A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A hagyományoknak megfelelően idén is közöljük a nyári matematikai diákolimpia feladatainak a megoldását úgy, ahogyan a legilletékesebbek, a magyar csapat tagjai leírták. Közreműködésüket köszönjük, és ezúton is gratulálunk eredményeikhez.
1. A és körök az és pontokban metszik egymást. Legyen a és köröknek az a közös érintője, amelyre teljesül, hogy közelebb van -hez, mint . Érintse -et az és -t a pontban. Legyen az -en átmenő, -lel párhuzamos egyenes másik metszéspontja a körrel , a körrel pedig . A és egyenesek metszéspontja legyen ; az és egyenesek metszéspontja legyen ; a és egyeneseké pedig legyen . Bizonyítsuk be, hogy .
Megoldás. Tekintsük az ábrát, jelölje az és egyenesek metszéspontját. Mivel rajta van az hatványvonalon, az pontból a és körökhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Ezek az érintőszakaszok az , illetve , így . 1. ábra Továbbá a párhuzamos szelők tétele szerint ): Másrészt, miatt , valamint a kerületi és érintőszárú kerületi szögek egyenlőségéből . Következésképpen , és hasonlóan kapjuk, hogy . Ezekből viszont az következik, hogy az négyszög deltoid. Emiatt , azaz . És ezzel készen vagyunk, ugyanis az és derékszögű háromszögek befogója közös, és a másik befogójuk is egyenlő (). Tehát egybevágó a két háromszög, amiből .
Harangi Viktor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10., o.t.) |
2. Legyenek , , olyan pozitív valós számok, amelyekre teljesül. Bizonyítsuk be, hogy | |
Megoldás. Ha a 3 szorzótényező közül egy vagy három negatív, akkor a szorzat negatív, vagyis kisebb 1-nél. Ha valamelyik tényező 0, akkor a szorzat is 0, szintén kisebb 1-nél. Pontosan két tényező nem lehet negatív, mert ha például és lenne, akkor az összegük | | mert , , , ez nem lehet. Tehát az az eset marad, amikor mindhárom szorzótényező pozitív. | | ugyanígy a másik 2-2 tényezőre. Mindhárom tényező pozitív, tehát | | ezt akartuk bizonyítani.
Győri Nikolett (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) |
3. Legyen pozitív egész szám. A kiinduló állásban bolha ül egy vízszintes egyenesen, nem mind ugyanabban a pontban. Egy pozitív valós számra definiáljunk egy lépést a következőképpen:
* | válasszunk ki két bolhát, amelyek az és pontokban ülnek, ahol balra van -től; |
* | ugorjon az -n lévő bolha az egyenesnek abba a pontjába, ami jobbra van -től, és amelyre teljesül. |
Határozzuk meg az összes olyan értéket, amelyre teljesül, hogy akárhogyan választva az pontot az egyenesen, és akárhogyan választva az bolha kiindulási pozícióját, létezik lépéseknek egy olyan véges sorozata, amelyek végrehajtása után az összes bolha -től jobbra helyezkedik el.
