Kezdőlap


Cím:	A református Iskolák VII. Országos Matematika Versenyének feladatai
Füzet:	1999/május, 269. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

11. osztály

1. Oldjuk meg az alábbi másodfokú egyenletet:

\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + ... + {(x - 1998)}^{2} + {(x - 1999)}^{2} = 1999 x^{2} . \end{matrix}

2. Egy

7

egység oldalú négyzetben

99

pont helyezkedik el úgy, hogy közülük semelyik három sincs egy egyenesen. Igazoljuk, hogy ezek közül kiválasztható három olyan, hogy az általuk kifeszített háromszög területe nem nagyobb

\frac{1}{2}

területegységnél.

3. Legyen egy háromszög súlyvonalainak hossza

s_{a}

s_{b}

s_{c}

. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} s_{a}^{2} + s_{b}^{2} + s_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

4. Egy

n

oldalú (síkbeli) sokszög csúcsai

A_{1}

A_{2}

...

A_{n}

. Tudjuk, hogy a sík bármely

P

pontját az

A_{1}

A_{2}

...

A_{n}

csúcsokra egymás után (

n

-szer) tükrözve, visszakapjuk a kiindulási

P

pontot. Igazoljuk, hogy ekkor

n

páros, és hogy a sokszög páratlan, illetve páros indexű csúcsaiból készített sokszögek súlypontjai azonosak.

5. Igazoljuk, hogy ha

x

y

z

pozitív számok, akkor

\begin{matrix} x^{5} y^{3} z + y^{5} z^{3} x + z^{5} x^{3} y \leq x^{9} + y^{9} + z^{9} . \end{matrix}

12. osztály

1. Az

x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y - 156 = 0

egyenletű körvonalra illeszkednek az

A B C D

négyzet csúcspontjai. Határozzuk meg a négyzet

B

C

és

D

csúcspontjainak koordinátáit, ha

A (8; - 10)

2. Adott egy szabályos négyoldalú gúla. A gúla alaplapja és átlós metszete (a gúla alaplapjának átlóján átmenő és a gúla csúcspontjára illesztett síknak a gúlával alkotott metszete) területének összege megegyezik a gúla palástjának a felszínével. Határozzuk meg a gúlát határoló háromszögek szögeit.

3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségeket:

\begin{matrix} 1 > log_{sin x} (sin x + cos 2 x) > 0. \end{matrix}

4. Adjuk meg az

\begin{matrix} S_{n} = \frac{1^{2}}{1 \cdot 3} + \frac{2^{2}}{3 \cdot 5} + ... + \frac{n^{2}}{(2 n - 1) (2 n + 1)}, n \in N \end{matrix}

összeget zárt alakban. Mennyi lesz

[S_{1999}]

(

[a]

a

egész részét jelöli.)

5. Helyezzünk el 1 és 58 között minimális számú egész számot úgy, hogy azok az eredetiekkel együtt egy számtani sorozat szomszédos tagjai legyenek, ha tudjuk, hogy a számuk között szerepel a 10 is. Hányadik elem a 10?