Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a IV. mérőlap (2001/4. sz.) feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2001/május, 281 - 283. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. A paralelogrammát két átlója négy egyenlő területű részre osztja. Egy ilyen részháromszög oldalai $\frac{13}{2}$, 10 és $\frac{21}{2}$ egység hosszúak. Ennek a részháromszögnek a területe a Heron-képlettel ($t^2=s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)$) kiszámítható. Ha a paralelogramma területe $T$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{T}{4}\right)}^2=\frac{27}{2}\cdot \frac{14}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{6}{2}\mathrm{,}\text{ahonnan}{T}^2={\left(9\cdot 7\cdot 2\right)}^2\mathrm{,}T=126\text{területegység}\mathrm{.}}\end{array}$ Ismeretes, hogy bármely paralelogrammában az oldalak négyzetének összege egyenlő az átlók négyzetének összegével. Így ha az ismeretlen oldal hossza $x$ egység, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x^2+2\cdot \mathrm{10,}{5}^2={13}^2+{20}^2\mathrm{,}{x}^2=\mathrm{174,25,}x\approx \mathrm{13,20}\text{egység.}}\end{array}$ A paralelogramma kerülete, $k\approx \mathrm{47,40}$ egység.   2. Azonos átalakításokkal, rendezéssel, majd felhasználva, hogy az $x\mapsto \text{lg}x$ ($x\in {\text{R}}^{+}$) függvény kölcsönösen egyértelmű, $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{lg}\left(x+9\right)+\text{lg}|x-1|+\text{lg}4=\text{lg}\mathrm{100,}\left(x>-\mathrm{9,}x\ne 1\right)\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \left(x+9\right)\cdot |x-1|=25.}\end{array}}}\end{array}$ Ha $-9<x<1$, akkor $x^2+8x-9=-25$, ${\left(x+4\right)}^2=0$, $x_1=-4$;  ha $x>1$, akkor $x^2+8x-9=25$, így $x_2=-4+5\sqrt[]{2}$. ($x_3=-4-5\sqrt[]{2}$ nem megoldás.) Az egyenlet megoldásai $x_1$ és $x_2$.   3. Azoknak a $P\left(x;y\right)$ pontoknak a halmazát keressük, amelyekre $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=30$. A távolságok négyzetét a koordinátákkal kifejezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+2\right)}^2+y^2+{\left(x-2\right)}^2+y^2+x^2+{\left(y-5\right)}^2=\mathrm{30,}}\end{array}$ azaz $x^2+{\left(y-\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}$. A keresett ponthalmaz kör. A kör középpontja $C\left(0;\frac{5}{3}\right)$, sugara $r=\frac{4}{3}$.   4. Legyen a mértani sorozat első tagja $a$, hányadosa $q$. A feltétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 7\left(aq+a{q}^2\right)+2\left(a+a{q}^3\right)=\mathrm{0,}}\\ \hfill {\displaystyle 7aq\left(1+q\right)+2a\left(1+q\right)\left(1-q+q^2\right)=\mathrm{0,}}\\ \hfill {\displaystyle a\left(q+1\right)\left(2q^2+5q+2\right)=\mathrm{0,}}\end{array}}}\end{array}$ így $q=-1$ vagy $q=-2$ vagy $q=-\frac{1}{2}$. Mivel $a\cdot \frac{q^5-1}{q-1}=22$, azért  ha $q=-1$, akkor $a=22$,  ha $q=-2$, akkor $a=2$,  ha $q=-\frac{1}{2}$, akkor $a=\frac{11}{16}$.   5. Ismeretes, hogy $\frac{1}{\text{sin}{}^{2}x}=1+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}{}^{2}x$ ($x\ne k\pi$, $k\in \text{Z}$), így $\text{sin}{}^{2}x=\frac{1}{1+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}{}^{2}x}$. A feltételből $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}x+\frac{1}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}x}=-4$, ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}x=2-\sqrt[]{3}\text{vagy}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}x=2+\sqrt[]{3}\mathrm{.}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}{}^{2}x=7-4\sqrt[]{3}\text{vagy}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}{}^{2}x=7+4\sqrt[]{3}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \text{sin}{}^{2}x=\frac{1}{8-4\sqrt[]{3}}=\frac{8+4\sqrt[]{3}}{16}=\frac{4+2\sqrt[]{3}}{8}=\frac{{\left(\sqrt[]{3}+1\right)}^2}{{\left(2\sqrt[]{2}\right)}^2}\text{vagy}\text{sin}{}^{2}x=\frac{1}{8+4\sqrt[]{3}}=\text{...}={\left(\frac{\sqrt[]{3}-1}{2\sqrt[]{2}}\right)}^2\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \text{így}}\\ \hfill {\displaystyle \text{sin}x=\frac{\sqrt[]{3}+1}{2\sqrt[]{2}}\text{ vagy }\text{sin}x=-\frac{\sqrt[]{3}+1}{2\sqrt[]{2}}\text{ vagy }\text{sin}x=\frac{\sqrt[]{3}-1}{2\sqrt[]{2}}\text{ vagy }\text{sin}x=-\frac{\sqrt[]{3}-1}{2\sqrt[]{2}}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ (A feladat más módon is megoldható.)   6. Ha $p=1$, akkor az $x\mapsto 6x-1$ ($x\in \text{R}$) függvénynek nincs legnagyobb értéke. Az adott másodfokú ($p\ne 1$) függvénynek ($x\in \text{R}$) akkor van legnagyobb értéke, ha $p-1<0$, $p<1$. Teljes négyzetté alakítással: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\mapsto \left(p-1\right){\left(x+\frac{p+2}{p-1}\right)}^2+\left(p-2-\frac{{\left(p+2\right)}^2}{p-1}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek legnagyobb értéke $\left(-6\right)$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle p-2-\frac{{\left(p+2\right)}^2}{p-1}=-\mathrm{6,}\text{ahonnan}p=-8.}\end{array}$ Ezt a legnagyobb értéket az $x_0=-\frac{p+2}{p-1}$ helyen veszi fel a függvény, tehát $x_0=-\frac{2}{3}$.   7. Legyen $D$ az $x^2+px+q=0$ egyenlet diszkriminánsa; a két gyök: $x_1=4$, $x_2=\frac{D}{2}$. Így az egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-\left(4+\frac{D}{2}\right)x+4\cdot \frac{D}{2}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan $D={\left(4+\frac{D}{2}\right)}^2-8D$, tehát $D=4$ vagy $D=16$. Az egyenlet ekkor $x^2-6x+8=0$, $p=-6$, $q=8$ vagy $x^2-12x+32=0$, $p=-12$, $q=32$.   8. Mivel a parabola érinti az $x$ tengelyt, azért egyenletét $y=a{\left(x-u\right)}^2$ alakban kereshetjük. Az $A$ pont rajta van a parabolán, tehát $2=a{\left(3-u\right)}^2$. Az $A$ pontban a parabolához húzott érintő egyenlete: $4x+y=14$, így a $14-4x=a{\left(x-u\right)}^2$ egyenlet diszkriminánsa 0. $a{x}^2-2\left(au-2\right)x+a{u}^2-14=0$, $4{\left(au-2\right)}^2-4a\left(a{u}^2-14\right)=0$, ahonnan $a\left(7-2u\right)=-2$, $a=\frac{2}{2u-7}$, tehát $2=\frac{2}{2u-7}\cdot {\left(3-u\right)}^2$, ${\left(u-4\right)}^2=0$, $u=4$, $a=2$. A parabola egyenlete: $y=2{\left(x-4\right)}^2$. Rábai Imre