Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények az I. mérőlap (1999/7. sz.) feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1999/november, 481 - 483. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Ha a kamatláb az első évben $p\%$ volt, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 300000\left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1+\frac{p-3}{100}\right)}& {\displaystyle =386\mathrm{400,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 30\left(100+p\right)\left(100+p-3\right)}& {\displaystyle =30\cdot 12\mathrm{880,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle p^2-197p-3180}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ $p_1=15$ ($p_2=-212$). A kamatláb az első évben 15%-os volt.   2. Vegyük fel egy egyenesen az $A$ és $P$ pontokat ($AP=9$ egység) és az egyenestől $\mathrm{4,5}$ egység távolságra haladó (egyik) párhuzamos egyenest, majd ezen az egyenesen a megfelelő $D$ pontot ($AD\perp AP$). A $B$ pont a $P$ ponttól 6 egység távolságra van az $AP$ egyenesen. Két ilyen $B$ pont van, $B_1$ és $B_2$, $A{B}_2=9+6=15$ egység, $A{B}_2=9-6=3$ egység. Így két $C$ és két $Q$ pont van, $C_1$ és $C_2$, valamint $Q_1$ és $Q_2$. Az $AP{Q}_1$ és a $D{C}_{1}P$, illetve az $AP{Q}_2$ és a $D{C}_{2}P$ háromszögek hasonlók. Ha a $Q_1$, illetve a $Q_2$ pont távolsága az $A{B}_1$, illetve $A{B}_2$ egyenestől $d_1$, illetve $d_2$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle d_1=9\cdot \frac{\mathrm{4,5}}{15}=\mathrm{2,7}\text{egység}\mathrm{,}\text{illetve}{d}_2=9\cdot \frac{\mathrm{4,5}}{3}=\mathrm{13,5}\text{egység}\mathrm{.}}\end{array}$   3. A feltételekből adódik, hogy $\alpha$ és $\beta$ hegyesszögek. A szinusztétel alkalmazásával $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }\cdot \frac{\text{cos}\beta }{\text{sin}\beta }=\frac{\text{sin}{}^2\alpha }{\text{sin}{}^2\beta }\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\text{sin}2\alpha =\text{sin}2\beta$, azaz $2\alpha =2\beta +2k\pi$ vagy $2\alpha +2\beta =\pi +2k\pi$, tehát $\alpha =\beta$ vagy $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$. Az első esetben $b=a$, a másodikban $b=\sqrt[]{c^2-a^2}$.   4. A lefedetlen terület akkor a legnagyobb, ha a lefedett terület a legkisebb. Az $AP$ és $BP$ szakaszok hosszának az összege $2a$; az egyik legyen $a-x$, a másik $a+x$, ahol $0\le x<a$. A lefedett terület: $T\left(x\right)={\left(a-x\right)}^2+{\left(a+x\right)}^2=2x^2+2a^2$, ahol $0\le x<a$. $T$ akkor a legkisebb, ha $x=0$, $P$ az $AB$ szakasz felezőpontja. A lefedetlen terület legnagyobb értéke innen $4a^2-2a^2=2a^2$ területegység.   5. Mivel $\text{cos}{}^{2}x=1-\text{sin}{}^{2}x$  és $\text{sin}{}^{2}x=|\text{sin}x{|}^2$, azért $4\cdot |\text{sin}x{|}^2+8|\text{sin}x|-5\ge 0$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\left(|\text{sin}x|-\frac{1}{2}\right)\left(|\text{sin}x|+\frac{5}{2}\right)\ge 0.}\end{array}$ $|\text{sin}x|+\frac{5}{2}>0$ minden valós $x$-re, tehát a feltétel $|\text{sin}x|\ge \frac{1}{2}$, azaz $\text{sin}x\ge \frac{1}{2}$ vagy $\text{sin}x\le -\frac{1}{2}$. Az egyenlőtlenség a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\pi }{6}+k\pi \le x\le \frac{5\pi }{6}+k\pi \mathrm{,}k\in \text{Z}}\end{array}$ valós számokra teljesül.   