A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A matematika legkülönfélébb ágaiban előfordulnak olyan tételek, amelyek valamilyen matematikai objektum létezését állítják. Az ilyen tételeket egzisztencia-tételeknek nevezik. Ebben a cikkben olyan eszközöket vizsgálunk meg, amelyek egzisztencia-tételek bizonyításához használhatóak, leginkább a valós analízis körében. Először kimondunk néhány tipikus egzisztencia-tételt. Ezek részben szemléltetések, részben pedig eszközök lesznek más egzisztencia-tételek bizonyításához.
Tétel. Létezik olyan pozitív valós szám, amelynek a négyzete .
A legkisebb felső korlát tétele. Ha a valós számokból álló halmaz felülről korlátos és nem üres, akkor a felső korlátai között van legkisebb.
Bolzano‐Weierstrass tétel. Tetszőleges korlátos , , számsorozatnak van torlódási pontja.
Borel fedési tétele. Ha egy zárt intervallumot lefedünk akárhány nyílt intervallummal, akkor a nyílt intervallumok közül kiválasztható véges sok, amelyek még mindig lefedik az intervallumot.
Az algebra alaptétele. Minden legalább elsőfokú, valós vagy komplex együtthatós polinomnak van komplex gyöke.
Ezekben a tételekben közös, hogy egy speciális tulajdonságú szám létezését állítják egy bizonyos halmazban. Egyedül a Borel-tétel látszik kivételnek, de ezt a következőképpen is megfogalmazhatjuk:
Borel fedési tételének átfogalmazása. Ha adott akárhány nyílt intervallum, és ezek közül semelyik véges sok nem fedi le az intervallumot, akkor létezik olyan szám az intervallumban, amelyet egyik nyílt intervallum sem tartalmaz.
I. módszer: intervallum-felezés Ezt a módszert nagyon szemléletesen mutatja be egy klasszikus példázat. Feladat: Fogjunk a sivatagban oroszlánt. Ehhez rendelkezésünkre áll egy oroszlánjelző műszer, ami a sivatag bármelyik részletéről megállapítja, hogy van-e benne oroszlán. Megoldás: Két részre osztjuk a sivatagot, és mindkét felét lemérjük a műszerrel. Ha az egész sivatagban van oroszlán, akkor legalább az egyik felében szintén van. Kiválasztjuk az egyik ilyen fél sivatagot, a másik felét eldobjuk. A fél sivatagot ismét két részre osztjuk; az egyik részt (amiben van oroszlán) megtartjuk, a másik részt ismét eldobjuk. A felezgetést akkor hagyjuk abba, amikor a megmaradt sivatag darab már elég kicsi (azaz csupán egyetlen homokszemből áll), és akkor ráborítunk egy ketrecet. Ezzel megfogtuk az oroszlánt. A gyakorlatban az oroszlán az a matematikai objektum, aminek a létezését bizonyítani akarjuk, például egy speciális tulajdonságú szám. A sivatag az a halmaz, amelynek elemei között keressük a kérdéses objektumot, legtöbbször egy intervallum. Az intervallumot természetesen nem elég véges sokszor két részre osztani. Végtelen sok felezésre van szükség, hogy végül csak egyetlen szám maradjon. Sajnos a ,,megoldásban'' komoly hiányosságok vannak. Ahhoz, hogy kijelenthessük: megfogtuk az oroszlánt, a következő három kérdést kell tisztáznunk:
* | K1. Biztosak lehetünk-e abban, hogy egyáltalán fogtunk valamit? |
* | K2. Csak egyvalamit fogtunk? |
* | K3. Hogyan győződhetünk meg róla, hogy oroszlánt fogtunk, és nem valami mást? | Ezeknek a kérdéseknek a megválaszolása nélkül a ,,megoldás'' utolsó mondata közönséges blöff. Tanulságképpen nézzük meg, mire jutottak volna az ókori görögök a -vel.
