Cím: Izsák Imre Gyula komplex természettudományi verseny
Füzet: 2001/április, 200 - 203. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A zalaegerszegi Zrínyi Miklós Gimnáziumban 2000. október 20-án ismét megrendezték a matematika, fizika és számítástechnika tárgyak komplex természettudományos versenyét.

 
Az összesített verseny eredménye:


1. helyezett: Wéber Zoltán, Tata, Eötvös József Gimn.;
2. helyezett: Babos Attila, Budapest, Radnóti M. Gimn.;
3. helyezett: Balogh János, Kaposvár, Táncsics M. Gimn.
 
 

Különdíjak:
 

Matematika: Fehér Gergely, Debrecen, Fazekas M. Gimn.;
Fizika: Szalai Bence, Veszprém, Lovassy L. Gimn.;
Számítástechnika: Borosán Péter, Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn.


A versenyről részletes információ található a www.zmgzeg.sulinet.hu/izsak.html címen.
 
 
A verseny feladatai
 
Matematika
 
 

 
1. Jelöljük az ABCD paralelogramma B csúcsán áthaladó, AD-re merőleges, valamint a D csúcsán áthaladó, AB-re merőleges egyenesek metszéspontját M-mel. Igazoljuk, hogy MC≥BD.
 
2. Egy sorozat elemeire teljesül, hogy a1=2, és n≥2 esetén an=3an-1+2n-3. Határozzuk meg a sorozat első n elemének az összegét n függvényeként.
 
3. Az a valós paraméter mely értékeire lesz az
x2-2ax+7a=0
egyenletnek két különböző egész gyöke?
 
4. Adott a síkon 2n darab pont úgy, hogy semelyik három sem illeszkedik egy egyenesre. A pontok közül tetszőlegesen válasszunk ki n-et, és színezzük ezeket pirosra, a többit kékre. Bizonyítsuk be, hogy bármely színezés esetén megadható a síkon olyan egyenes, amelynek mindkét oldalán van adott pont, és mindkét oldalára teljesül, hogy ott a piros és kék pontok száma megegyezik.
 
 
Fizika
 
 

 
1. Számítógépeken használatos kis méretű mágneslemezt mutat az ábra. A formázás 80 koncentrikus sávot és 18 szektort alakít ki a lemezen. A sávok írási sűrűsége 135 TPI (sáv per inch, 1inch≈2,54cm). Egy-egy sáv és szektor metszeteként előálló blokkok mindegyikében 512byte tárolható. A lemez fordulatszáma az olvasóban 360rpm (1rpm=1/perc).
a) Mekkora a lemez kapacitása?
b) Becsülje meg az adatátvitel sebességét kbit/s-ban.
c) Becsülje meg, hogy a mai merevlemezeknél megvalósítható 20Gbit/(inch)2 adatsűrűség hányszor nagyobb a kislemez adatsűrűségénél.
 
2. 5V-os, 6A terhelhetőségű tápegységre kapcsolt feszültségosztó után 10V-os 100W-os fogyasztót kötünk. A feszültségosztó huzalellenállás 5Ω-os, maximum 5A terhelhetőségű.
Vizsgálja meg (az osztó csúszkaállásának függvényében), hogy mi történik, ha a K kapcsolót zárjuk.
 
3. R sugarú, M tömegű, közepén tengelyezett hengert D direkciós állandójú rugóra akasztva a rezgésidőre T1 értéket kapunk. A hengert α hajlásszögű lejtőre helyezve és kitérítve a rezgésidő T2. (A henger a lejtőn nem csúszik meg.) Adja meg a T2/T1 arányt.
 
4. Igen hosszú, A keresztmetszetű, vízszintes, egyik végén zárt, sima falú csőben egy kis méretű, m tömegű dugattyú mozoghat. A csövet vízszintes síkban, a zárt végétől L távolságra ω szögsebességgel megforgatjuk. Az m tömeg kezdetben a forgástengelyen található. A külső légnyomás nagysága p0.
a) A dugattyúnak hol lehetnek egyensúlyi helyzetei?
b) Diszkutálja a megoldást.
 
 
Számítástechnika
 
 


 
1. Árnyékos területek
Egy látképet egyenes szakaszok sorozatával adtunk meg. A látkép felett a függőleges iránnyal az óramutató járása szerint α szöget bezárva, végtelen távolságban van a Nap.
*•Add meg, hogy a Nap megvilágítja-e a teljes látképet.
*•Ha nem, akkor add meg a megvilágítás irányából az első olyan szakasz sorszámát, amelyet a Nap nem világít meg.
*•Add meg az összes olyan szakasz sorszámát, amelyek teljesen árnyékban vannak, illetve amelyeknek valamely részét a Nap nem világítja meg.

Bemenet: TAJKEP.BE


1. sor: M (2≤M≤1000), α (-90<α<90): egész számok szóközzel elválasztva, a látkép töréspontjainak száma, beleértve az első és az utolsó pontot is, valamint a napsugár merőlegessel bezárt szöge.

2....(M+1). sor: Xi  Hi: két egész szám, egy szóközzel elválasztva: az i-edik töréspont Hi magasságban, az Xi vízszintes pozíción van, 1≤i≤M; (1≤i≤M-1 esetén teljesül: Xi+1>Xi); egy egyenes szakaszt két egymás utáni pont ad meg.


Kimenet: TAJKEP.KI és a képernyő


1. sor: IGEN, ha a teljes látkép meg van világítva, NEM, ha nem.

2. sor: Az első olyan szakasz sorszáma, amely teljes egészében árnyékban van.

3. sor: Az összes olyan szakasz sorszáma növekvő sorrendben, amelyek teljes egészében árnyékban vannak.

4. sor: Az összes olyan szakasz sorszáma növekvő sorrendben, amelyek részben meg vannak világítva, részben pedig árnyékban vannak.


 
2. Hatványok
Készíts programot, amely két adott természetes szám (2≤A≤2000, 2≤B≤2000) esetén megadja növekvő sorrendben, hogy az összes i természetes számra Ai milyen maradékot ad B-vel osztva.

Példa: Bemenet: Kimenet:
3, 71, 2, 3, 4, 5, 6

Ebben az esetben  30mod7=1,  32mod7=2,  31mod7=3,  34mod7=4,  35mod7=5,  illetve  33mod7=6; más maradék pedig semmilyen kitevőre nem jöhet ki.
2, 71, 2, 4

Ebben az esetben  20mod7=1,  21mod7=2,  22mod7=4, más maradék pedig semmilyen kitevőre nem jöhet ki.