Cím:	Az 1998. évi William Lowell Putnam Emlékverseny feladatai
Füzet:	1999/március, 138 - 140. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A1. Egy egyenes körkúp alapkörének sugara $1$, a kúp magassága pedig $3$. A kúpba egy kockát írunk oly módon, hogy az alapkör tartalmazza a kocka egy lapját. Mekkora a kocka éle?   A2. Az egységnyi sugarú kör $s$ íve teljes egészében az első síknegyedben fekszik. Az ív és az $x$-tengely közti tartomány területe $A$, az ív és az $y$-tengely közti tartomány területe pedig $B$. Bizonyítsuk be, hogy $A+B$ csak az $s$ ív hosszától függ, annak helyzetétől nem.   A3. Legyen az $f$ olyan függvény, amelynek a harmadik deriváltja folytonos. Bizonyítsuk be, hogy van olyan $a$ szám, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(a\right)\cdot f\text{'}\left(a\right)\cdot f\text{'}\text{'}\left(a\right)\cdot f\text{'}\text{'}\text{'}\left(a\right)\ge 0.}\end{array}$   A4. Legyen $A_1=0$ és $A_2=1$. Ha $n>2$, akkor $A_n$-et az $A_{n-1}$ és az $A_{n-2}$ számok tízes számrendszerbeli alakjának a felírás szerinti összefűzésével kapjuk. Például $A_3=A_2{A}_1=10$, $A_4=A_3{A}_2=101$, $A_5=A_4{A}_3=10110$ és így tovább. Az $n$ milyen értékeire lesz $A_n$ osztható 11-gyel?   A5. Az $\text{F}$ olyan nyílt körlemezek egy véges rendszere a síkban, amelyek egyesítése lefedi a sík egy $E$ részhalmazát. Bizonyítsuk be, hogy $\text{F}$-nek létezik olyan páronként diszjunkt $D_1$, $\text{...}$, $D_n$ körlemezekből álló részrendszere, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \bigcup _{j=1}^{n}3D_j\supseteq E\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti jelölésben, ha $D$ az $r$ sugarú $P$ középpontú kör, akkor $3D$ a $3r$ sugarú $P$ középpontú kör.   A6. Legyenek $A$, $B$ és $C$ a sík különböző, egész koordinátájú pontjai. Bizonyítsuk be, hogy ha $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(|AB|+|BC|\right)}^2<8\cdot \left[ABC\right]+\mathrm{1,}}\end{array}$ akkor $A$, $B$ és $C$ egy négyzet három csúcsa. A fentiekben $|XY|$ az $XY$ szakasz hosszát, $\left[ABC\right]$ pedig az $ABC$ háromszög területét jelöli.   B1. Mekkora az $\frac{{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^6-\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-2}{{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)}$ tört minimuma, ha $x>0$?   B2. Adott $\left(a\mathrm{,}b\right)$ koordinátájú pontra, ahol $0<b<a$ keressük meg azon háromszögek kerületének a minimumát, amelyek egyik csúcsa az $\left(a\mathrm{,}b\right)$ pont, a másik az $x$-tengelyen, a harmadik pedig az $y=x$ egyenesen van. Bizonyítás nélkül föltehető, hogy a szóban forgó minimum létezik.   B3. Legyen $H$ az egységnyi sugarú félgömb, $\left\{\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right):x^2+y^2+z^2=\mathrm{1,}z\ge 0\right\}$, $C$ az egység sugarú kör $\left\{\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}0\right):x^2+y^2=1\right\}$, $P$ pedig a $C$-be írt szabályos ötszög. Mekkora a $H$ azon részének a felszíne, amelyik a síkbeli $P$ tartomány ,,fölött'' van? A választ írjuk $A\text{sin}\alpha +B\text{cos}\beta$ alakban, ahol $A$, $B$, $\alpha$ és $\beta$ valós számok.   B4. Mi annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy az $n$ és $m$ pozitív egészekre fennálljon a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{i=0}^{mn-1}{\left(-1\right)}^{\lfloor \frac{i}{m}\rfloor +\lfloor \frac{i}{n}\rfloor }=0}\end{array}$ egyenlőség?   B5. Az $N$ pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakja 1998 darab egyesből áll: $N=\underset{\text{1998 jegy}}{\overset{}{\underbrace{111\text{...}11}}}$. Mi $\sqrt[]{N}$ ezredik tizedesjegye?   B6. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $a$, $b$, $c$ egész számokhoz létezik olyan pozitív egész $n$, amelyre $\sqrt[]{n^3+a{n}^2+bn+c}$ nem egész.