A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az 16-tagú összeg első és utolsó tagja 0. Továbbá | | ahol lehetséges értékei 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Így . A kiszámításához próbáljuk meg a -et egy kéttagú kifejezés köbeként felírni. Célszerű a kéttagú kifejezést alakban keresni: . Ebből , tehát , továbbá , ami miatt , vagyis . Eszerint: . . Az értékétől függetlenül megkaptuk -t. A növekvő sorrend: , , .
2. Az háromszögben középvonal, háromszögben középvonal, háromszögben középvonal, ezért , így .
3. Mivel | | azért az kikötéssel az egyenlet a következő alakban írható: . A négyzetgyökök miatt és , vagyis . Ezen az intervallumon csak két egész szám van, 1999 és 2000, amelyek megoldásai az egyenletnek.
4. Ha a kör középpontja illeszkedik a parabola tengelyére, akkor csak úgy lehet három közös pontjuk, ha az egyik a parabola tengelypontja. Legyen ez a háromszög csúcsa. A parabola egyenletét írjuk alakban, ezért . A szabályos háromszögnek a tengely felett lévő pontja legyen , ez a pont illeszkedik a parabolára, ezért . Az egyenes irányszöge , így , vagyis , . A szabályos háromszög oldalának hossza: , a magassága , a köréírt kör sugara pedig . Ezek alapján a kör középpontja: . A keresett kör egyenlete: .
5. Alakítsuk át a feltételeket: , . Vagyis azokat a rácspontokat keressük, amelyek illeszkednek az egyenletű parabolára vagy az egyenletű egyenesre és a középpontú, sugarú, zárt körlemezen vannak. A megfelelő pontok: , , , , , .
6. Legyen a bevásárlóközpont egy évvel ezelőtti bevétele egységnyi, a vásárlók száma , akkor az egy főre jutó vásárlás . Ha a vásárlók száma százalékkal nő, akkor az idén a vásárlók létszáma, a megnövekedett egy főre futó vásárlás pedig . Az új, megnövekedett bevétel ezek alapján . A műveleteket elvégezve és rendezve . Az egyenlet pozitív gyöke jöhet csak szóba, és ez , a vásárlók száma 10 százalékkal növekedett.
7. Írjuk fel a diszkrimináns negyedét: | | és különböző előjelű valós számok, azért , , így . Ezzel megmutattuk, hogy az egyenletnek van két különböző valós gyöke. Ha , akkor a helyettesítési érték , vagyis negatív, ha , akkor a helyettesítési érték . Ezt alakban is írhatjuk, ami pozitív, mert . Ebből látható, hogy az egyik gyök a intervallumban van. Ez biztosan a nagyobbik gyök, mert a két gyök szorzata , negatív, a másik gyök tehát negatív.
8. Legyen az -nál lévő belső szög , ekkor . Írjuk fel a területet: | | Legyen , és vizsgáljuk az függvényt, keressük meg a maximumhelyét a intervallumon: | | Vagyis , így .
|
|