Az ókori görögök csak a racionális számokat ismerték, és tragikus felismerés volt számukra, hogy nincs olyan (racionális) szám, aminek a négyzete , holott a geometriában meg tudtak szerkeszteni ilyen hosszúságú szakaszt. Képzeljük el, hogy Akhilleusz, a mesebeli görög hős megpróbálja megtalálni azt a számot, amelynek négyzete . Akhilleusz úgy találja, hogy az túl kicsi (a négyzete kisebb, mint 2), a viszont túl nagy. Ezért úgy dönt, hogy a számot az intervallumban keresi. Ezután kipróbálja a számot, és megállapítja, hogy ez is túl nagy, mert a négyzete , ami nagyobb -nél. Ezért a -t és a nála nagyobb számokat eldobja, és csak az intervallummal foglalkozik tovább. Ezután az számot próbálja ki (túl kicsi), majd a -ot (túl kicsi), és így tovább. Közben az intervallum, amelyben a -t keresi, egyre fogy: | | Akhilleusznak elég sok ideje van, és az intervallum-felező lépést végtelen sokszor elvégzi. Közben kidobja az összes olyan racionális számot, aminek a négyzete nagyobb -nél, és azokat is, amelyeknek a négyzete kisebb -nél. Ekkor kellemetlen meglepetés éri: az összes racionális számot kidobta, nem maradt egy sem.
A valós számok axiómarendszere Akhilleusz problémáján úgy lehet segíteni, hogy a racionális számokon kívül további számokat vezetünk be. Az nyilván kevés, ha csak egy új számot (a -t) találunk ki, szükség van még -ra, -re, az tizedes törtre és még rengeteg más számra. Az új számokkal mit is akarnánk mást, mint számolni, tehát a jól megszokott alapműveleteket és a rendezést (a kisebb-nagyobb relációt) ki akarjuk terjeszteni az ,,új'' számokra is. A racionális számok kiegészítésére több konstrukció is létezik. Vannak természetesnek nevezhető konstrukciók, például mondhatjuk azt, hogy ezentúl a végtelen tizedes törteket nevezzük számoknak. Ennek a konstrukciónak az a hátránya, hogy a műveleteket ‐ különösen a szorzást ‐ nagyon nehéz definiálni. Vannak kevésbé természetes konstrukciók, amelyek nem annyira szemléletesek, de lényegesen könnyebb a műveleteket definiálni; ilyenek például a racionális számok Dedekind-szeletei vagy a racionális számokból készített Cauchy-sorozatok ekvivalencia-osztályai. Magukat az új számokat ,,valós'' (azaz létező) számoknak fogjuk hívni. Most nem az a célunk, hogy a lehetséges konstrukciókat tanulmányozzuk, vagy hogy az egyik konstrukciót előnyben részesítsük a többivel szemben. Inkább nem mondjuk meg, hogy milyen objektumokat nevezünk valós számnak, hanem csak a legfontosabb tulajdonságaikat soroljuk fel. Ezeket a tulajdonságokat hívjuk a valós számok axiómáinak. Az axiómákat négy csoportra oszthatjuk: I. Testaxiómák. Létezik két kétváltozós művelet, az összeadás és a szorzás, valamint két különböző kitüntetett szám, a és az a következő tulajdonságokkal: * | T1. Tetszőleges , valós számokra . |
* | T2. Tetszőleges , , valós számokra . |
* | T3. Tetszőleges valós számra . |
* | T4. Tetszőleges valós számhoz létezik olyan valós szám, amelyre . |
* | T5. Tetszőleges , valós számokra . |
* | T6. Tetszőleges , , valós számokra . |
* | T7. Tetszőleges valós számra . |
* | T8. Tetszőleges -tól különböző valós számhoz létezik olyan valós szám, amelyre . |
* | T9. Tetszőleges , , valós számokra . | Általában, egy algebrai struktúrát testnek nevezünk, ha teljesülnek ezek az axiómák. Testet alkotnak például a , , számok, ha az összeadást és a szorzást modulo végezzük (pl. ), vagy például a racionális törtfüggvények. A testaxiómákból bebizonyítható az összes jól ismert műveleti azonosság, és sok más fontos tétel, például az, hogy egy polinomból ki lehet emelni a gyöktényezőket. II. Rendezési axiómák: Létezik egy reláció a következő tulajdonságokkal: * | R1. Tetszőleges , számokra vagy , vagy , vagy . |
* | R2. Ha az , , számokra és , akkor . |
* | R3. Ha az , , számokra , akkor . |
