Cím: XI. magyar-izraeli matematika verseny
Szerző(k):  Pataki János 
Füzet: 2000/május, 276 - 278. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Április 12-én és 13-án került sor a XI. magyar‐izraeli matematikaverseny egyéni részére. A Nemzetközi Matematikai Diákolimpia rendszerében lebonyolított verseny az idei évtől kezdve Joe Gillis izraeli és Turán Pál magyar matematikusok emlékére a Gillis‐Turán Matematikaverseny nevet viseli. A kétnapos egyéni verseny feladatai a következők voltak:

 
 
Első nap
 

 
1. Legyen S a 2000 szám összes partícióinak halmaza. Minden S-beli p partícióra definiálunk egy függvényt: f(p)=(a p-beli összeadandók száma)+(a p-beli maximális összeadandó). Számítsuk ki azt a minimális értéket, amit f(p) S-en felvesz.
Megjegyzés. Egy pozitív egész n szám partíciója alatt értjük n egy előállítását pozitív egészek összegeként. (Két partíciót, amelyek csak az összeadandók sorrendjében különböznek, nem tekintünk különbözőnek.)
 
2. Bizonyítsuk be, vagy cáfoljuk meg a következő állítást: minden pozitív egész k számhoz létezik olyan pozitív egész n szám, hogy az (ni) binomiális együttható osztható k-val minden 1≤i≤n-1 esetén.
 
3. Legyen ABC egy olyan háromszög, ami nem egyenlő oldalú. Az ABC háromszög beírt köre érintse a megfelelő oldalakat az A1, B1, C1 pontokban, és legyen M az A1B1C1 háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy M rajta van az ABC háromszög körülírt körének középpontját és beírt körének középpontját összekötő egyenesen.
 
 
Második nap
 

 
1. Legyen S={1,2,...,2000}. Tekintsünk két A, B⊆S halmazt, amelyekre |A|⋅|B|≥3999. Bizonyítsuk be, hogy az (A-A)∩(B-B) halmaz nem üres. 
Az X-X jelölés jelentése: X-X={s-t∣s,t∈X,s≠t}. |X| jelöli az X halmaz elemszámát.
 
2. d egy adott egész szám. Legyen az S halmaz a következő:
S={m2+dn2∣m,n∈Z}.
Legyen p, q az S halmaz két eleme, és tegyük fel, hogy p prím. Tegyük fel továbbá, hogy r=qp egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ekkor r is eleme az S halmaznak.
 
3. k és l adott pozitív egész számok, aij (1≤i≤k, 1≤j≤l) pedig k⋅l rögzített pozitív szám. Bizonyítsuk be, hogy ha q≥p>0, akkor
(∑j=1l(∑i=1kaijp)q/p)1/q≤(∑i=1k(∑j=1laijq)p/q)1/p.

A haifai egyetem vendégeként a magyar csapat a következő eredményt érte el (minden feladat 7-7 pontot ért):
Csikvári Péter, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t., 30 pont; 
Gyenes Zoltán, Budapest, Apáczai Cs. J. Gimn., 12. o.t., 33 pont; 
Vizer Máté, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t., 30 pont; 
Zábrádi Gergely, Győr, Révai M. Gimn., 12. o.t., 35 pont.
Az első négy feladat ‐ könnyebbek voltak az átlagosnál ‐ nem tette különösebben próbára a versenyzőket. Az ötödik feladatot a magyarok közül csak Zábrádi Gergely oldotta meg, a hatodikban pedig egyedül Gyenes Zoltánnak volt értékelhető részeredménye. A remekül felkészült izraeli diákok közül ketten is megoldották a legnehezebb, hatodik feladatot, így most az egyéni eredményeket összesítve megelőztek minket; a magyar versenyzők 128, az izraeliek 133 pontot értek el. Gratulálunk, és sok sikert kívánunk nekik a nyári koreai diákolimpián!
A harmadik napon újra felelevenítettük az első évek nagysikerű csapatversenyét. Az angol nyelven megfogalmazott feladatokon együtt gondolkodtak és dolgoztak a négytagú csapatok. A feladatokat a 298. oldalon közöljük.
A csapatverseny problémáinak megoldása a magyar diákoknak sikerült valamivel jobban. Mindkét csapat megoldotta az első feladat első két kérdését, és más-más módszerrel a második feladatot. A harmadik feladatban a magyar csapat teljesítménye határozottan felülmúlta a vendéglátókét. (A nyitott probléma megoldásával is megpróbálkoztak, de részeredményeken túl nem sokra jutottak.)
A háromnapos verseny ünnepelyes eredményhirdetésére április 16-án, vasárnap délután került sor a haifai egyetem dísztermében. Az esemény díszvendége volt Joszef Szarid, az izraeli művelődési miniszter, a magyar külképviselet nevében pedig dr. Jungbert Béla helyettes nagykövet jött el Tel Avivból.
A jövő évi, immár 12-dik verseny színhelye a hagyományoknak megfelelően Magyarország lesz.
Pataki János