Megoldás. Az egyszerűség kedvéért nevezzük a bolhákat pontoknak. Először azt mutatjuk meg, hogy -re az állítás mindig igaz. Azt mutatjuk meg, hogy akármilyen messzire eljuthatnak a pontok, ha mindig a legbalra esővel átugorjuk a legjobbra esőt. Ebben az esetben egy mohó algoritmus eljuttatja a pontokat -en túlra. Az első lépésben minden pont különböző helyre kerül, ezt tekinthetjük a továbbiakban kiindulóhelyzetnek. Jelölje itt a szomszédos pontok közötti távolságot rendre , , , . Egy ugrás után az új távolságok: , , , , . Mivel | | azért a legkisebb távolság változatlan marad. Jelölje ezt . A legjobbra fekvő pont így minden lépésben legalább -vel jobbra kerül. Mivel , azért egy idő után akármilyen messzire eljut. Ezután lépésben a többi pont is -en túlra jut, és ezt akartuk bizonyítani. Most megmutatjuk, hogy ha , akkor semelyik kiindulóhelyzetből sem lehet akármilyen messzire eljutni. Minden ponthoz rendeljünk hozzá ugyanis egy számot úgy, hogy az egyenest a számegyenesnek tekintjük. Legyen a -adik lépés után a pontoknak megfelelő számok összege, pedig a számok legnagyobbika. Nyilván . Ha bebizonyítanánk, hogy korlátos, akkor készen lennénk, mert így egy pont sem juthatna át egy bizonyos -en (a korláton) túlra. Ugorja át a -edik lépésben -t és ezzel kerüljön -be. Az értelemszerű jelölésekkel ebből: ezt átrendezve . Tehát . Most igazoljuk, hogy | | , tehát ha , akkor ez valóban igaz. Ha pedig , akkor , hiszen a legjobbra eső pont nem változhatott másra, mint -re. Ekkor az egyenlőtlenség nyilvánvaló. Tehát . Vagyis . Mivel , azért , amiből . Legyen . Ekkor | | Ezek szerint , tehát korlátos, készen vagyunk. Így a megoldás: .
Pálvölgyi Dömötör (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) |
4. Egy bűvésznek száz kártyája van, amelyek 1-től 100-ig vannak számozva. Mindegyiket beleteszi három doboz ‐ egy piros doboz, egy fehér doboz és egy kék doboz ‐ valamelyikébe, olymódon, hogy mindegyik dobozban van legalább egy kártya. A közönség egy tagja kiválaszt kettőt a három doboz közül, és mindegyikből kivesz egy kártyát, majd kihirdeti a kivett kártyákon lévő két szám összegét. Ennek az összegnek az ismeretében a bűvész meg tudja mondani, hogy melyik az a doboz, amiből nem vettek ki kártyát. Hányféleképpen lehet a kártyákat a dobozokban úgy elhelyezni, hogy ez a mutatvány mindig sikerüljön? (Két elhelyezést különbözőnek tekintünk, ha van legalább egy kártya, ami másik dobozba kerül.)
Megoldás. Legyen a három doboz , és . | | Vegyük a következő összegeket: | | (az egyenlőtlenségek az eredeti egyenlőtlenségekből következnek). Mivel két csoportban nem lehet ugyanolyan összeg, azért van különböző számunk. Az 1‐100 számokból éppen ennyi, 197 különböző kéttagú összeg készíthető (, ), ezért az összes szám szerepel. Ezután esetvizsgálattal nézzük meg a lehetőségeket: Kezdjük feltölteni a dobozokat. Vegyük észre, hogy mivel a 3 összeg létrejön, az 1 és a 2 kártya különböző dobozokba kerül. Ezt a két kártyát összesen hatféleképpen rendezhetjük el. Tegyük fel, hogy az 1 kártya az , a 2 pedig a dobozba került. A 3 kártya ezután nem kerülhet az dobozba, ellenkező esetben ugyanis a 4 összeg nem jöhet létre. A 3 kártya tehát vagy a dobozba került ‐ ahová a 2 ‐ vagy pedig az eddigi üres dobozba. Azt állítjuk, hogy a további kártyák elhelyezése mindkét esetben egyértelmű. 1. eset (a 3 kártya a dobozba kerül):
2. ábra
* | a doboz nem üres, így legyen a legkisebb -beli kártya . Ekkor csak az -ba kerülhet, hiszen különben , a bűvész nem tud dönteni. | Ám ekkor , a bűvész most sem tud dönteni, hacsak kártya már egyáltalán nincsen. Így ,,nem létezhet'' , tehát . Ekkor az és dobozban egy-egy kártya van, az 1, illetve a 100, a többiek a dobozba kerülnek. Ez az elrendezés pedig nyilván megfelelő, így tehát hat esetet kaptunk. 2. eset (a 3 kártya a dobozba kerül):
3. ábra tehát , és , tehát . Így . Hasonlóan , így , továbbá , azért . Így csak lehetséges. Az első sort elhagyva ezt ,,eljátszva'' a második sorral kapjuk, hogy a számok 3-as maradék szerint vannak rendezve, és ez az elrendezés is tényleg jó lesz. Ez tehát további hat eset. Így összesen 12 olyan elrendezés van, amikor mindig sikerülhet a mutatvány.
