A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az idei matematikaversenyt a szegedi tanárképző főiskola 2001. április 9. és 11. között rendezte meg. Hat város főiskolájából 5-5 hallgató mérte össze tudását. A dolgozatokat április 10-én délelőtt írták. A feladatokat a főiskolák oktatóinak javaslatai alapján állította össze a verseny elnöke, Urbán János. Minden város javaslataiból választott egyet-egyet, majd ‐ ahogy korábban is ‐ a saját feladatával megtoldva állt össze az alábbi hét feladat.
1. Egy kocka három, páronként kitérő élén vegyünk föl egy-egy pontot. Az így kapott háromszögek közül hány olyan van, amelynek súlypontja a kocka középpontja?
2. Jelölje a Pascal-háromszög -edik sorában álló elemek reciprokainak összegét (, 1, 2, ). Konvergens-e az sorozat, és ha igen, mi a határértéke?
3. A valós számok halmazán értelmezett függvényre fennáll, hogy ha , akkor Igazoljuk, hogy periodikus függvény.
4. Az , , pozitív valós számok összege 1. Igazoljuk a következő egyenlőtlenséget:
5. Legyenek adottak az , , pozitív valós számok és az egész szám úgy, hogy teljesül. Igazoljuk, hogy ha egész, akkor az , , hosszúságú oldalakkal szerkeszthető háromszög! Mely -ra lesz az így kapott háromszög derékszögű, hegyesszögű és tompaszögű?
6. Egységélű kockát merőlegesen vetítünk egy síkra. Határozzuk meg a vetület területének maximumát!
7. Az háromszöget () úgy helyezzük el a derékszögű koordináta-rendszerben, hogy az oldal felezőpontja legyen az origó és a csúcshoz tartozó (belső) szögfelező egyenes párhuzamos legyen valamelyik tengellyel. Igazoljuk, hogy az a hiperbola, amely illeszkedik az csúcsra és asszimptotái a tengelyek, tartalmazza a és csúcsot is!
A díjkiosztó ünnepségre másnap, április 11-én került sor. A 30 résztvevő diák közül 16-an kaptak értékes díjakat. Szendrei János köszönte meg a diákok és az oktatók lelkes részvételét. Jövőre Szombathelyen találkozunk.
|