* | R4. Ha az , , számokra és , akkor . | Egy struktúrát rendezett testnek hívunk, ha teljesülnek rá a test- és rendezési axiómák. Érdekesség, hogy nem mondtuk ki, hogy ; ezt az axiómákból be lehet bizonyítani. Ezek után definiálhatjuk a pozitív egész számokat: , , stb. A rendezési axiómák garantálják többek között azt is, hogy ezek a számok különbözőek. III. Arkhimédészi axióma: Tetszőleges valós számnál van nagyobb pozitív egész szám. Ez az állítás nem következik a korábbiakból. Például a racionális törtfüggvények között lehet definiálni egy relációt úgy, hogy rendezett testet alkossanak, de ne teljesüljön az Arkhimédészi axióma. IV. Cantor-axióma: Egymásba skatulyázott zárt intervallumok sorozatának mindig van közös pontja. Más szóval, ha adott két számsorozat: és úgy, hogy tetszőleges -re , akkor az intervallumoknak van közös eleme. Az Arkhimédészi és a Cantor-axióma megadja a választ a K1 és K2 kérdésekre. Tegyük fel, hogy az intervallumból indultunk ki. Az intervallum felosztásakor a felezőpontot ne dobjuk ki; ezáltal egy zárt intervallumokból álló sorozatot kapunk, amelyben az -edik intervallum hossza . Ezeknek az intervallumoknak a Cantor-axióma szerint van közös eleme. Ha az intervallumoknak legalább két közös eleme van: és , ahol , akkor minden -re teljesül. Ebből következik, hogy , azaz . Ez azonban azt jelenti, hogy a szám minden -hatványnál ‐ és ezáltal minden pozitív egésznél ‐ nagyobb, ami ellentmond az Arkhimédészi axiómának. Tehát a K1 és a K2 kérdésekre igen a válasz.
Első bizonyítás a létezésére Most már minden szükséges eszköz rendelkezésünkre áll, hogy bebizonyítsuk a létezését. Akhilleuszhoz hasonlóan definiálunk egy intervallumsorozatot. Legyen . Ha -et már definiáltuk, akkor vizsgáljuk meg, hogy nagyobb-e mint . Ha , akkor legyen . Ellenkező esetben legyen . Ezzel egy olyan | | intervallum-sorozatot definiáltunk, amelyben tetszőleges -re és . Az intervallumsorozatnak létezik egyetlen közös eleme; jelöljük ezt -vel. Már csak azt kell bebizonyítanunk, hogy a K3 kérdés szavaival egy oroszlán, azaz . Tetszőleges -re igaz, hogy és , ezért | | Ha a és egyenlőtlenségből indulunk ki, akkor pontosan ugyanezt kapjuk -re. A két eredmény együtt azt állítja, hogy Az Arkhimédészi axióma miatt a szám tetszőleges pozitív számnál kisebb lesz, ha elég nagy, ezért nem lehet pozitív. tehát , azaz .
A legkisebb felső korlát tétele Ugyanezzel a módszerrel bizonyíthatjuk be a legkisebb felső korlát tételét. Legyen egy olyan szám, amely nem felső korlátja -nak (Ilyen létezik, mert nem üres), és legyen egy felső korlát. A -nál nagyobb számok is mind felső korlátok, ezért biztosan . A legkisebb felső korlátot nyilván a intervallumban érdemes keresnünk. Ezt az intervallumot fogjuk felezgetni. Ha már definiáltuk az intervallumot, akkor vizsgáljuk meg, hogy felső korlátja-e -nak. Ha igen, akkor legyen . Ha nem felső korlát, akkor legyen . Az így definiált | | intervallumsorozatban tetszőleges -re felső korlátja a halmaznak, pedig nem felső korlátja. Az intervallumoknak létezik pontosan egy közös eleme, legyen ez . Azt kell bebizonyítanunk, hogy felső korlátja -nak, és nincs -nél kisebb felső korlát. Legyen a halmaz egy tetszőleges eleme. Bármely pozitív egészre felső korlát, ezért ; másrészt . Ebből következik, hogy Ebből az Arkhimédészi axióma miatt következik, hogy nem lehet pozitív, vagyis . Ezzel igazoltuk, hogy felső korlát. Legyen egy tetszőleges felső korlátja -nak. Ekkor tetszőleges esetén a konstrukció miatt és , mert a -nál nem kisebb számok mind felső korlátok; ezért Ebből következik, hogy nem lehet pozitív, azaz . Az számnál tehát nincs kisebb felső korlát. A legkisebb felső korlátot latin eredetű kifejezéssel szuprémumnak is nevezzük, a halmaz szuprémumát (legkisebb felső korlátját) -val jelöljük. A tétel párja a legnagyobb alsó korlát tétele: Tetszőleges nem üres, alulról korlátos halmaznak létezik legnagyobb alsó korlátja. Ezt infimumnak is nevezzük, jele . Ha a halmaznak létezik legnagyobb, illetve legkisebb eleme (maximuma, illetve minimuma), akkor ez természetesen azonos a halmaz szuprémumával, illetve infimumával. Maximuma és minimuma nincs minden halmaznak, viszont szuprémuma és infimuma minden nem üres és korlátos halmaznak van. Érdekesség, hogy a valós számok axiómarendszerében az Arkhimédészi és a Cantor-axióma helyett a legkisebb felső korlát tételét is kimondhatjuk axiómaként. A test- és rendezési axiómákból, valamint a legkisebb felső korlát tételéből nagyon könnyű bebizonyítani a Cantor- és az Arkhimédészi axiómát. Túl ezen, a legkisebb felső korlát tétele egy másik nagyon fontos eszköz egzisztencia-tételek bizonyítására.
