Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények az I. mérőlap (1998/7.sz.) feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1998/november, 479 - 481. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$}Helyesbítés. Októberi számunkban a mérőlap ajánlásában szereplő szegedi Radnóti Miklós Gimnázium korábban Klauzál Gábor nevét viselte. A 6. feladatban $C$ helyett $X$ -et írtunk.

1. A bal, illetve a jobb oldalon álló két-két törtkifejezés összeadása után a

\begin{matrix} \frac{2 x^{2} - 4}{x^{2} - 1} = \frac{2 x^{2} - 24}{x^{2} - 9} - \frac{28}{15} \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Rendezés után

7 x^{4} - 55 x^{2} + 108 = 0

, ahonnan

x^{2} = 4

vagy

x^{2} = \frac{27}{7}

. Az egyenletnek négy megoldása van:

x_{1} = 2

x_{2} = - 2

x_{3} = 3 \sqrt[]{\frac{3}{7}}

x_{4} = - 3 \sqrt[]{\frac{3}{7}}

2. Az ismert

a = 2 r sin α

b = 2 r sin β

c = 2 r sin γ

összefüggések alkalmazásával, ahol

r

a háromszög köré írható kör sugara,

\begin{matrix} \begin{matrix} sin^{2} β + sin^{2} γ - 2 sin β sin γ cos α = \frac{b^{2}}{4 r^{2}} + \frac{c^{2}}{4 r^{2}} - 2 \cdot \frac{b}{2 r} \cdot \frac{c}{2 r} \cdot cos α = \\ = \frac{1}{4 r^{2}} (b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α) = \frac{a^{2}}{4 r^{2}} = sin^{2} α . \end{matrix} \end{matrix}

3. Mivel

- x^{2} + x - 1 = - {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4}

minden valós

x

-re negatív, ezért a két egyenlőtlenséggel ekvivalens:

\begin{matrix} \begin{matrix} - 3 x^{2} + 3 x - 3 < x^{2} + a x - 2 < 2 x^{2} - 2 x + 2, \end{matrix} \end{matrix}

tehát a

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 x^{2} + (a - 3) x + 1 > 0 és az x^{2} - (a + 2) x + 4 > 0 \end{matrix} \end{matrix}

minden valós

x

-re. Ezért mindkét másodfokú kifejezésnek negatív lesz a diszkriminánsa.

\begin{matrix} \begin{matrix} {(a - 3)}^{2} - 16 < 0, & és az & {(a + 2)}^{2} - 16 < 0, \\ - 4 < a - 3 < 4 & és & - 4 < a + 2 < 4, \\ - 1 < a < 7 & és & - 6 < a < 2. \end{matrix} \end{matrix}

Az egyenlőtlenség

- 1 < a < 2

esetén teljesül minden valós

x

-re.

4. Az

A P D B

húrnégyszög köré írt kör két szelője

C A

, illetve

C B

.
A szelőtétel szerint

C P \cdot C A = C D \cdot C B .

Mivel

C A^{2} = 2, 4^{2} + 4, 5^{2} = 5, 1^{2}

, ezért

C A = 5,1

. Legyen

A P = y

. Most

5,1 \cdot (5,1 - y) = 2,4 \cdot 4,8

, ahonnan

y = 5,1 - \frac{2,4 - 4,8}{5,1}

y = A P \approx 2,84

egység.

A feladat hasonlóság, területszámítás és trigonometria alkalmazásával is megoldható.

5. Mivel (a szokásos jelölésekkel)

\begin{matrix} \begin{matrix} (n + k) (S_{n} - S_{k}) = (n + k) \cdot \frac{n}{2} ((2 a_{1} + (n - 1) d) - \frac{k}{2} (2 a_{1} + (k - 1) d)) = \\ = \frac{n + k}{2} \cdot (n - k) (2 a_{1} + (n + k - 1) d), \end{matrix} \end{matrix}

és

(n - k) S_{n + k} = (n - k) \cdot \frac{n + k}{2} \cdot (2 a_{1} + (n + k - 1) d)

, ezért igaz az állítás.

6. Mivel

A B^{2} = 16 + 25 = 41

A B = \sqrt[]{41}

, ezért a

C

ponthoz tartozó

m

magasság (a

C

pont távolsága az

A B

egyenestől)

m = \frac{18}{\sqrt[]{41}}

, hiszen

9 = \frac{\sqrt[]{41} \cdot m}{2}

.
Az

A B

egyenes egyenlete:

5 x - 4 y + 20 = 0

. A

C (x; 7)

pont távolsága ettől az egyenestől

\frac{18}{\sqrt[]{41}}

egység, tehát

\frac{| 5 x - 4 \cdot 7 + 20 |}{\sqrt[]{41}} = \frac{18}{\sqrt[]{41}}

, azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} 5 x - 8 = 18, vagy 5 x - 8 = - 18 \\ x_{1} = \frac{26}{5} vagy x_{2} = - 2. \\ C_{1} (\frac{26}{5}; 7), C_{2} (- 2; 7) . \end{matrix} \end{matrix}

7. Mivel az

x^{2}

együtthatója pozitív, ezért

x_{1} < a < x_{2}

pontosan akkor teljesül, ha a másodfokú kifejezés az

x = a

helyen negatív, azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 a^{2} - 2 (2 a + 1) \cdot a + a (a - 1) < 0, \\ - a^{2} - 3 a < 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ez akkor teljesül, ha

a < - 3

vagy

a > 0

. Ezekre az

a

értékekre az eredeti egyenlet diszkriminánsa pozitív, tehát létezik két (valós) gyöke.

8. a) Az egyenletnek pontosan akkor van két egyenlő valós gyöke, ha az egyenlet diszkriminánsa nulla.

\begin{matrix} D = 4 (1 + 2 sin α cos α) - 4 (1 + 2 cos α) . \end{matrix}

D = 0

, ha

cos α \cdot (sin α - cos α) = 0

, azaz ha

α = \frac{π}{2} + k π

vagy

α = \frac{π}{4} + k π

k \in Z

.

(Az egyenlet ekkor:

{(x - 1)}^{2} = 0

{(x + 1)}^{2} = 0

{(x - \sqrt[]{2})}^{2} = 0

{(x + \sqrt[]{2})}^{2} = 0

.)
b) Az egyenletnek két különböző valós gyöke akkor van, ha a diszkriminánsa pozitív.
Mivel

sin α - cos α = \sqrt[]{2} (\frac{1}{\sqrt[]{2}} sin α - \frac{1}{\sqrt[]{2}} cos α) = \sqrt[]{2} sin (α - \frac{π}{4})

, azért

\begin{matrix} cos α \cdot sin (α - \frac{π}{4}) > 0 \end{matrix}

kell teljesüljön. Ez akkor teljesül, ha

cos α > 0

és

sin (α - \frac{π}{4}) > 0

vagy

cos α < 0

és

sin (α - \frac{π}{4}) < 0

, tehát

- \frac{π}{2} + 2 n π < α < \frac{π}{2} + 2 n π

és

2 k π < α - \frac{π}{4} < π + 2 k π

(

k

n \in Z

)

vagy

\frac{π}{2} + 2 n π < α < \frac{3 π}{2} + 2 n π

és

π + 2 k π < α - \frac{π}{4} < 2 π + 2 k π

, (

n

k \in Z

),

azaz

\frac{π}{4} + 2 m π < x < \frac{π}{2} + 2 m π

vagy

\frac{5 π}{4} + 2 l π < α < \frac{3 π}{6} + 2 l π

esetén (

m

l \in Z

Rábai Imre

^{$^{*}$}*