Cím: Beszámoló a Tanárképző Főiskolák Matematikaversenyéről
Szerző(k):  Fried Katalin 
Füzet: 1999/május, 270. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tanárképző főiskolák Péter Rózsa versenyét ebben az évben 1999. március 31. és április 2. között a pécsi Janus Pannonius Tudományegyetem Tanárképző Főiskolai kara rendezte. A vendégek március 31-én érkeztek Pécsre. Április 1-jén 930-tól 1330-ig zajlott maga a verseny, délután a hallgatók városnéző programokon vettek részt, a kísérő tanárok eközben a dolgozatokat javították. Az eredményeket másnap, április 2-án 10 órakor hirdették ki.
A versenyen az ország 6 tanárképző főiskolája vett részt: Budapest, Eger, Nyíregyháza, Pécs, Szeged és Szombathely csapata mérte össze tudását. Elvileg minden főiskoláról 5 versenyző indulhatott, de sajnos volt olyan város, ahonnan kevesebb diák jött el.
A versenybizottság elnöke idén is Urbán János volt. A verseny feladatait a főiskolák oktatóinak javaslataiból állították össze, amit a bizottság (személy szerint Urbán János) további egy feladattal egészített ki. Így állt össze az alábbi feladatsor:

 
1. Számítsuk ki a [0;1] intervallum olyan részintervallumainak hosszának összegét, amelyekbe tartozó számok tizedestört alakjában van 1-es számjegy.
 
2. Az ABC hegyes szögű háromszög A, B és C csúcsaiból induló súlyvonal-egyenesek a háromszög köré írt kört másodszor az A1, B1 és C1 pontokban metszik. Ezeket sorra tükrözve a hozzájuk tartozó oldalak felezőpontjára az A0, B0 és C0 pontokat kapjuk. Igazoljuk, hogy A0, B0, C0 és az ABC háromszög S súlypontja húrnégyszöget alkot.
 
3. Igazoljuk, hogy ha n pozitív egész, akkor
1+12n+13n+...+1nn≥2nnn+1n.

 
4. Ernő teniszkarrierje érdekében apja díjat ajánlott fel. A díjat akkor nyeri el, ha megnyer két egymást követő meccset egy hármas sorozatból, amelyet felváltva játszik az apjával és a klub bajnokával (aki jobban játszik az apjánál). Ernő választhat, hogy bajnok‐apa‐bajnok vagy apa‐bajnok‐apa sorozatot játszik. Melyiket válassza?
 
5. Legyen a0=5 és an+1=an+1an (n=1, 2, ...). Bizonyítsuk be, hogy 45<a1000<45,1.
 
6. A p(x) másodfokú valós együtthatós polinomról tudjuk, hogy |p(x)|≤1, ha x∈[0,1]. Melyik az a legkisebb K valós szám, amelyre teljesül, hogy |p'(0)|≤K?
 
7. Adott a síkon n pont, amelyek között nincs három egy egyenesre illeszkedő, és nincs négy egy körön fekvő pont. Minden ponthármasra kört illesztünk. Mutassuk meg, hogy a körök között az egységsugarúak száma nem nagyobb, mint n(n-1)3.
Fried Katalin