II. módszer: a legkisebb felső korlát tételének alkalmazása Egy autóút mentén a bokrok között oroszlánok bújtak el (legalább egy). Feladat: fogjunk meg legalább egy oroszlánt. Ismét rendelkezésünkre áll egy műszer, amely az autóút bármely szakaszára meg tudja mondani, hogy van-e ott oroszlán.
1. ábra
Megoldás: Minden egyes pontban állapítsuk meg, hogy az út hátralevő részén van-e oroszlán. Ha van, tegyünk ki egy ,,Oroszlánveszély'' feliratú táblát. Ahol a táblák elfogynak, ott bújt el egy oroszlán. Tegyük fel, hogy egy intervallumban keresünk egy bizonyos számot, és az intervallum bármelyik eleméről valamilyen módszerrel meg tudjuk állapítani, hogy a keresett -nél kisebb vagy nagyobb. A -nél nem nagyobb számok azok a helyek, ahova ,,táblát teszünk''; ezeket a számokat összegyűjtjük egy halmazban. Az a hely, ahol ,,a táblák elfogynak'', a halmaz szuprémuma. A szuprémum egyértelműen létezik, viszont ismét meg kell vizsgálnunk, hogy oroszlán-e, azaz rendelkezik-e a kívánt tulajdonságokkal. A továbbiakban a két módszer alkalmazásaként bebizonyítjuk a bevezetőben kimondott tételeket.
Második bizonyítás a létezésére A -t ismét az intervallumban keressük. Azok a számok nem nagyobbak -nél, amelyek négyzete nem nagyobb -nél, ezért legyen és . A halmaz nem üres, mert például . Ugyanakkor felülről korlátos, például a egy felső korlátja. Ezért a szám definíciója értelmes. Azt akarjuk igazolni, hogy . Tetszőleges esetén nem felső korlátja -nek, ( a legkisebb felső korlát), ezért létezik olyan elem, amelyre . Felhasználva, hogy esetén , | |
Hasonlóképpen, mivel a legkisebb felső korlát, nem eleme a halmaznak, ezért , amiből következik, hogy | |
Azt kaptuk, hogy tetszőleges esetén . Ez pedig csak úgy lehetséges, ha nem pozitív, azaz .
A Bolzano‐Weierstrass tétel bizonyítása intervallum-felezéssel Definiálunk egy olyan intervallum-sorozatot, amelyre tetszőleges esetén az , , sorozatnak végtelen sok elemét tartalmazza. Legyen egy olyan intervallum, amely a teljes , , sorozatot tartalmazza. Ha az intervallumot már definiáltuk, és az végtelen sok elemet tartalmaz az , , sorozatból, akkor az és intervallumok közül legalább az egyik szintén végtelen sok elemet tartalmaz. Az egyik ilyet válasszuk -nek. A intervallumoknak létezik egy közös eleme. Azt állítjuk, hogy ez torlódási pont. Tetszőleges esetén létezik egy olyan szám, amelyre . Az intervallum végtelen sok elemet tartalmaz az , , sorozatból; ezeket a intervallum is tartalmazza.
