Cím:	A novemberi szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1998/december, 515 - 516. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Az egyenlet gyökei akkor valósak, ha a diszkriminánsa nemnegatív, azaz ha $\begin{array}{c}{\displaystyle 4{\left(m+1\right)}^2-4\cdot 2\left(m^2+2m\right)\ge \mathrm{0,}}\end{array}$ ami akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle -1-\sqrt[]{2}\le m\le -1+\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $x_1+x_2=-\left(m+1\right)$  és  $4x_1{x}_2=4\cdot \frac{m^2+2m}{2}=2m^2+4m$, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(m\right)=2m^2+3m-1.}\end{array}$ $f\left(m\right)$ legkisebb értéke a $\left[-1-\sqrt[]{2};-1+\sqrt[]{2}\right]$ intervallumon $-\frac{17}{8}$, amit az $m=-\frac{3}{4}$ helyen vesz fel, míg legnagyobb értéke $2{\left(\frac{1}{4}+\sqrt[]{2}\right)}^2-\frac{17}{8}$, amit az $m=-1-\sqrt[]{2}$ helyen vesz fel.   2. a) Ismeretes, hogy minden háromszögben $\varrho =\frac{T}{s}$ és $r=\frac{abc}{4T}$, így $\varrho r=\frac{abc}{4s}$. b) A háromszög egyik oldala 2 egység, a másik két oldal összege 4 egység. Célszerű jelöléssel a két oldal $2-x$, illetve $2+x$, ahol $0\le x<1$. A szóban forgó körök területének szorzata $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)={\varrho }^2\pi \cdot r^2\pi ={\pi }^2{\left(\varrho r\right)}^2={\pi }^2\cdot {\left(\frac{2\cdot \left(2-x\right)\left(2+x\right)}{4\cdot 3}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ hiszen $2s=6$, $s=3$. Az $f\left(x\right)=\frac{{\pi }^2}{36}{\left(4-x^2\right)}^2$ függvény a $\left[\mathrm{0,}1\right)$ intervallumban akkor a legnagyobb, ha $x=0$, hiszen $4-x^2>0$, és így a négyzete akkor a legnagyobb, ha $4-x^2$ a legnagyobb. Az $f\left(x\right)$ legnagyobb értéke $\frac{4}{9}{\pi }^2$, ami akkor adódik, ha a háromszög egyenlő oldalú.   3. Ha van ilyen $k$, azaz $a_1=k{a}_2$, $b_1=k{b}_2$ és $c_1=k{c}_2$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k\left(a_2{x}^2+b_{2}x+c_2\right)}{a_2{x}^2+b_{2}x+c_2}=k\mathrm{,}\text{tehát <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math> értéke állandó.}}\end{array}$ Ha $f\left(x\right)$ értéke állandó minden megengedett $x$-re, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{a_1{x}^2+b_{1}x+c_1}{a_2{x}^2+b_{2}x+c_2}=K\mathrm{,}}\end{array}$ akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a_1-K{a}_2\right)x^2+\left(b_1-K{b}_2\right)x+\left(c_1-K{c}_2\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ (1) azaz az (1) legfeljebb másodfokú egyenletnek kettőnél több megoldása van, ami csak úgy lehetséges, hogy minden együttható nulla (a polinom azonosan nulla), tehát $a_1-K{a}_2=0$, $b_1-K{b}_2=0$, $c_1-K{c}_2=0$, így valóban van olyan $K\in \text{R}$, hogy $a_1=K{a}_2$, $b_1=K{b}_2$ és $c_1=K{c}_2$.   4. A rekurzív definícióból következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n-a_{n-1}=2a_{n-2}-2a_{n-1}=\left(-2\right)\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A $b_k=a_{k+1}-a_k$, $k=1$, 2, $\text{...}$, $n$, $\text{...}$ különbségsorozat a $q=-2$ hányadosú mértani sorozat, $b_1=a_2-a_1=1$, ezért $b_k={\left(-2\right)}^{k-1}$. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a_2-a_1}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_3-a_2}& {\displaystyle =-\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_4-a_3}& {\displaystyle =\mathrm{4,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ⋮}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_n-a_{n-1}}& {\displaystyle ={\left(-2\right)}^{n-2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Adjuk össze az egyenleteket: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n-a_1=\frac{1-{\left(-2\right)}^{n-1}}{1-\left(-2\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $a_n=1+\frac{1}{3}\left(1-{\left(-2\right)}^{n-1}\right)=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}{\left(-2\right)}^{n-1}$. $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=\frac{4}{3}n-\frac{1}{3}\left(1-2+\text{...}+{\left(-2\right)}^{n-1}\right)=\frac{4}{3}n-\frac{1}{3}\cdot \frac{1-{\left(-2\right)}^n}{1-\left(-2\right)}=\frac{4}{3}n-\frac{1}{9}\left(1-{\left(-2\right)}^n\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Rábai Imre