Kezdőlap


Cím:	A tanáképző főiskolák 2001. évi Péter Rózsa matematikaversenye
Szerző(k):	Fried Katalin
Füzet:	2001/szeptember, 340. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az idei matematikaversenyt a szegedi tanárképző főiskola 2001. április 9. és 11. között rendezte meg. Hat város főiskolájából 5-5 hallgató mérte össze tudását. A dolgozatokat április 10-én délelőtt írták. A feladatokat a főiskolák oktatóinak javaslatai alapján állította össze a verseny elnöke, Urbán János. Minden város javaslataiból választott egyet-egyet, majd ‐ ahogy korábban is ‐ a saját feladatával megtoldva állt össze az alábbi hét feladat.
$⋆$

1. Egy kocka három, páronként kitérő élén vegyünk föl egy-egy pontot. Az így kapott háromszögek közül hány olyan van, amelynek súlypontja a kocka középpontja?

2. Jelölje

a_{n}

a Pascal-háromszög

n

-edik sorában álló elemek reciprokainak összegét (

n = 0

, 1, 2,

...

). Konvergens-e az

(a_{n})

sorozat, és ha igen, mi a határértéke?

3. A valós számok halmazán értelmezett

f

függvényre fennáll, hogy ha

x \in R

, akkor

\begin{matrix} f (x + 1) + f (x - 1) = \sqrt[]{2} f (x) . \end{matrix}

Igazoljuk, hogy

f

periodikus függvény.

4. Az

a

b

c

pozitív valós számok összege 1. Igazoljuk a következő egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \leq \frac{a^{2}}{a + b} + \frac{b^{2}}{b + c} + \frac{c^{2}}{c + a} < 1. \end{matrix}

5. Legyenek adottak az

a

b

c

pozitív valós számok és az

n > 1

egész szám úgy, hogy

\begin{matrix} a^{n} + b^{n} = c^{n} \end{matrix}

teljesül. Igazoljuk, hogy ha

1 \leq k < n

egész, akkor az

a^{k}

b^{k}

c^{k}

hosszúságú oldalakkal szerkeszthető háromszög! Mely

k

-ra lesz az így kapott háromszög derékszögű, hegyesszögű és tompaszögű?

6. Egységélű kockát merőlegesen vetítünk egy síkra. Határozzuk meg a vetület területének maximumát!

7. Az

A B C

háromszöget (

A C \neq B C

) úgy helyezzük el a derékszögű koordináta-rendszerben, hogy az

A B

oldal felezőpontja legyen az origó és a

C

csúcshoz tartozó (belső) szögfelező egyenes párhuzamos legyen valamelyik tengellyel. Igazoljuk, hogy az a hiperbola, amely illeszkedik az

A

csúcsra és asszimptotái a tengelyek, tartalmazza a

B

és

C

csúcsot is!

⋆

A díjkiosztó ünnepségre másnap, április 11-én került sor. A 30 résztvevő diák közül 16-an kaptak értékes díjakat. Szendrei János köszönte meg a diákok és az oktatók lelkes részvételét. Jövőre Szombathelyen találkozunk.

Fried Katalin