3. lézer, 4. hengeres edény.


‐ Határozd meg az optikai rács segítségével a lézerfény hullámhosszát!

‐ Merítsd a rácsot az edény közepénél függőlegesen a folyadékba!

‐ Irányítsd a lézert az eredeti fejrésszel úgy, hogy a fénye az edény oldalfalán keresztül merőlegesen essék a rácsra!

‐ Az edény túloldalára erősített milliméter-skálán figyeld meg a keletkező elhajlási képet! Ha szükséges, végezz távolságméréseket!

‐ A mérési adataid felhasználásával számítsd ki a folyadék n törésmutatóját! (A műanyag edény falának a fény útjára gyakorolt hatását elhanyagolhatod.)

 

 
Elméleti forduló 3
 

 
1. feladat. 4
 
1.A. Klisztron

 
4. ábra.
 
 
A klisztron nagyon nagy frekvenciás jelek erősítésére szolgáló eszköz. A klisztron lényegében két egyforma lemezpárból (üregből) áll, melyek egymástól b távolságra vannak a 4. ábrán látható módon.
Egy kezdetben v0 sebességű elektronsugár halad át az egész rendszeren a lemezekre vágott kicsiny lyukakon keresztül. Az erősítendő nagyfrekvenciás feszültséget egy meghatározott fáziskülönbséggel (a T periódusidő 2π fázisnak felel meg) rákapcsolják mindkét lemezpárra, ezáltal az üregekben vízszintes, váltakozó elektromos tér keletkezik. Azok az elektronok, amelyek akkor lépnek be a bal oldali üregbe (input cavity), amikor az elektromos térerősség vektora jobbra mutat, lelassulnak, és fordítva: a balra mutató elektromos térbe érkező elektronok felgyorsulnak. Így a továbbhaladó elektronok bizonyos távolságra összetorlódnak. Ha a jobb oldali üreg (output cavity) éppen egy torlódási pontnál van, az üregben levő elektromos tér energiát kap az elektronsugártól, feltéve, hogy az elektromos tér fázisa megfelelő.

Legyen a feszültségjel egy négyszögjel T=1,0⋅10-9 s periódusidővel váltakozva V=±0,5V feszültségek között! Az elektronok kezdeti sebessége v0=2,0⋅106 m/s, fajlagos töltése pedig e/m=1,76⋅1011C/kg. Az a távolság olyan kicsi, hogy az elektronok üregen való áthaladási ideje elhanyagolható. Számítsd ki, és add meg 4 értékes jegy pontossággal a következőket:
a)  Azt a b távolságot, ahol az elektronok összetorlódnak. (1,5 pont)
b)  A fázistoló által létrehozandó fáziskülönbséget. (1 pont)
 

1.B. Molekulák közötti távolság
Jelölje dL a vízmolekulák közti átlagos távolságot, dV pedig a vízgőz molekuláinak átlagos távolságát! Feltételezzük, hogy mindkét fázis 100 ∘C-os és légköri nyomású, továbbá azt, hogy a vízgőz ideális gázként viselkedik! Számítsd ki az alábbi adatok felhasználásával a dV/dL arányt! (2,5 pont)

Adatok:

A víz sűrűsége folyadékfázisban: ϱL=1,0⋅103kg/m3.

A víz móltömege: M=1,8⋅10-2kg/mol.

A légköri nyomás: p0=1,0⋅105N/m2.

Az univerzális gázállandó: R=8,3J/mol⋅K.

Az Avogadro-szám: NA=6,0⋅1023/mol.

 

1.C. Egyszerű fűrészfog-generátor
 
5. ábra.
 
Egy fűrészfog alakú feszültségjel (V0) az 5. ábrán látható C kapacitással, R változtatható ellenállással, Vi ideális teleppel és az SG jelű szikraközzel (spark gap) állítható elő. Ez utóbbi két elektródát tartalmaz, melyek távolsága változtatható. Ha az elekródák közötti feszültség eléri a Vf kisülési (firing) feszültséget, a közöttük levő levegő átüt, így a szikraköz rövidzárként működik mindaddig, míg a rá eső feszültség nagyon kis értékre nem csökken.
a)  Rajzold fel, hogyan változik a kapcsoló zárását követően a V0 feszültség a t idő függvényében! (0,5 pont)
b)  Milyen feltételnek kell teljesülnie ahhoz, hogy V0 csaknem lineárisan változó fűrészfogjel legyen? (0,2 pont)
c)  Feltéve, hogy ez a linearitási feltétel teljesül, vezesd le a jelalak T periódusidejét megadó egyszerű közelítő formulát! (0,4 pont)
d)  Mit változtassunk meg (R-t és/vagy SG-t) ahhoz, hogy a fűrészfogjelnek csak a periódusideje változzék? (0,2 pont)
e)  Mit változtassunk meg (R-t és/vagy SG-t) ahhoz, hogy a fűrészfogjelnek csak az amplitúdója változzék? (0,2 pont)
6. ábra.

f)  Kapsz a korábbi eszközök mellé még egy változtatható kimenetű egyenáramú feszültségforrást is. Tervezz meg és rajzolj le egy olyan új áramkört, mellyel a 6. ábrán látható feszültség-jelalakot állíthatod elő! (1 pont)
 

1.D. Atomsugár
Egy atomsugarat úgy lehet előállítani, hogy bizonyos számú atomból álló gázt T hőmérsékletre hevítünk, és lehetővé tesszük, hogy az atomok a kemence falán lévő igen kicsiny (az atomok méretével összemérhető) D átmérőjű lyukon vízszintes irányban kilépjenek (7. ábra).
 
