Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények az I. mérőlap (2000/7. sz.) feladataihoz
Szerző(k):	Rádai Imre
Füzet:	2000/november, 473 - 475. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Legyen a sorozat első tagja $a$, hányadosa pedig $q$. Ekkor $a\left(1+q^2+q^4\right)=126$ és $q\left(a\left(1+q^2\right)-30\right)=0$. Ha $q=0$, akkor $a=126$. Ha $q\ne 0$, akkor $\frac{1+q^2+q^4}{1+q^2}=\frac{126}{30}$, ahonnan $5q^4-16q^2-16=0$, $q^2=4$ ($q^2=-\frac{4}{5}$ nem ad megoldást). Ha $q=2$, akkor $a=6$, ha $q=-2$, akkor is $a=6$.   2. Mivel $a>0$, azért $\sqrt[]{4a+1}<\sqrt[]{4a^2+4a+1}=2a+1$. Hasonlóan $\sqrt[]{4b+1}<2b+1$ és $\sqrt[]{4c+1}<2c+1$, tehát valóban $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{4a+1}+\sqrt[]{4b+1}+\sqrt[]{4c+1}<2a+1+2b+1+2c+1=2\left(a+b+c\right)+3=9.}\end{array}$ (A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alkalmazásával $\sqrt[]{4a+1}=\sqrt[]{1\cdot \left(4a+1\right)}\le \frac{1+4a+1}{2}=2a+1$. Az egyenlőség most nem állhat fenn, hiszen $1=4a+1$ akkor teljesül, ha $a=0$, de a feladatban $a$ pozitív.)   3. A $P$ pont a $BD$ átlóra illeszkedik, hiszen $BPA\sphericalangle +DPA\sphericalangle ={180}^{\circ }$. Az $ABP$, az $ADP$ és az $ABD$ derékszögű háromszögek hasonlóak. A befogó- és a magasságtételt alkalmazva $\begin{array}{c}{\displaystyle {10}^2=PD\cdot BD\mathrm{,}{20}^2=PB\cdot BD\text{és}P{A}^2=PB\cdot PD\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $BD=10\sqrt[]{5}$, azért $PD=2\sqrt[]{5}$, $PB=8\sqrt[]{5}$ és $PA=4\sqrt[]{5}$. A $PC$ távolságot a $PDC$ háromszögből a koszinusztétel alkalmazásával számíthatjuk ki. Legyen $PDC\sphericalangle =\delta$, $\text{cos}\delta =\frac{20}{10\sqrt[]{5}}=\frac{2}{\sqrt[]{5}}$.  $P{C}^2={\left(2\sqrt[]{5}\right)}^2+{20}^2-2\cdot 2\sqrt[]{5}\cdot 20\cdot \frac{2}{\sqrt[]{5}}$,  $PC=2\sqrt[]{65}$.   4. a) $x\ne 1$, $x\ne -2$ és ${\left(x-1\right)}^2{\left(x+2\right)}^2=4$, vagyis $\left(x-1\right)\left(x+2\right)=-2$ vagy $\left(x-1\right)\left(x+2\right)=2$. A kapott $x_1=0$, $x_2=-1$, $x_3=\frac{-1+\sqrt[]{17}}{2}$, $x_4=\frac{-1-\sqrt[]{17}}{2}$ számok az adott egyenletnek megoldásai. b) $x\ne 1$ és $x>-2$. Ennek az egyenletnek $x_1$, $x_2$ és $x_3$ a gyökei. c) és d) $x>1$. Ekkor $x_3$ az egyetlen megoldás.   5. A koszinusztétel alkalmazásával $c^2-a^2-b^2=-2ab\text{cos}\gamma$, a háromszög területe pedig $T=\frac{1}{2}ab\text{sin}\gamma$. A feltétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}ab\text{sin}\gamma =-2\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{4}ab\text{cos}\gamma \mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\gamma =-\sqrt[]{3}$, $\gamma ={120}^{\circ }$. Most $c^2=a^2+b^2-2ab\text{cos}{120}^{\circ }$,  $c=\sqrt[]{a^2+b^2+ab}$. Mivel $c=2r\text{sin}\gamma$, azért $\sqrt[]{a^2+b^2+ab}=2r\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}$. A háromszög köré írt kör sugara $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\sqrt[]{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$   6. Az $x^2+3ax-\frac{4}{3}b=0$ egyenlet gyökei legyenek $x_1$, $x_2$, az $x^2-a^{2}x-2ab=0$ egyenlet gyökei ekkor $x_1+2$, $x_2+2$. A gyökök és az együtthatók összefüggései alkalmazásával $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x_1+x_2}& {\displaystyle =-3a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_1{x}_2}& {\displaystyle =-\frac{4}{3}b}\hfill \end{array}}\text{és}{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(x_1+2\right)+\left(x_2+2\right)}& {\displaystyle =a^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)}& {\displaystyle =-2ab\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Innen $-3a+4=a^2$, tehát $a=1$ vagy $a=-4$ és $-\frac{4}{3}b-6a+4=-2ab$, ahonnan $\left(3a-2\right)\left(b-3\right)=0$. Innen $b=3$. Az első esetben az egyenletek $x^2-x-6=0$, illetve $x^2+3x-4=0$, a gyökök $x_1=-2$, $x_2=3$, illetve $-4$, 1; a második esetben az egyenletek $x^2-16x+24=0$, illetve $x^2-12x-4=0$, a gyökök $x_1=8+2\sqrt[]{10}$, $x_2=8-2\sqrt[]{10}$, illetve $6+2\sqrt[]{10}$ és $6-2\sqrt[]{10}$.   7. Az egyenleteket $2\text{cos}{}^{3}x=-\text{sin}y$, illetve $2\text{sin}{}^{3}x=-\text{cos}y$ alakban írhatjuk. Emeljük négyzetre az egyenletek mindkét oldalát, majd adjuk össze az egyenleteket. Ekkor a $4\left(\text{sin}{}^{6}x+\text{cos}{}^{6}x\right)=1$ egyenletet kapjuk. Mivel ${\left(\text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha \right)}^3=1$, $\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha =\frac{1}{4}\text{sin}{}^{2}2\alpha$ és $\text{sin}{}^{2}2\alpha =\frac{1}{2}\left(1-\text{cos}4\alpha \right)$,  ezért  $4\left(\text{sin}{}^{6}x+\text{cos}{}^{6}x\right)=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\text{cos}4x$,  tehát  $\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\text{cos}4x=1$, $\text{cos}4x=-1$,  $4x=\pi +2k\pi$,  $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$,  $k\in \text{Z}$. a) Ha $x_1=\frac{\pi }{4}$, akkor $\text{sin}y=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ és $\text{cos}y=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$,  $y_1=\frac{5\pi }{4}$; b) ha $x_2=\frac{3\pi }{4}$, akkor $\text{sin}y=\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ és $\text{cos}y=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$,  $y_2=\frac{5\pi }{4}$; c) ha $x_3=\frac{5\pi }{4}$, akkor  $y_3=\frac{\pi }{4}$; d) ha $x_4=\frac{7\pi }{4}$, akkor  $y_4=\frac{7\pi }{4}$.   8. Mivel $AB=10$, azért a hozzá tartozó $m_c$ magasság 8 egység, hiszen $\frac{10m_c}{2}=40$. Az $AB$ egyenes egy irányvektora $\text{v}\left(8;6\right)$, egy normálvektora $\text{n}\left(3;-4\right)$. A keresett $C$ csúcspont a $B$ ponttól $4\sqrt[]{5}$ egységre van, így rajta van az ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=80$ egyenletű körön, és a $BC$ egyenestől 8 egység távolságra van, így rajta van a $3x-4y+k=0$ egyenletű egyenesen is, amely a $B\left(-1;3\right)$ ponttól 8 egységre van. Így $8=\frac{|-3-12+k|}{\sqrt[]{3^2+4^2}}$, ahonnan $k=55$ vagy $k=-25$. A feltételeknek négy $C$ pont felel meg. A $3x-4y+55=0$ egyenletű egyenes és az ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=80$ egyenletű kör metszéspontjai: $C_1\left(-9;7\right)$, $C_2\left(-\mathrm{2,6};\mathrm{11,8}\right)$, a $3x-4y-25=0$ egyenletű egyenes és az ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=80$ egyenletű kör metszéspontjai: $C_3\left(7;-1\right)$, $C_4\left(\frac{3}{5};-\frac{29}{5}\right)$. Rábai Imre