Cím: VII. Székely Mikó Matematika Verseny
Füzet: 1999/május, 271 - 273. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Erdély legrangosabb matematikaversenyének döntő fordulóját Sepsiszentgyörgyön, 1999. február 20-án tartották meg. A kitűzött példák megoldására 3 óra állt rendelkezésre.*A feladatok eredeti szövegét közöljük. A használt jelölések, kifejezések és egyes témakörök néhány esetben nem szerepelnek a hazai tananyagban. Ezért az Olvasóktól elnézést kérünk.  A szerk.

 
 
 
IX. osztály
 

 
1. a) Határozd meg az összes olyan f:N→N* függvényt, amelyre
(x+1)f(x)-xf(x+1)=1,∀x∈N.
Ezek közül melyek szürjektívek?
b) Van-e olyan f:R+*→R függvény, amely teljesíti a következő feltételeket:
(x+1)f(x)-xf(x+1)=1,∀x∈R+*,
és f végtelen sok értékre 1-nél szigorúan nagyobb, végtelen sok értékre pedig 1-nél szigorúan kisebb értéket vesz fel?
 Kacsó Ferenc, Marosvásárhely

 
2. Az ABC háromszög (BC), (CA), (AB) oldalain rendre felvesszük az M, N, P pontokat úgy, hogy BMCM=CNAN=APBP=k>0. A háromszögön kívül megszerkesztjük az (AN)-nel párhuzamos és kongruens (MQ) szakaszt. Bizonyítsd be, hogy:
a) QC‖AB b) PQ felezi a (BC) szakaszt.
 Szöllősy György, Máramarossziget

 
3. Igazold, hogy bármely x1, x2, ..., xn∈(0,π2)-re érvényes az alábbi egyenlőtlenség:
cos(x1-x2)⋅cos(x2-x3)⋅...⋅cos(xn-x1)≥sin2x1⋅sin2x2⋅...⋅sin2xn.

 Bencze Mihály, Brassó

 
4. Legfeljebb hány tagja lehet annak a parlamenti bizottságnak, amelyben bármely két tag barát vagy ellenség, senkinek sincs tíznél több ellensége, és bármely hármas csoportban legalább két tag egymás ellensége?
 Bege Antal, Kolozsvár

 
 
X. osztály
 
 

 
1. Bizonyítsd be, hogy ha a, b, c∈(0,1), akkor:
loga3bcbc+a(b+c)+logb3caca+b(c+a)+logc3abab+c(a+b)≥0,
Mikor áll fenn az egyenlőség?
 Kovács Béla, Szatmárnémeti

 
2. Bizonyítsd be, hogy ha a, b, c∈C*, |a|=|b|=|c| és az2+bz+c=0, akkor
|z|∈[5-12,5+12].

 Bencze Mihály, Brassó

 
3. a) Bizonyítsuk be, hogy a
1-tg(π8+α)1+tg(π8+α)+1-tg(π8-α)1+tg(π8-α)+2⋅cos(2α)-12⋅cos(2α)+1
kifejezés értéke állandó, ha α befutja a [0,π8] intervallumot.
b) Adott az ABCD négyzet. Egy d egyenes az AB, AD és AC szakaszokat a P, Q, illetve R pontokban metszi. Bizonyítsd be, hogy ha d metszi a négyzetbe írt kört, akkor:
APPB+AQQD+ARRC≥1.
Mikor áll fenn egyenlőség?
 Bege Antal, Kolozsvár

 
4. Igazold, hogy az 1, 2, ..., 1999 természetes számok közül kiválasztható a1, a2, ..., a11 úgy, hogy az ε1, ε2, ..., ε11∈{-1,1} minden lehetséges megválasztása esetén az
ε1a1+ε2a2+...+ε11a11
összeg más-más értéket vegyen fel.
 Dáné Károly, Marosvásárhely

 
 
 
XI. osztály
 

 
1. Adott az A∈M2(Q) mátrix. Bizonyítsd be, hogy
det(2A2-90A+13I2)=0⇔2A2-90A+13I2=O2.
Igaz marad-e a fenti állítás, ha A∈M2(R)?
 Bencze Mihály, Brassó

 
2. Számítsd ki az
xn=∏k=2nln(2k-1)ln2k(n≥2)
általános tagú sorozat határértékét!
 Bíró Béla, Sepsiszentgyörgy

 
3. Az (an), n∈N természetes számsorozatot az
an=2⋅a[n2]+1,a1=1
összefüggésekkel értelmeztük. ([x] az x valós szám egész részét jelöli.)
a) A sorozat hány tagja egyenlő 31-gyel?
b) Határozd meg az általános tag képletét!
c) Bizonyítsd be, hogy bármely páratlan p prímszám esetén létezik olyan n természetes szám, hogy an osztható p-vel!
 Bege Antal és András Szilárd, Kolozsvár

 
4. Egy 22 tagú parlamenti bizottság bármely két tagja barát, vagy ellenség, de egyiküknek sincs 10-nél több ellensége, és bármely hármas csoportban legalább két bizottsági tag egymás ellensége.
Hány olyan négytagú csoport választható ki, amelynek legalább három tagja kölcsönösen egymás ellensége?
 Bege Antal, Kolozsvár

 
 
 
XII. osztály
 

 
1. A (G,⋅) csoportban
(xy)4=y4x4,(xy)7=y7x7és(xy)10=y10x10
bármely x, y∈G esetén. Bizonyítsd be, hogy (G,⋅) kommutatív csoport!
 
 András Szilárd, Kolozsvár

 
2. Adott a következő sorozat: a0∈R, an+1=4an-an2. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész n esetén létezik olyan a0, hogy a sorozatnak pontosan n különböző értéke van.
 Dáné Károly, Marosvásárhely

 
3. Jelöljük H-val a szabályos hatszög összes lehetséges színezését 2-színnel (a csúcsok számozva vannak és minden csúcs lehet fehér vagy fekete). Az sz1 és sz2 színezésekhez hozzárendeljük az sz3 színezést a következő szabályok szerint:
1) Ha sz1 és sz2 két megfelelő csúcsa különböző színű, akkor sz3 megfelelő csúcsa fekete lesz.
2) Ha sz1 és sz2 két megfelelő csúcsa azonos színű, akkor sz3 megfelelő csúcsa fehér lesz.
a) Igazold, hogy az előbbi megfeleltetés művelet H-n és H ezzel a művelettel kommutatív csoport.
b) Bizonyítsuk be, hogy az a) pontban szereplő csoport izomorf a (P(A),Δ) csoporttal, ahol A={1,2,3,4,5,6} és
XΔY=(X∖Y)∪(Y∖X)
a szimmetrikus különbség.
 Bege Antal és András Szilárd, Kolozsvár

 
4. Jelölje F az f:R→R egy primitív függvényét. Határozd meg f-et, ha
f(x-1)⋅F(3-x)=-x2+4x-3,∀x∈Résf(1)=1.

 Bencze Mihály, Brassó


**