7. ábra.
 

Becsüld meg, mekkorára nő a sugár átmérője L hosszúságú vízszintes út megtétele után! Az atomok tömege M. (2,5 pont)
 

 
2. feladat. Kettőscsillag
a)  Jól ismert, hogy a legtöbb csillag kettőscsillag-rendszernek része. A kettőscsillagok egyik típusa egy m0 tömegű és R sugarú közönséges csillagból, valamint egy kisméretű, de sokkal nagyobb tömegű (M tömegű) neutroncsillagból áll, és ezek egymás körül keringenek. A Föld mozgását a továbbiakban mindenhol figyelmen kívül hagyhatod! Egy ilyen kettőscsillagról távcsöves megfigyelésekkel a következő információkat nyerhetjük:

‐ A csillag legnagyobb szögelmozdulása Δθ, míg a neutroncsillag legnagyobb szögelmozdulása Δϕ (8. ábra).
 
8. ábra.


‐ A legnagyobb szögelmozduláshoz szükséges idő τ.

‐ A közönséges csillagra jellemző sugárzás vizsgálata azt mutatja, hogy a csillag felszíni hőmérséklete T, és róla a Föld felszínére felületegységenként és időegységenként P sugárzási energia érkezik.

‐ Ebben a sugárzásban a kalcium színképvonalának hullámhossza Δλ értékkel különbözik a földi körülmények között szokásos λ0 hullámhossztól. Az eltérést a közönséges csillag gravitációs terének hatása okozza. (A számítás során a fotont h/(cλ) effektív tömegű részecskének tekintheted.)
 
 
9. ábra.
 
Vezess le egy olyan kifejezést, amely a távcsöves megfigyelési adatok és univerzális állandók felhasználásával megadja a Föld és a kettőscsillag ℓ távolságát. (7 pont)
b)  Tegyük fel, hogy M≫m0, és így a közönséges csillag lényegében a neutroncsillag körül kering egy r0 sugarú körpályán. Feltesszük továbbá, hogy a közönséges csillag gázt bocsát ki magából, s ezt a gázt saját magához képest v0 relatív sebességgel a neutroncsillag felé lövelli (9. ábra). Tudva azt, hogy a feladatban a neutroncsillag gravitációs erőtere a meghatározó, és elhanyagolva a közönséges csillag pályájának megváltozását, határozd meg azt az rf távolságot, amennyire a gáz megközelíti a neutroncsillagot. (3 pont)
 
 

 
3. feladat. Magnetohidrodinamikai (MHD) generátor
 

Egy téglalap keresztmetszetű, vízszintes műanyag cső szélessége w, magassága h. Az önmagába záródó csőben ϱ fajlagos ellenállású higany található. A higanyt egy P túlnyomást biztosító szivattyú állandó v0 sebességgel hajtja körbe. A cső két szemközti függőleges falának L hosszúságú szakaszát rézlemezek borítják (10. ábra).
Egy folyadék valóságos mozgása nagyon bonyolult, összetett jelenség. A helyzet egyszerűsítése érdekében tegyük fel a következőket:

• Jóllehet a folyadék viszkózus, a sebességet tekintsük a cső teljes keresztmetszetében ugyanakkorának!

• A folyadék sebessége mindig arányos a folyadékra ható eredő külső erővel.

• A folyadék összenyomhatatlan.
 
10. ábra.
 

A rézlapokat a folyadékon kívül rövidre zárjuk, majd folyadék rézlapokkal határolt szakaszán függőlegesen felfelé mutató, homogén B mágneses teret kapcsolunk be. Az elrendezést a 10. ábra mutatja, a megoldás során használandó x^, y^ és z^ egységvektorokkal.
a)  Határozd meg a mágneses tér által a folyadékra kifejtett erőt (L, B, h, w, ϱ és a megváltozott v sebesség függvényében)! (2 pont)
b)  Vezess le egy olyan formulát, amely megadja a folyadék megváltozott v sebességét (v0, P, L, B és ϱ függvényében) a mágneses tér bekapcsolása után! (3 pont)
c)  Vezesd le azt a képletet, amely megadja, hogy mekkora többletteljesítményre van szüksége a szivattyúnak ahhoz, hogy az áramlás sebességét az eredeti v0 értékre állítsa vissza! (2 pont)
d)  A mágneses teret most kikapcsoljuk, és a higanyt v0 sebességgel folyó vízzel helyettesítjük. Egy adott frekvenciájú elektromágneses hullámot küldünk végig az L hosszúságú szakaszon, az áramlással azonos irányban. A víz törésmutatója n, v0≪c. Vezesd le azt a kifejezést, amely megadja, hogy mekkora a folyadék mozgásának járuléka a hullám L hosszúságú szakaszra eső fáziskülönbségéhez! (3 pont)

1A feladatok megoldását a novemberi számunkban közöljük.

2A mérési feladat kidolgozására 5 óra állt a versenyzők rendelkezésére.

3Az elméleti feladatok kidolgozására 5 óra állt a versenyzők rendelkezésére. Megoldásaikat előre elkészített VÁLASZLAPOK megfelelő rovatainak kitöltésével kellett megadniuk, elsősorban rajzok, képletek, formulák és (a feladat egyéb adatai által indokolt pontosságú) számszerű eredmények formájában. A hosszabb szöveges magyarázat mellőzését kérték a rendezők.

4Ez a feladat 4 független részfeladatból áll.