A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A1. Egy egyenes körkúp alapkörének sugara , a kúp magassága pedig . A kúpba egy kockát írunk oly módon, hogy az alapkör tartalmazza a kocka egy lapját. Mekkora a kocka éle?
A2. Az egységnyi sugarú kör íve teljes egészében az első síknegyedben fekszik. Az ív és az -tengely közti tartomány területe , az ív és az -tengely közti tartomány területe pedig . Bizonyítsuk be, hogy csak az ív hosszától függ, annak helyzetétől nem.
A3. Legyen az olyan függvény, amelynek a harmadik deriváltja folytonos. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, amelyre | |
A4. Legyen és . Ha , akkor -et az és az számok tízes számrendszerbeli alakjának a felírás szerinti összefűzésével kapjuk. Például , , és így tovább. Az milyen értékeire lesz osztható 11-gyel?
A5. Az olyan nyílt körlemezek egy véges rendszere a síkban, amelyek egyesítése lefedi a sík egy részhalmazát. Bizonyítsuk be, hogy -nek létezik olyan páronként diszjunkt , , körlemezekből álló részrendszere, hogy A fenti jelölésben, ha az sugarú középpontú kör, akkor a sugarú középpontú kör.
A6. Legyenek , és a sík különböző, egész koordinátájú pontjai. Bizonyítsuk be, hogy ha akkor , és egy négyzet három csúcsa. A fentiekben az szakasz hosszát, pedig az háromszög területét jelöli.
B1. Mekkora az tört minimuma, ha ?
B2. Adott koordinátájú pontra, ahol keressük meg azon háromszögek kerületének a minimumát, amelyek egyik csúcsa az pont, a másik az -tengelyen, a harmadik pedig az egyenesen van. Bizonyítás nélkül föltehető, hogy a szóban forgó minimum létezik.
B3. Legyen az egységnyi sugarú félgömb, , az egység sugarú kör , pedig a -be írt szabályos ötszög. Mekkora a azon részének a felszíne, amelyik a síkbeli tartomány ,,fölött'' van? A választ írjuk alakban, ahol , , és valós számok.
B4. Mi annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy az és pozitív egészekre fennálljon a egyenlőség?
B5. Az pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakja 1998 darab egyesből áll: . Mi ezredik tizedesjegye?
B6. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges , , egész számokhoz létezik olyan pozitív egész , amelyre nem egész. |