A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. A háromszög kerülete egység, így egység. A háromszög területe Heron képlettel számolva, , ahonnan , tehát területegység. Ismeretes, hogy a háromszögbe írt kör sugara , azaz most egység. (A háromszög területét és a beírható kör sugarát más módon is kiszámíthatjuk. Hogyan?)
2. Az egyenletnek minden valós számra van értelme. Észrevehető, hogy | | Mivel és , ha , , ha , ezért az adott egyenlet , azaz alakban írható. Az eddigi átalakítások ekvivalensek voltak, így az (1) egyenlet a megoldandó egyenlettel ekvivalens. Az (1) egyenlet sokféle módon megoldható. Oldjuk meg egyenletrendszerre való visszavezetéssel. Legyen és , akkor és , ahonnan , s mivel , , ezért , ahonnan vagy . Figyelembe véve, hogy , ezért az adott egyenlet megoldásai és .
3. Célszerű jelöléssel az utolsó négy szám legyen , , , . A feltétel szerint , azaz és , azaz , vagy . Ha , akkor az utolsó négy szám , 2, 6, 10, és így , tehát , ; ha , akkor az utolsó négy szám 10, 6, 2, , és így , tehát , . (Természetesen más jelöléssel is dolgozhatunk.)
4. A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt az őt közrezáró két oldal arányában osztja. A két oldal aránya most , ezért a harmadik oldal két része legyen , illetve . A két adott oldal által bezárt szög legyen . A két részháromszögben alkalmazzuk a koszinusztételt. Így | | Az (1) egyenletet -mal, a (2) egyenletet 2-vel szorozva, majd az így kapott egyenleteket összeadva , (), majd ezt valamelyik egyenletbe helyettesítve adódik. Így , ; a harmadik oldal egység. (A feladat más módokon is megoldható. Hogyan?)
5. A ponton átmenő egyenesek egyenlete vagy alakban írható, ahol . Az egyenletű egyenes az adott egyeneseket , illetve ordinátájú pontokban metszi, így az tengelyen való vetület , tehát ez nem megoldás. Az egyenletű egyenes az adott két párhuzamos egyenest az | | ordinátájú pontokban metszi. (Itt és . Ha ugyanis vagy , akkor nincs megoldás.) Azokat az értékéket keressük, amelyekre , azaz | | ahonnan . Innen vagy , azaz vagy . A feltételeknek két egyenes felel meg: | | (A feladat más módon is megoldható. Hogyan?)
6. A azonosságot alkalmazva a | | (1) | egyenletet kapjuk. Az (1) egyenletnek akkor van megoldása, ha az egyenlet diszkriminánsa nemnegatív, és teljesül a egyenlőtlenség. Most , így vagy . Az és a egyenlőtlenség közül legalább az egyik akkor teljesül, ha , így ezekre az -ekre van az egyenletnek megoldása. Ha , akkor ; ha , akkor vagy ; ha , akkor vagy ; ha , akkor vagy ; ha , akkor . Oldja meg ezeket az alapegyenleteket!
7. Az egyenlőtlenség , valós számokra értelmezett. Azonosságok alkalmazásával, majd rendezéssel: | | Ez pontosan akkor teljesül, ha vagy . Az egyenlőtlenség megoldásai tehát: vagy .
8. Az -re másodfokú egyenletnek csak akkor lehet négy különböző valós gyöke, ha a diszkriminánsa pozitív, azaz ha | | azaz vagy . Most | | | |
Mivel , és , azért , , , pontosan akkor egy számtani sorozat négy egymást követő eleme, ha , azaz . (Ekkor is teljesül). Tehát | | (Ha , akkor , vagy , , , , , ha , akkor , vagy , , , , .)
Megjegyzés. A negyedfokú egyenletben együtthatója nulla, így a gyökök összege nulla. Jelölje a négy gyököt , , , . Innen , . A gyökök tehát , , . Az -re másodfokú egyenlet két gyöke: vagy . Az egyenlet | | alakban írható. Hasonlítsuk össze a kitűzött egyenlettel. Ebből és , azaz vagy , így | | így vagy .
|
|