A Bolzano‐Weierstrass tétel bizonyítása a legkisebb felső korlát tételével Legyen az , , sorozat egy alsó, illetve felső korlátja , illetve . Legyen azoknak a valós számoknak a halmaza, amelyekre a intervallum végtelen sok elemet tartalmaz az , , sorozatból. Ez a halmaz nem üres, például , és felülről korlátos, például egy felső korlátja. Létezik tehát legkisebb felső korlátja; legyen ez . Tetszőleges esetén nem eleme a halmaznak (nagyobb -nél, a felső korlátnál), ezért a intervallum csak véges sok elemet tartalmaz az , , sorozatból. A szám viszont nem felső korlát (kisebb -nél, a legkisebb felső korlátnál), ezért létezik egy olyan szám, ami eleme -nek. Ez azt jelenti, hogy a intervallum végtelen sok elemet tartalmaz az , , sorozatból. Összefoglalva, tetszőleges esetén a intervallum végtelen sok, a intervallum viszont csak véges sok elemet tartalmaz az , , sorozatból; ebből következik, hogy a két intervallum különbsége, is végtelen sokat tartalmaz.
Borel fedési tételének bizonyítása intervallum-felezéssel Tegyük fel, hogy az intervallumot nem lehet lefedni véges sok nyílt intervallummal. Definiálunk egy olyan intervallum-sorozatot, amelyre tetszőleges esetén az intervallum nem fedhető le véges sok nyílt intervallummal. Legyen . Ha már definiáltuk -et és ez nem fedhető le véges sok nyílt intervallummal, akkor az és intervallumok közül legalább az egyiket szintén nem lehet véges sok nyílt intervallummal lefedni. Az egyik ilyet válasszuk -nek. A intervallumoknak létezik egy közös eleme. Tegyük fel, hogy eleme egy nyílt intervallumnak. Ekkor elég nagy esetén . Ez viszont ellentmondás, mert egymagában lefedi az intervallumot. A számot tehát egyik nyílt intervallum sem tartalmazza.
Borel fedési tételének bizonyítása a legkisebb felső korlát tételével Tegyük fel ismét, hogy az intervallumot nem lehet lefedni véges sok nyílt intervallummal. Legyen azoknak a -beli számoknak a halmaza, amelyekre a intervallum nem fedhető le véges sok nyílt intervallummal. A halmaz nem üres, például , másrészt felülről korlátos. Legyen . Ha -t egyik nyílt intervallum sem tartalmazza, kész vagyunk. Tegyük tehát fel, hogy -t tartalmazza egy nyílt intervallum. Ekkor miatt nem eleme -nek, és a intervallum lefedhető véges sok nyílt intervallummal. Ezek -vel együtt az intervallumot is lefedik. Tehát tetszőleges esetén a intervallum lefedhető véges sok nyílt intervallummal. Ebből következik, hogy is felső korlátja -nek, ami ellentmond annak, hogy a legkisebb felső korlát.
Az algebra alaptételét csak vázlatosan bizonyítjuk. A korrekt bizonyításhoz szükség lenne több fogalom pontos definiálására, amelyek a bizonyítást sokkal hosszabbra nyújtanák. Tekintsük a | | polinomot, ahol és , és tegyük fel indirekte, hogy nincs gyöke a komplex számok körében. A polinomot mint a komplex számokon értelmezett komplex értékű függvényt ábrázoljuk úgy, hogy a komplex számsík minden pontjába rajzoljuk be a polinom itteni helyettesítési értékét. Így minden egyes pontba egy vektort rajzoltunk.
