A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Legyen a sorozat első tagja , hányadosa pedig . Ekkor és . Ha , akkor . Ha , akkor , ahonnan , ( nem ad megoldást). Ha , akkor , ha , akkor is .
2. Mivel , azért . Hasonlóan és , tehát valóban | | (A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alkalmazásával . Az egyenlőség most nem állhat fenn, hiszen akkor teljesül, ha , de a feladatban pozitív.)
3. A pont a átlóra illeszkedik, hiszen . Az , az és az derékszögű háromszögek hasonlóak. A befogó- és a magasságtételt alkalmazva | | Mivel , azért , és .
A távolságot a háromszögből a koszinusztétel alkalmazásával számíthatjuk ki. Legyen , . , .
4. a) , és , vagyis vagy . A kapott , , , számok az adott egyenletnek megoldásai. b) és . Ennek az egyenletnek , és a gyökei. c) és d) . Ekkor az egyetlen megoldás.
5. A koszinusztétel alkalmazásával , a háromszög területe pedig . A feltétel szerint ahonnan , . Most , . Mivel , azért . A háromszög köré írt kör sugara
6. Az egyenlet gyökei legyenek , , az egyenlet gyökei ekkor , . A gyökök és az együtthatók összefüggései alkalmazásával | | Innen , tehát vagy és , ahonnan . Innen . Az első esetben az egyenletek , illetve , a gyökök , , illetve , 1; a második esetben az egyenletek , illetve , a gyökök , , illetve és .
7. Az egyenleteket , illetve alakban írhatjuk. Emeljük négyzetre az egyenletek mindkét oldalát, majd adjuk össze az egyenleteket. Ekkor a egyenletet kapjuk. Mivel , és , ezért , tehát , , , , . a) Ha , akkor és , ; b) ha , akkor és , ; c) ha , akkor ; d) ha , akkor .
8. Mivel , azért a hozzá tartozó magasság 8 egység, hiszen . Az egyenes egy irányvektora , egy normálvektora . A keresett csúcspont a ponttól egységre van, így rajta van az egyenletű körön, és a egyenestől 8 egység távolságra van, így rajta van a egyenletű egyenesen is, amely a ponttól 8 egységre van. Így , ahonnan vagy . A feltételeknek négy pont felel meg. A egyenletű egyenes és az egyenletű kör metszéspontjai: , , a egyenletű egyenes és az egyenletű kör metszéspontjai: , .
|
|