Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények az V. mérőlap (1999/4. sz.) feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1999/május, 273 - 275. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Tudjuk, hogy $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha +\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\pi -\alpha \right)=0$. Ezért $a=0$, mert párosíthatjuk a tagokat, az elsőt az utolsóval, a másodikat az ötödikkel, a harmadikat pedig a negyedikkel. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle =\text{sin}{}^{\text{cos}{60}^{\circ }}+\text{cos}{}^{\text{sin}{60}^{\circ }}{30}^{\circ }={\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=2\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3}}{2}}=\sqrt[]{2\sqrt[]{3}}\mathrm{.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c_1}& {\displaystyle =\mathrm{3,}{c}_2=2\cdot \sqrt[]{3}\mathrm{,}{c}_3=2\sqrt[]{2\sqrt[]{3}}=2b\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Vagyis $n=3$ esetén lesz az $a$, $b$ és $c_3$ egy számtani sorozat három egymást követő tagja.   2. Az egyenlet diszkriminánsa: $D=36{\left(a+b\right)}^2-20{\left(a+b\right)}^2=16{\left(a+b\right)}^2$. Látható, hogy minden esetben van gyök, ezek a megoldóképlet segítségével: $x_{\mathrm{1,}2}=\frac{6\left(a+b\right)\pm 4\left(a+b\right)}{10}$, amiből $x_1=a+b$, $x_2=\frac{a+b}{5}$. Mivel a feladat szövege szerint $1<a+b<5$, ezért $1<x_1$, $\mathrm{0,2}<x_2<1$, az egyenlet egyik gyöke valóban 0-nál nagyobb, de 1-nél kisebb, a másik gyöke pedig 1-nél nagyobb. A feladat állításának megfordítása: Az $5x^2-6\left(a+b\right)x+a^2+b^2+2ab=0$ másodfokú egyenletben az $a$ és a $b$ valós paraméterek, amelyekre az egyenlet egyik gyöke $0$-nál nagyobb, de $1$-nél kisebb, a másik pedig $1$-nél nagyobb. Mutassuk meg, hogy $1<a+b<5$. A szöveg alapján az egyenletnek van két különböző, pozitív gyöke: $x_1=a+b$, $x_2=\frac{a+b}{5}$. Ezért $x_2<x_1$, vagyis $0<\frac{a+b}{5}<1$, $1<a+b$. Ez azt jelenti, hogy valóban $1<a+b<5$.   3. Nézzük az $N=n^5-5n^3+4n$ kifejezést. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ azért $N$ minden $n$ egész esetén osztható 5-tel. Az $m$ értéke negatív nem lehet, mert ekkor $A$ értéke nem egész. Ha $m=0$, akkor $A=N$, vagyis ekkor minden $n$ egész szám megfelelő. Vizsgáljuk végül az $m>0$ esetet. A 2 pozitív egész kitevőjű hatványairól tudjuk, hogy az utolsó jegyük periodikusan ismétlődik: 2, 4, 8, 6, 2, $\text{...}$ Az $\begin{array}{c}{\displaystyle A=n^5-5n^3+4n-2^m+1=\left(n^5-5n^3+4n\right)-\left(2^m-1\right)}\end{array}$ átalakítása után látjuk, hogy $2^m-1$ is osztható kell legyen 5-tel. Így $2^m$ utolsó jegye csak 6 lehet, vagyis $m$ 4-gyel osztható pozitív egész. A három lehetőség alapján a megoldás: $n$ tetszőleges egész szám, $m$ pedig tetszőleges 4-gyel osztható természetes szám.   4. A $COB$ háromszögben $\frac{z}{y}=\frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{sin}{45}^{\circ }}$, a $BOA$ háromszögben pedig $\frac{x}{AB}=\frac{\text{sin}\frac{\beta }{2}}{\text{sin}{135}^{\circ }}$. Így  $\frac{z}{y}=\frac{x}{AB}$, ami $\frac{1}{z^2}=\frac{A{B}^2}{x^2{y}^2}$ alakban is írható. A $BOA$ háromszögben $A{B}^2=x^2+y^2-2xy\cdot \text{cos}{135}^{\circ }$, és így $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{1}{z}\right)}^2=\frac{x^2+y^2-2xy\cdot \text{cos}{135}^{\circ }}{x^2{y}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt szorozzuk meg $x^2{y}^2{z}^2$-tel: ${\left(xy\right)}^2={\left(xz\right)}^2+{\left(yz\right)}^2-2\left(xz\right)\left(yz\right)\cdot \text{cos}{135}^{\circ }$. Ez éppen a koszinusztétel az $xy$, $xz$ és $yz$ oldalhosszúságú háromszögben. Látható, hogy az $xy$ oldallal szemben van a ${135}^{\circ }$-os szög.   5. A három kör középpontja $A\left(-2;5\right)$, $B\left(4;-3\right)$, $C\left(1;6\right)$, ezek a pontok egy derékszögű háromszög csúcsai, hiszen $AB=10$, $BC=3\sqrt[]{10}$, $CA=\sqrt[]{10}$ és $A{B}^2=B{C}^2+C{A}^2$. Az $ABC$ háromszög köréírt körének sugara 5, a kör középpontja pedig az $AB$ átfogó felezőpontja, $F\left(1;1\right)$. Mivel a feladatban megadott körök mindegyikének 1 a sugara, azért a keresett kör középpontja az $F$ pont, a sugara pedig 1 egységgel nagyobb, mint az $ABC$ háromszög köréírt körének sugara. A keresett egyenlet: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=36$.   6. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát $abc$-vel: $\begin{array}{c}{\displaystyle b{c}^2-b^{2}c+a^{2}c-a{c}^2+a{b}^2-a^{2}b=0.}\end{array}$ A kapott egyenlőség bal oldala szorzattá alakítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(c{a}^2-b{a}^2\right)+\left(c^{2}b-b^{2}c\right)-\left(c^{2}a-b^{2}a\right)=\left(c-b\right)\left[a^2+bc-\left(c+b\right)a\right]=}\\ \hfill {\displaystyle =\left(c-b\right)\left[\left(a^2-ac\right)-\left(ba-bc\right)\right]=\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0.}\end{array}}}\end{array}$ Tudjuk, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0, ezért a számtani sorozatnak van két egyenlő tagja. Ekkor azonban minden tagja egyenlő. Vagyis $S_n=nx$, ahol $x$ az első tag.   7. Végezzük el a következő átalakításokat: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{sin}{}^{4}x+\text{cos}{}^{4}x={\left(\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x\right)}^2-2\text{sin}{}^{2}x\cdot \text{cos}{}^{2}x=}\\ \hfill {\displaystyle =1-\frac{\text{sin}{}^{2}2x}{2}=1-\frac{1-\text{cos}4x}{4}=\frac{3}{4}+\frac{\text{cos}4x}{4}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A $\frac{\text{cos}4x}{4}$ képe a $\text{cos}x$ képéből középpontos hasonlósággal kapható. Ennek középpontja az origó, aránya pedig $\frac{1}{4}$.   8. A második egyenletet felhasználva: $\left(x-72\right)+\left(y+1998\right)=1999+1926$. Legyen $a=\sqrt[3]{x-72}$, $b=\sqrt[3]{y+1998}$, ekkor az egyenletrendszerünk ilyen alakot vesz fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a+b}& {\displaystyle =\mathrm{25,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^3+b^3}& {\displaystyle =3925.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az első egyenletből kifejezzük $b$-t, ezt beírjuk a másodikba: $a^3+{\left(25-a\right)}^3=3925$. Rendezzük az egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a^3+15625-1875a+75a^2-a^3}& {\displaystyle =\mathrm{3925,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 75a^2-1875a+11700}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2-25a+156}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ amiből $a_1=12$, $a_2=13$. A megfelelő $b$ értékek: $b_1=13$, $b_2=12$. Az eredeti ismeretlenek, $x$ és $y$: $x_1=1800$, $y_1=199$, valamint $x_2=2269$, $y_2=-270$.   Számadó László