A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Tudjuk, hogy . Ezért , mert párosíthatjuk a tagokat, az elsőt az utolsóval, a másodikat az ötödikkel, a harmadikat pedig a negyedikkel. | | Vagyis esetén lesz az , és egy számtani sorozat három egymást követő tagja.
2. Az egyenlet diszkriminánsa: . Látható, hogy minden esetben van gyök, ezek a megoldóképlet segítségével: , amiből , . Mivel a feladat szövege szerint , ezért , , az egyenlet egyik gyöke valóban 0-nál nagyobb, de 1-nél kisebb, a másik gyöke pedig 1-nél nagyobb. A feladat állításának megfordítása: Az másodfokú egyenletben az és a valós paraméterek, amelyekre az egyenlet egyik gyöke -nál nagyobb, de -nél kisebb, a másik pedig -nél nagyobb. Mutassuk meg, hogy . A szöveg alapján az egyenletnek van két különböző, pozitív gyöke: , . Ezért , vagyis , . Ez azt jelenti, hogy valóban .
3. Nézzük az kifejezést. Mivel | | azért minden egész esetén osztható 5-tel. Az értéke negatív nem lehet, mert ekkor értéke nem egész. Ha , akkor , vagyis ekkor minden egész szám megfelelő. Vizsgáljuk végül az esetet. A 2 pozitív egész kitevőjű hatványairól tudjuk, hogy az utolsó jegyük periodikusan ismétlődik: 2, 4, 8, 6, 2, Az | | átalakítása után látjuk, hogy is osztható kell legyen 5-tel. Így utolsó jegye csak 6 lehet, vagyis 4-gyel osztható pozitív egész. A három lehetőség alapján a megoldás: tetszőleges egész szám, pedig tetszőleges 4-gyel osztható természetes szám.
4. A háromszögben , a háromszögben pedig . Így , ami alakban is írható. A háromszögben , és így | | Ezt szorozzuk meg -tel: . Ez éppen a koszinusztétel az , és oldalhosszúságú háromszögben. Látható, hogy az oldallal szemben van a -os szög.
5. A három kör középpontja , , , ezek a pontok egy derékszögű háromszög csúcsai, hiszen , , és . Az háromszög köréírt körének sugara 5, a kör középpontja pedig az átfogó felezőpontja, . Mivel a feladatban megadott körök mindegyikének 1 a sugara, azért a keresett kör középpontja az pont, a sugara pedig 1 egységgel nagyobb, mint az háromszög köréírt körének sugara. A keresett egyenlet: .
6. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -vel: | | A kapott egyenlőség bal oldala szorzattá alakítható: | | Tudjuk, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0, ezért a számtani sorozatnak van két egyenlő tagja. Ekkor azonban minden tagja egyenlő. Vagyis , ahol az első tag.
7. Végezzük el a következő átalakításokat: | | A képe a képéből középpontos hasonlósággal kapható. Ennek középpontja az origó, aránya pedig .
8. A második egyenletet felhasználva: . Legyen , , ekkor az egyenletrendszerünk ilyen alakot vesz fel: Az első egyenletből kifejezzük -t, ezt beírjuk a másodikba: . Rendezzük az egyenletet: | | amiből , . A megfelelő értékek: , . Az eredeti ismeretlenek, és : , , valamint , .
|
|