2. ábra
A komplex síkon egy függvénynek tetszőleges téglalapon definiálhatjuk a körülfordulási számát. Ez azt mondja meg, hogy a téglalap kerületén pozitív irányban körbehaladva a függvényértékek összesen hányszor fordulnak körbe. A körülfordulási számot ,,előjelesen'' számítjuk. Ha például a függvényértékek előbb -ot fordulnak pozitív irányba, majd -ot negatív irányba, akkor összesen -ot fordulnak negatív irányba, és a körülfordulási szám . Tekintsünk egy téglalapot, amely a belsejében tartalmazza a -t. Ha az függvényt ábrázoljuk, akkor a komplex hatványozás tulajdonságai miatt a körüljárási szám pontosan . Válasszuk a téglalapot olyan nagyra, hogy kerületén az tag sokkal nagyobb legyen, mint az összes többi tag együttvéve. Ekkor a téglalap kerületén a függvényértékek iránya majdnem ugyanaz lesz, mint az iránya, és a körüljárási szám nem változik. Felezzük el a téglalapot valamelyik oldalával párhuzamosan. Ha körbesétálunk a két fél téglalap kerületén, akkor az egész téglalap kerületének minden szakaszán pontosan egyszer haladunk végig, a két fél téglalap közötti szakaszon pedig mindkét irányban pontosan egyszer. Emiatt a két fél téglalapon a körüljárási számok összege megegyezik a teljes téglalap körüljárási számával. Most definiáljuk a téglalapokat úgy, hogy tetszőleges pozitív egész esetén körüljárási száma a téglalapon pozitív legyen. A téglalapot már definiáltuk. Ha -et már előállítottuk, akkor felezzük el a hosszabbik oldalára merőlegesen. Ezzel két fél téglalapra bontottuk. A két fél téglalapon a körüljárási számok összege megegyezik körüljárási számával, ami pozitív. Ebből következik, hogy legalább az egyik fél téglalap körüljárási száma pozitív. Az egyik ilyen fél téglalapot válasszuk -nek. Nem nehéz meggondolni, hogy a téglalapoknak egyetlen közös pontja van. Legyen ez . Azt állítjuk, hogy gyöke a polinomnak.
3. ábra
4. ábra
Tegyük fel, hogy nem gyök, azaz . Mivel a polinom folytonos, rajzolhatunk körül egy elég kis kört úgy, hogy annak belsejében a polinom értékének iránya irányától legfeljebb -kal térjen el. Ez a kör tartalmazza a téglalapot, ha elég nagy. Ez viszont ellentmondás, mert a körüljárási szám -en pozitív, ugyanakkor a kör belsejében a függvényértékek egy félsíkba esnek, egyszer sem tudnak tehát körbefordulni.
,,Oroszlánfogás'' a Téli Ankéton
1. Bizonyítsuk be mindkét módszerrel Bolzano tételét: Ha az intervallumon értelmezett folytonos függvény, és , akkor létezik olyan szám, amelyre .
2. Bizonyítsuk be mindkét módszerrel Weierstrass tételét: Tetszőleges, az intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik maximuma és minimuma. (Segítség: Keressünk olyan számot, amelyre az értékkészletének szuprémuma, illetve infimuma.)
3. Keressünk a valós számok axiómái között olyat, amelyik következik a többiből.
4. Igaz marad-e a Cantor-axióma, ha zárt intervallumok helyett nyílt intervallumokkal mondjuk ki?
5. Miért nincs legkisebb felső korlátja az üres halmaznak?
6. Bizonyítsuk be a test- és rendezési axiómákból valamint a legkisebb felső korlát tételéből az Arkhimédészi és a Cantor-axiómát.
7. Mutassunk példát olyan rendezett testre, amelyben teljesül a Cantor-axióma, de nem teljesül az Arkhimédészi axióma.
8. Adjunk meg olyan rendezést a racionális törtfüggvények testén, hogy rendezett testet alkossanak és ne teljesüljön az Arkhimédészi axióma.
9. Egy polinomnak nincs gyöke a téglalap kerületén, ahol a körüljárási száma . Bizonyítsuk be, hogy a polinomnak, az esetleges többszörös gyököket multiplicitással számolva, pontosan gyöke van a téglalap belsejében. A latin egzisztencia szó jelentése: létezésA halmaznak a szám felső korlátja, ha -nak nincs -nál nagyobb eleme. Egy halmaz felülről korlátos, ha létezik felső korlátja.Egy sorozatnak a szám torlódási pontja, ha tetszőleges pozitív esetén a sorozatnak végtelen sok eleme esik a intervallumba.A halmazt a racionális számok Dedekind-szeletének hívjuk, ha tetszőleges racionális számokra esetén . Egy ilyen szelet megfelel annak, hogy a racionális számok halmazát egy valós számnál ,,elvágjuk''.A , , sorozatot Cauchy-sorozatnak hívjuk, ha tetszőleges -hoz létezik olyan pozitív egész, hogy tetszőleges esetén A , , és , , Cauchy-sorozatokat ekvivalensnek nevezzük, ha . |