A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Húzzuk meg a trapéz két magasságát. Ekkor két derékszögű háromszöget kapunk. Az egyiknek az átfogója egység, a másiké egység. Mindkettőnek egyik befogója egység. Az ismeretlen befogók előjeles szakaszok, hosszuk , illetve . | | azaz , , illetve , .
(A szerkesztés vizsgálata is mutatja, hogy a feltételeknek négy trapéz felel meg.) A trapézok másik párhuzamos oldalának hossza: | | A négy trapéz területe: területegység, területegység, területegység, területegység.
2. Mindkét kifejezés alakba írható. A négy tényező közül kettő egymás után következő páros szám, így egyikük osztható 4-gyel, így szorzatuk 8-cal, a négy tényező közül legalább az egyik osztható 3-mal, tehát a négy tényező szorzata osztható -gyel.
3. A és a azonosságok alkalmazásával Mivel , ezért , így . Mivel a kifejezéssel megadott függvény folytonos, ezért az értékkészlet az intervallumba eső valós számok halmaza. A legkisebb értékét a függvény akkor veszi fel, ha , tehát az , helyeken, a legnagyobb értékét esetén veszi fel, tehát az , helyeken. Megjegyzés. Az adott kifejezés a következő módon is felírható: a) ; b) .
4. Legyen az sorozat első négy eleme , , , ; a második sorozat első négy eleme ekkor , , , . A , , , elemekre egyrészt , másrészt , tehát | | Rendezés után és . Mivel és , ezért | | Ha , akkor , ha , akkor , így a két sorozat első négy eleme: | |
5. Nyilván kell, hogy legyen. Ha , akkor azonosságok alkalmazásával A két gyökös kifejezésnek akkor van értelme, ha azaz ha vagy . Az (1) egyenlőtlenség mindkét oldala nemnegatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens egyenlőtlenségre vezet: | | Az (1) egyenlőtlenség megoldásai: vagy . Az eredeti egyenlőtlenség akkor teljesül, ha | |
6. Mivel , ezért | | ez pedig pontosan akkor teljesül, ha . Ha , akkor , , . Innen a , számok az egyenlet megoldásai. Ha , akkor , , . Innen a , és a , számok a megoldások.
7. A vektorszerkesztés módszerével dolgozhatunk. A feltételeknek két trapéz felel meg. Az átlóinak metszéspontja legyen , az átlóinak metszéspontja , a szakasz felezőpontja . . Így . Az , illetve vektorok a -os elforgatottjai, tehát és . | | Mivel | | ezért , , , . Érdemes megjegyezni, hogy | |
8. Mivel minden valós -re, ezért az legfeljebb másodfokú egyenlőtlenségre kell a válaszokat megadni. Ha , , akkor a egyenlőtlenségnek végtelen sok megoldása van. a) Ha , úgy pontosan akkor van egy megoldása az egyenlőtlenségnek, ha és a polinom diszkriminánsa, . | | ha vagy , így miatt akkor van egyetlen megoldás, ha . b) Az egyenlőtlenségnek nincs megoldása, ha és , azaz ha . Végtelen sok megoldás akkor van, ha vagy ( és ) vagy , azaz ha .
|