A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. A paralelogrammát két átlója négy egyenlő területű részre osztja. Egy ilyen részháromszög oldalai , 10 és egység hosszúak. Ennek a részháromszögnek a területe a Heron-képlettel () kiszámítható. Ha a paralelogramma területe , akkor | | Ismeretes, hogy bármely paralelogrammában az oldalak négyzetének összege egyenlő az átlók négyzetének összegével. Így ha az ismeretlen oldal hossza egység, akkor | | A paralelogramma kerülete, egység.
2. Azonos átalakításokkal, rendezéssel, majd felhasználva, hogy az () függvény kölcsönösen egyértelmű, | | Ha , akkor , , ; ha , akkor , így . ( nem megoldás.) Az egyenlet megoldásai és .
3. Azoknak a pontoknak a halmazát keressük, amelyekre . A távolságok négyzetét a koordinátákkal kifejezve: | | azaz . A keresett ponthalmaz kör. A kör középpontja , sugara .
4. Legyen a mértani sorozat első tagja , hányadosa . A feltétel szerint | | így vagy vagy .
Mivel , azért ha , akkor , ha , akkor , ha , akkor .
5. Ismeretes, hogy (, ), így . A feltételből , ahonnan | | (A feladat más módon is megoldható.)
6. Ha , akkor az () függvénynek nincs legnagyobb értéke. Az adott másodfokú () függvénynek () akkor van legnagyobb értéke, ha , . Teljes négyzetté alakítással: | | Ennek legnagyobb értéke , tehát | | Ezt a legnagyobb értéket az helyen veszi fel a függvény, tehát .
7. Legyen az egyenlet diszkriminánsa; a két gyök: , . Így az egyenlet: ahonnan , tehát vagy . Az egyenlet ekkor , , vagy , , .
8. Mivel a parabola érinti az tengelyt, azért egyenletét alakban kereshetjük. Az pont rajta van a parabolán, tehát . Az pontban a parabolához húzott érintő egyenlete: , így a egyenlet diszkriminánsa 0. , , ahonnan , , tehát , , , . A parabola egyenlete: .
|
|