Vizer Máté (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) |
5. Döntsük el, hogy létezik-e olyan pozitív egész szám, amelyre teljesül, hogy pontosan 2000 különböző prímszámmal osztható, és osztható -nel.
Megoldás. Belátjuk, hogy minden pozitív egész -hoz található olyan pozitív egész úgy, hogy osztható -nel, és -nek pontosan darab prímosztója van. (Így -re is létezik ilyen .) szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk az állítást. -re igaz: . -re: . Tegyük fel, hogy -ra igaz (): | |
Segédtétel. Ha prím, akkor -nek van -nél nagyobb prímosztója. Bizonyítás. Legyen a a -nek egy -nél nem nagyobb prímosztója. Ekkor és | | A kis Fermat-tétel szerint . Innen az euklideszi algoritmus alkalmazásával kapjuk, hogy . , mert , így Másrészt , mert egyébként és miatt az euklideszi algoritmus miatt, ami , és ez ellentmondás. Ha tehát -nek nincs -nél nagyobb prímosztója, akkor , ami ellentmondás. Ezzel a segédtételt beláttuk. Legyen ezután a segédtétel szerinti prím, tehát , és . | | Másrészt az indukciós feltevés miatt , tehát | | mert és relatív prímek. Így -re megfelelő, amivel az indukciós bizonyítást befejeztük.
Zábrádi Gergely (Győr, Révai M. Gimn., 12. o.t.) |
6. Legyenek , , az hegyesszögű háromszög magasságai. Az háromszög beírt köre a , , oldalakat rendre a , , pontokban érinti. Legyenek az , , illetve egyenesek a , , illetve egyenesek tükörképei a , , illetve egyenesekre. Bizonyítsuk be, hogy , , egy olyan háromszöget határoznak meg, amelynek csúcsai az háromszög beírt körén vannak.
Megoldás. Legyen esetén , ahol . Belátjuk, hogy pl. egyenese és egyenese párhuzamos. Ez éppen azt jelenti, hogy . Irányított szögekkel fogunk számolni. , , . -t -be szögű forgatás viszi (, mert négyszög húrnégyszög: és rajta van az szakasz Thálesz-körén.) 4. ábra -t szögű forgatás viszi -be (a háromszög egyenlő szárú), így -t -be szögű forgatás viszi. -t -ba ennek kétszerese, szögű forgatás viszi. Így -at -be szögű forgatás viszi, amivel állításunkat igazoltuk. A (, 2, 3) egyenesek a háromszöget határozzák meg. Ezután a következőket látjuk be:
* | (i)A háromszög talpponti háromszöge a háromszög. |
* | (ii)A háromszög középvonalai a háromszöget adják. | (i) Egyszerűen adódik, hogy pl.: , ezért távolsága -től és -tól megegyezik. távolsága -től és -tól, illetve -tól és -től is ugyanakkora, azaz egyenlő távolságra van és -tól, így a külső szögfelezője. Hasonló áll és esetén is. Emiatt (i) valóban fennáll. (ii) Belátjuk, hogy pl. egyenese párhuzamos egyenesével, azaz -mal. (i) miatt a szög külső szögfelezője, így mivel a háromszög és az háromszög egyállású és , -at -be szögű forgatás viszi. De láttuk, hogy -t -be is szögű forgatás viszi. Tehát mivel és párhuzamosak, is párhuzamos -mal. Így a , , , , , pontok rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén, azaz egy körön vannak. Mivel a , , pontok éppen az háromszög beírt körét határozzák meg, a bizonyítással készen vagyunk.
Gyenes Zoltán (Apáczai Cs. J. Gimn., 12. o.t.) | Itt és a továbbiakban a szakaszok által meghatározott egyenesek forgatásáról van szó.
|