A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Erdély legrangosabb matematikaversenyének döntő fordulóját Sepsiszentgyörgyön, 1999. február 20-án tartották meg. A kitűzött példák megoldására 3 óra állt rendelkezésre.A feladatok eredeti szövegét közöljük. A használt jelölések, kifejezések és egyes témakörök néhány esetben nem szerepelnek a hazai tananyagban. Ezért az Olvasóktól elnézést kérünk. A szerk.
1. a) Határozd meg az összes olyan függvényt, amelyre | | Ezek közül melyek szürjektívek? b) Van-e olyan függvény, amely teljesíti a következő feltételeket: | | és végtelen sok értékre 1-nél szigorúan nagyobb, végtelen sok értékre pedig 1-nél szigorúan kisebb értéket vesz fel?
Kacsó Ferenc, Marosvásárhely |
2. Az háromszög , , oldalain rendre felvesszük az , , pontokat úgy, hogy . A háromszögön kívül megszerkesztjük az -nel párhuzamos és kongruens szakaszt. Bizonyítsd be, hogy: a) b) felezi a szakaszt.
Szöllősy György, Máramarossziget |
3. Igazold, hogy bármely , , , -re érvényes az alábbi egyenlőtlenség: | |
4. Legfeljebb hány tagja lehet annak a parlamenti bizottságnak, amelyben bármely két tag barát vagy ellenség, senkinek sincs tíznél több ellensége, és bármely hármas csoportban legalább két tag egymás ellensége?
1. Bizonyítsd be, hogy ha , , , akkor: | | Mikor áll fenn az egyenlőség?
Kovács Béla, Szatmárnémeti |
2. Bizonyítsd be, hogy ha , , , és , akkor
3. a) Bizonyítsuk be, hogy a | | kifejezés értéke állandó, ha befutja a intervallumot. b) Adott az négyzet. Egy egyenes az , és szakaszokat a , , illetve pontokban metszi. Bizonyítsd be, hogy ha metszi a négyzetbe írt kört, akkor: Mikor áll fenn egyenlőség?
4. Igazold, hogy az 1, 2, , 1999 természetes számok közül kiválasztható , , , úgy, hogy az , , , minden lehetséges megválasztása esetén az összeg más-más értéket vegyen fel.
Dáné Károly, Marosvásárhely |
1. Adott az mátrix. Bizonyítsd be, hogy | | Igaz marad-e a fenti állítás, ha ?
2. Számítsd ki az | | általános tagú sorozat határértékét!
Bíró Béla, Sepsiszentgyörgy |
3. Az , természetes számsorozatot az összefüggésekkel értelmeztük. ( az valós szám egész részét jelöli.) a) A sorozat hány tagja egyenlő 31-gyel? b) Határozd meg az általános tag képletét! c) Bizonyítsd be, hogy bármely páratlan prímszám esetén létezik olyan természetes szám, hogy osztható -vel!
Bege Antal és András Szilárd, Kolozsvár |
4. Egy 22 tagú parlamenti bizottság bármely két tagja barát, vagy ellenség, de egyiküknek sincs 10-nél több ellensége, és bármely hármas csoportban legalább két bizottsági tag egymás ellensége. Hány olyan négytagú csoport választható ki, amelynek legalább három tagja kölcsönösen egymás ellensége?
1. A csoportban | | bármely , esetén. Bizonyítsd be, hogy kommutatív csoport!
András Szilárd, Kolozsvár |
2. Adott a következő sorozat: , . Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész esetén létezik olyan , hogy a sorozatnak pontosan különböző értéke van.
Dáné Károly, Marosvásárhely |
3. Jelöljük -val a szabályos hatszög összes lehetséges színezését 2-színnel (a csúcsok számozva vannak és minden csúcs lehet fehér vagy fekete). Az sz és sz színezésekhez hozzárendeljük az sz színezést a következő szabályok szerint: 1) Ha sz és sz két megfelelő csúcsa különböző színű, akkor sz megfelelő csúcsa fekete lesz. 2) Ha sz és sz két megfelelő csúcsa azonos színű, akkor sz megfelelő csúcsa fehér lesz. a) Igazold, hogy az előbbi megfeleltetés művelet -n és ezzel a művelettel kommutatív csoport. b) Bizonyítsuk be, hogy az a) pontban szereplő csoport izomorf a csoporttal, ahol és a szimmetrikus különbség.
Bege Antal és András Szilárd, Kolozsvár |
4. Jelölje az egy primitív függvényét. Határozd meg -et, ha | |
* |