A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Helyesbítés. Októberi számunkban a mérőlap ajánlásában szereplő szegedi Radnóti Miklós Gimnázium korábban Klauzál Gábor nevét viselte. A 6. feladatban helyett -et írtunk.
1. A bal, illetve a jobb oldalon álló két-két törtkifejezés összeadása után a | | egyenletet kapjuk. Rendezés után , ahonnan vagy . Az egyenletnek négy megoldása van: , , , .
2. Az ismert , , összefüggések alkalmazásával, ahol a háromszög köré írható kör sugara, | |
3. Mivel minden valós -re negatív, ezért a két egyenlőtlenséggel ekvivalens: | | tehát a | | minden valós -re. Ezért mindkét másodfokú kifejezésnek negatív lesz a diszkriminánsa. | |
Az egyenlőtlenség esetén teljesül minden valós -re.
4. Az húrnégyszög köré írt kör két szelője , illetve . A szelőtétel szerint Mivel , ezért . Legyen . Most , ahonnan , egység.
A feladat hasonlóság, területszámítás és trigonometria alkalmazásával is megoldható.
5. Mivel (a szokásos jelölésekkel) | | és , ezért igaz az állítás.
6. Mivel , , ezért a ponthoz tartozó magasság (a pont távolsága az egyenestől) , hiszen . Az egyenes egyenlete: . A pont távolsága ettől az egyenestől egység, tehát , azaz | |
7. Mivel az együtthatója pozitív, ezért pontosan akkor teljesül, ha a másodfokú kifejezés az helyen negatív, azaz | | Ez akkor teljesül, ha vagy . Ezekre az értékekre az eredeti egyenlet diszkriminánsa pozitív, tehát létezik két (valós) gyöke.
8. a) Az egyenletnek pontosan akkor van két egyenlő valós gyöke, ha az egyenlet diszkriminánsa nulla. | | , ha , azaz ha vagy , .
(Az egyenlet ekkor: , , , .) b) Az egyenletnek két különböző valós gyöke akkor van, ha a diszkriminánsa pozitív. Mivel , azért kell teljesüljön. Ez akkor teljesül, ha és vagy és , tehát
-π2+2nπ<α<π2+2nπ és 2kπ<α-π4<π+2kπ (k, n∈Z)
vagy π2+2nπ<α<3π2+2nπ és π+2kπ<α-π4<2π+2kπ, (n, k∈Z),
azaz π4+2mπ<x<π2+2mπ vagy 5π4+2lπ<α<3π6+2lπ esetén (m, l∈Z).
* |