6. Az adott egyenessel párhuzamos egyenesek egyenlete $3x+4y+k=0$ ($k\in \text{R})$. Ezek közül keressük azokat, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle 2=\frac{|3\cdot \left(-1\right)+4\cdot 2+k|}{\sqrt[]{3^2+4^2}}=\frac{|k+5|}{\sqrt[]{25}}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $10=|k+5|$, azaz $k+5=10$ vagy $k+5=-10$, $k=5$ vagy $k=-15$. A feltételeknek a $3x+4y+5=0$ és a $3x+4y-15=0$ egyenletű egyenesek felelnek meg. (Azokat az egyeneseket keressük, amelyek érintik az ${\left(x+1\right)}^2-{\left(y-2\right)}^2=4$ egyenletű kört is. Így a $k$ értékét diszkrimináns feltétellel is megkaphatjuk. A feladat a szerkesztés menetének számítással való követése révén is megoldható.)   7. Ismeretes, hogy ha $A>0$ és $B>0$, akkor $A+B\ge 2\sqrt[]{AB}$, és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha $A=B$. Ennek és az $x\mapsto \text{log}{}_{2}x$ függvény szigorú monoton növekedésének alkalmazásával $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_2\left(\text{cos}{}^2\left(xy\right)+\frac{1}{4\text{cos}{}^2\left(xy\right)}\right)\ge \text{log}{}_2\left(2\cdot \sqrt[]{\frac{1}{4}}\right)=\text{log}{}_{2}1=0.}\end{array}$ Mivel $-{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0$, azért azok az $\left(x;y\right)$ számpárok a megoldások, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^2\left(xy\right)=\frac{1}{4\text{cos}{}^2\left(xy\right)}\text{és}y=\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $\text{cos}{}^4\frac{x}{2}=\frac{1}{4}$, $\text{cos}{}^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$, $\frac{1+\text{cos}x}{2}=\frac{1}{2}$, $\text{cos}x=0$. A megoldások: $x_k=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $y_k=\frac{1}{2}$, $k\in \text{Z}$.   8. Mivel $3^x>0$ minden valós $x$-re, azért ‐ azonos átalakításokkal és rendezéssel ‐ $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a-9\right)\cdot {\left(3^x\right)}^2-2a\cdot 3^x+a=0.}\end{array}$ Ha $a=9$, akkor $3^x=\frac{1}{2}$, $x_0=\text{log}{}_3\frac{1}{2}$. Ha $a\ne 9$, akkor a $\left(3^x\right)$-re másodfokú egyenlet diszkriminánsa: $\begin{array}{c}{\displaystyle D=4a^2-4a\left(a-9\right)=36a\mathrm{.}}\end{array}$ Így, ha $a<0$, akkor nincs megoldás, ha $a\ge 0$, akkor lehet megoldás. Ha $a\ge 0$, akkor $a={\left(\sqrt[]{a}\right)}^2$, így $3^x=\frac{2a\pm 6\sqrt[]{a}}{2\left(a-9\right)}$. Azonos átalakításokkal $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{2a\pm 6\sqrt[]{a}}{2\left(a-9\right)}=\frac{2\sqrt[]{a}\left(\sqrt[]{a}\pm 3\right)}{2\left(\sqrt[]{a}-3\right)\left(\sqrt[]{a}+3\right)}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \text{tehát}{3}^x=\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{a}+3}\text{vagy}{3}^x=\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{a}-3}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Mivel $3^x>0$, azért $a=0$ esetén nincs megoldás; az $x_1=\text{log}{}_3\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{a}+3}$ akkor megoldás, ha $a>0$ és $a\ne 9$, az $x_2=\text{log}{}_3\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{a}-3}$ akkor megoldás, ha $a>9$. Így, ha $a\le 0$, akkor nincs megoldás; ha $0<a<9$ vagy $a=9$, akkor egy megoldás van, $x_1$, illetve $x_0$; ha $a>9$, akkor két megoldás van, $x_1$ és $x_2$. Rábai Imre