Cím: Egy meglepő bizonyítás
Szerző(k):  Pataki János 
Füzet: 1999/november, 449 - 451. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számelmélet egyik klasszikus eredménye, hogy minden 4k+1 alakú prím felírható két négyzetszám összegeként. Fermat tisztázta először, hogy általában milyen számokra létezik ilyen felbontás, és a megoldás igazán nehéz része éppen az, hogy a 4k+1 alakú prímeknek megvan ez a tulajdonsága. Az eltelt 350 évben számos bizonyítás született erre a tételre, kettő például megtalálható Erdős‐Surányi: Válogatott fejezetek a számelméletből (Polygon Könyvtár ‐ Szeged, 1996) című könyvében.
Az alábbi, valóban meghökkentő bizonyítás még nincs 10 éves, 1990-ben közölte Don Zagier amerikai matematikus. A bizonyítás meglehetősen szokatlan környezetbe helyezi az állítást, sokáig nem világos, miért kerül sor az egyes lépésekre, majd a végkifejletben valóban drámai gyorsasággal fény derül a bizonyítás alapeszméjére, és minden a helyére kerül.
Legyen tehát p=4k+1 prím, és tekintsük a következő halmazt:

S={(x,y,z)∈N3:x2+4yz=p}.
Az S nyilván véges halmaz, egy felület bizonyos egész koordinátájú pontjai alkotják.
A bizonyítás célja annak igazolása, hogy az S halmaz elemszáma páratlan; az állítás ebből már következik. Aki akar, töprenghet azon, hogy miért, miközben az S halmaz vizsgálatát követi.
Az első mély észrevétel az, hogy az S halmazt két sík, egyenletük x=y-z és x=2y, három részre osztja. Ez a felbontás valahogy jobban mutatja az S szerkezetét. Ezek a részek:
S1={(x,y,z)∈S:x<y-z}S2={(x,y,z)∈S:y-z<x<2y}S3={(x,y,z)∈S:2y<x}
Ahhoz, hogy valóban az S felbontást kapjuk, szükséges, hogy a síkok ne tartalmazzanak S-beli pontot. Ha x=y-z, akkor p=(y+z)2, ha pedig x=2y, akkor p=4y(y+z) következik, de egyik eset sem lehetséges, hiszen a p prímszám. Az 1. táblázatban látható az S1, S2, S3 felbontás, ha p=41.
 
  S1    S2    S3    (1,5,2)    (1,1,10)    (5,2,2)    (1,10,1)    (1,2,5)    (3,1,8)    (3,8,1)    (3,2,4)    (5,1,4)        (3,4,2)            (5,4,1)      
 
1. táblázat
 

Ami a példán látszik, általában is igaz: S1 és S3 elemszáma egyenlő, S2 elemszáma pedig páratlan. Ennek igazolásához Zagier egy leképezést ad meg az S halmazon az alábbiak szerint:
f:{S1→S3(x,y,z)↦(x+2z,z,y-x-z)
 
S2→S2(x,y,z)↦(2y-x,y,x-y+z)
 
S3→S1(x,y,z)↦(x-2y,x-y+z,y)
Könnyű ellenőrizni ‐ ha maga a leképezés már megvan ‐, hogy az S1-en és az S3-on definiált részek kölcsönösen egyértelműek és egymás inverzei, az S2-n definiált rész pedig ugyancsak kölcsönösen egyértelmű, és egyenlő önmaga inverzével. Így f az S1-et S3-ra, az S3-at S1-re, az S2-t pedig önmagára képezi le kölcsönösen egyértelműen.
A 2. táblázatban ez a leképezés látható a p=41 esetben.
  S1    S3    S2    (1,5,2)    (5,2,2)    (1,1,10)    (1,10,1)    (3,1,8)    (1,2,5)    (3,8,1)    (5,1,4)    (3,2,4)            (3,4,2)            (5,4,1)  
2. táblázat
 


Az f tehát fölcseréli az S1 és S3 elemeit, S2-t pedig fixen tartja. S1 és S3 ezért egyenlő elemszámú, így ahhoz, hogy S-ben páratlan sok elem legyen, S2-nek kell páratlan elemszámúnak lennie. Ez csak úgy lehetséges, ha az f által létesített párosításban van ‐ mégpedig páratlan sok ‐ egyenlő elemű pár. A 2. táblázatban ez az (1,1,10)‐(1,1,10), amelyre tehát f(1,1,10)=(1,1,10); az f leképezés fixpontja. Vizsgáljuk ezért általában f fixpontjait. Ilyet csak S2-ben találhatunk, hiszen f fölcseréli S1 és S3 elemeit.
Mivel S2-ben f(x,y,z)=(2y-x,y,x-y+z) alakú, f(x,y,z)=(x,y,z) pontosan akkor teljesül, ha x=y. Az S halmaz pontjain ez a megszorítás azt jelenti, hogy
x2+4xz=p,
azaz x(x+4z)=p. Innen x=1 ‐ hiszen a p prím ‐ és ezért z=p-14, ami most egész szám, hiszen a p  4k+1 alakú. Az f leképezésnek tehát egyetlen fixpontja van, az (1,1,p-14), ebből pedig következik, hogy az S halmaznak páratlan sok eleme van, hiszen f e pont kivételével párokba rendezi az S elemeit.
Nem valószínű, hogy aki eddig követte ezt a lényegében analitikus‐kombinatorikus geometriai gondolatmenetet, közelebb érzi a bizonyítandó állítást. Pedig az most már karnyújtásnyira van.
Tekintsük ugyanis ezután a következő, sokkal egyszerűbb leképezést: g:S→S, g(x,y,z)=(x,z,y).
A g tehát fölcseréli az S-beli elemek második két koordinátáját. Mivel az S erre a transzformációra szimmetrikus, a g is kölcsönösen egyértelműen képezi le az S halmazt önmagára, és egyenlő a saját inverzével. Mivel pedig S-nek páratlan sok eleme van, a g által létesített párok sem állhatnak valamennyien különböző elemekből,
a  g  leképezésnek is van fixpontja.
Van tehát olyan S-beli s elem, amelyre g(s)=s, azaz
(x,z,y)=(x,y,z),
az s ezért (x,y,y) alakú.
Minden összeér, hiszen az S definíciója szerint erre az elemre
x2+4y2=p,
éppen az x2+(2y)2 alakú felbontás. A 2. táblázatban ez az S3-beli (5,2,2), és így kapjuk az 52+42=41 alakot.
A bizonyítás itt véget ér, az Olvasó pedig elmélkedhet a gondolatmenet erején és eleganciáján, de a részleteken is.

A fenti bizonyítás nem konstruktív, nem ad módszert arra, hogy miképpen bontható föl egy prímszám. Látszólag többet is kiad: a fentiekből egészen pontosan annyi következik, hogy a g-nek páratlan sok fixpontja van, azaz a p előállításainak száma páratlan.
Pataki János


Felhasznált irodalom: Martin Aigner‐Günter M. Ziegler: Proofs from THE BOOK, Springer Verlag.
 

A következőkben egy bizonyítást közlünk arra, hogy ez az előállítás egyértelmű.