A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Április 12-én és 13-án került sor a XI. magyar‐izraeli matematikaverseny egyéni részére. A Nemzetközi Matematikai Diákolimpia rendszerében lebonyolított verseny az idei évtől kezdve Joe Gillis izraeli és Turán Pál magyar matematikusok emlékére a Gillis‐Turán Matematikaverseny nevet viseli. A kétnapos egyéni verseny feladatai a következők voltak:
1. Legyen a 2000 szám összes partícióinak halmaza. Minden -beli partícióra definiálunk egy függvényt: a -beli összeadandók számaa -beli maximális összeadandó. Számítsuk ki azt a minimális értéket, amit -en felvesz. Megjegyzés. Egy pozitív egész szám partíciója alatt értjük egy előállítását pozitív egészek összegeként. (Két partíciót, amelyek csak az összeadandók sorrendjében különböznek, nem tekintünk különbözőnek.)
2. Bizonyítsuk be, vagy cáfoljuk meg a következő állítást: minden pozitív egész számhoz létezik olyan pozitív egész szám, hogy az binomiális együttható osztható -val minden esetén.
3. Legyen egy olyan háromszög, ami nem egyenlő oldalú. Az háromszög beírt köre érintse a megfelelő oldalakat az , , pontokban, és legyen az háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy rajta van az háromszög körülírt körének középpontját és beírt körének középpontját összekötő egyenesen.
1. Legyen . Tekintsünk két , halmazt, amelyekre . Bizonyítsuk be, hogy az halmaz nem üres. Az jelölés jelentése: . jelöli az halmaz elemszámát.
2. egy adott egész szám. Legyen az halmaz a következő: Legyen , az halmaz két eleme, és tegyük fel, hogy prím. Tegyük fel továbbá, hogy egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ekkor is eleme az halmaznak.
3. és adott pozitív egész számok, (, ) pedig rögzített pozitív szám. Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor | |
A haifai egyetem vendégeként a magyar csapat a következő eredményt érte el (minden feladat 7-7 pontot ért): Csikvári Péter, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t., 30 pont; Gyenes Zoltán, Budapest, Apáczai Cs. J. Gimn., 12. o.t., 33 pont; Vizer Máté, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t., 30 pont; Zábrádi Gergely, Győr, Révai M. Gimn., 12. o.t., 35 pont. Az első négy feladat ‐ könnyebbek voltak az átlagosnál ‐ nem tette különösebben próbára a versenyzőket. Az ötödik feladatot a magyarok közül csak Zábrádi Gergely oldotta meg, a hatodikban pedig egyedül Gyenes Zoltánnak volt értékelhető részeredménye. A remekül felkészült izraeli diákok közül ketten is megoldották a legnehezebb, hatodik feladatot, így most az egyéni eredményeket összesítve megelőztek minket; a magyar versenyzők 128, az izraeliek 133 pontot értek el. Gratulálunk, és sok sikert kívánunk nekik a nyári koreai diákolimpián! A harmadik napon újra felelevenítettük az első évek nagysikerű csapatversenyét. Az angol nyelven megfogalmazott feladatokon együtt gondolkodtak és dolgoztak a négytagú csapatok. A feladatokat a 298. oldalon közöljük. A csapatverseny problémáinak megoldása a magyar diákoknak sikerült valamivel jobban. Mindkét csapat megoldotta az első feladat első két kérdését, és más-más módszerrel a második feladatot. A harmadik feladatban a magyar csapat teljesítménye határozottan felülmúlta a vendéglátókét. (A nyitott probléma megoldásával is megpróbálkoztak, de részeredményeken túl nem sokra jutottak.) A háromnapos verseny ünnepelyes eredményhirdetésére április 16-án, vasárnap délután került sor a haifai egyetem dísztermében. Az esemény díszvendége volt Joszef Szarid, az izraeli művelődési miniszter, a magyar külképviselet nevében pedig dr. Jungbert Béla helyettes nagykövet jött el Tel Avivból. A jövő évi, immár 12-dik verseny színhelye a hagyományoknak megfelelően Magyarország lesz.
|