A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Legyen és (, ); ekkor és , tehát , , . . Az adott egyenlet megoldásai , .
2. A feltétel szerint, millió forintban számolva | | Két teljes évet kell várnunk. (Ekkor forint lesz a bankban.)
3. A félkör középpontjából a befogókra bocsássunk merőleges szakaszokat. Ezek hossza a félkör sugarával egyezik meg. Így két hasonló derékszögű háromszöget kapunk, amelyekben az átfogó , illetve , tehát a hasonlóság aránya . A kör sugara legyen , a kisebb derékszögű háromszög két befogója , illetve , átfogója így , . A félkör sugara egység.
4. A átló egyenesének egy pontja: , , . Azokat a pontokat (, ) keressük, amelyekre , azaz , , , . Így és . Mivel és , , ezért , tehát , , a hozzá tartozó magasság egység, a rombusz területe területegység.
5. Nyilván , , és . A második egyenletből | | Az első egyenletből vagy , azaz , , , hiszen nem lehetséges. Az egyenletrendszer megoldásai: , , .
6. Vegyük fel a gúlának az alapnégyzet két szemközti oldalának a felezőpontján átmenő tengelysíkmetszetét. Ez egy egyenlő szárú derékszögű háromszög az alapra állított beírt négyzettel, hiszen az egyenlő szárú háromszög alapja , magassága . Ha a négyzet oldala , akkor , . A gúla térfogata: ; a kocka térfogata . A gúla térfogata a kocka térfogatának a -szerese.
7. Ha , akkor ; ennek egyetlen megoldása . Ha , akkor az egyenletnek csak olyan szám lehet megoldása, amelyikre , így . Ekkor az egyenlet: , . Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa , gyökeinek szorzata , így különböző előjelűek; mivel most , azért csak a negatív gyök a megfelelő. Ha , akkor az egyenletnek csak olyan szám lehet a megoldása, amelyikre , így . Ekkor az egyenlet: , . Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa , gyökeinek szorzata , így különböző előjelűek; mivel most , azért csak a pozitív gyök a megfelelő.
(A pontosan egy megoldást a , , esetekben a grafikus megoldás jól szemlélteti.)
8. Mivel , azért egyrészt azt kell igazolni, hogy , azaz | | (1) | másrészt, hogy , azaz Alkalmazzuk a háromszögegyenlőtlenség(ek)et. Ezek szerint | | így négyzetre emelve: | | Ez utóbbi három egyenlőtlenséget összeadva kapjuk, hogy | |
Innen rendezés után kapjuk, hogy | | éppen a két bizonyítandó egyenlőtlenség.
|
|