Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a II. mérőlap (1998/9.sz.) feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1999/január, 21 - 24. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. A háromszög kerülete $2s=\mathrm{70,4}$ egység, így $s=\mathrm{35,2}$ egység. A háromszög területe Heron képlettel számolva, $T^2=\mathrm{35,2}\cdot \mathrm{2,2}\cdot \mathrm{26,4}\cdot \mathrm{6,6}$, ahonnan $T^2={\left(\mathrm{116,16}\right)}^2$, tehát $T=\mathrm{116,16}$ területegység. Ismeretes, hogy a háromszögbe írt kör sugara $\varrho =\frac{T}{s}$, azaz most $\varrho =\frac{\mathrm{116,16}}{\mathrm{35,2}}=\mathrm{3,3}$ egység. (A háromszög területét és a beírható kör sugarát más módon is kiszámíthatjuk. Hogyan?)   2. Az egyenletnek minden $-2\le x\le 3$ valós számra van értelme. Észrevehető, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 11+x+6\sqrt[]{x+2}=\left(x+2\right)+6\sqrt[]{x+2}+9={\left(\sqrt[]{x+2}+3\right)}^2\text{ és }}\\ \hfill {\displaystyle 4-x+2\sqrt[]{3-x}=\left(3-x\right)+2\sqrt[]{3-x}+1={\left(\sqrt[]{3-x}+1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Mivel $\sqrt[]{x+2}+3>0$ és $\sqrt[]{3-x}+1>0$, ha $-2\le x\le 3$, $\sqrt[]{a^2}=|a|=a$, ha $a>0$, ezért az adott egyenlet $\sqrt[]{x+2}+3+\sqrt[]{3-x}+1=7$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{3-x}=\mathrm{3,}}\end{array}$ (1) alakban írható. Az eddigi átalakítások ekvivalensek voltak, így az (1) egyenlet a megoldandó egyenlettel ekvivalens. Az (1) egyenlet sokféle módon megoldható. Oldjuk meg egyenletrendszerre való visszavezetéssel. Legyen