Kezdőlap


Cím:	Az 1997/98. évi Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny feladatai
Füzet:	1998/november, 459 - 463. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tanulóverseny feladatai

KEZDŐK
Első forduló1mm

1. Egy farmon több ló van, mint kacsa. A tehenek száma harmada a lovak és kacsák együttes számának. A kacsák és lovak fejei és lábai számának összege

100

. Hány tehén van a farmon?

2. Bizonyítsa be, ha egy derékszögű trapéz szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor a merőleges szár:

\frac{2 a c}{a + c}

, ahol az

a

és

c

a trapéz alapjai.

3. Egy

665

oldalú szabályos sokszög oldala

3 cm

. Nagyítsuk ezt a sokszöget a középpontjából úgy, hogy a nagyított és az eredeti oldalak távolsága

1 cm

legyen! Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének különbsége több mint

1998 {cm}^{2}

4. Ábrázolja közös koordinátarendszerben a valós számok halmazán értelmezett

\begin{matrix} f (x) : = | | x + 4 | - | x - 4 | | és g (x) = | | x | - 2 | \end{matrix}

helyettesítési értékű függvények grafikonját, és határozza meg azon sokszöget területének összegét, amelyeknek minden oldala hozzátartozik valamelyik függvény grafikonjához.

5. Milyen tulajdonságú

k

m

n

l

természetes szám esetén lesz az

\begin{matrix} 1^{k} + 9^{m} + 9^{n} + 7^{l} \end{matrix}

összeg utolsó számjegye

4

Második forduló

I. kategória: Szakközépiskolások

1. Egy

A B C

háromszög

B C

oldalához hozzáírt kör középpontján át húzzunk párhuzamost a

B C

oldallal. Metssze ez a párhuzamos az

A B

oldalegyenest a

D

, az

A C

oldalegyenest az

E

pontban. Bizonyítsa be, hogy

D B + C E = D E

2. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet, ahol

p

valós paramétert jelent:

| x + 3 | + p \cdot | x - 2 | = 5

. A

p

értékétől függően hány megoldása van az egyenletnek?

1998

darab egész szám közül

1997

darab szám négyzetének az összege egyenlő a kimaradó

1998

-adik szám négyzetével. Bizonyítsa be, hogy nem lehet mind az

1998

darab szám páratlan.

II. kategória: Nem speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Megegyezhet-e

1998

darab páratlan egész szám egyikének a négyzete a többi

1997

darab szám négyzetének az összegével?

2. Bizonyítsa be, hogy egy derékszögű háromszögben a beírható kör sugarának és az átfogóhoz tartozó magasságnak a hányadosa

0,4

és

0,5

között van.

3. Bizonyítsa be, hogy nincs olyan minden valós számra értelmezett

f

függvény, amelyre

f (x^{2} + x + 2) + f (x^{2} - x + 2) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 4

teljesül minden valós

x

értékre.

III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Mekkora lehet egy derékszögű háromszögben a beírható kör sugarának és az átfogóhoz tartozó magasságának a hányadosa?

2. Az

a

b

c

n

M

N

pozitív számokról a következőket tudjuk:

b = a + c

n \geq 3

N

(a tízes számrendszerben)

n

jegyű,

N

első jegye

a

, utolsó jegye

c

, a többi

n - 2

jegye

b

;

N

jegyeit fordított sorrendben leírva

M

-et kapjuk, továbbá

M - n N

olyan

n - 1

jegyű pozitív egész szám, amelynek minden jegye

b

. Mi lehet az

N

3. Adjon meg olyan minden valós számra értelmezett

f

és

g

, legalább másodfokú polinom függvényeket, amelyekhez nem létezik olyan

h : R \to R

függvény, hogy

\begin{matrix} h (f (x)) + h (g (x)) = g (f (x)) \end{matrix}

minden valós

x

-re teljesüljön.

HALADÓK
Első forduló

I. és II. kategória: Szakközépiskolások és nem speciális tantervű gimnáziumi tanulók

1. Mutassuk meg, hogy ha egy téglalap oldalainak hossza

a

és

a + 1

, akkor a téglalap szögfelezői által határolt síkidom területe független az

a

értékétől.

2. Mely pozitív egész

n

számokra osztható

n^{8} - n^{2}

504

-gyel?

3. Egy derékszögű háromszög egyik befogója egységnyi. A másik befogóhoz és az átfogóhoz tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Mekkorák a háromszög oldalai?

4. Oldjuk meg az egész számok halmazán a

\begin{matrix} \frac{z - 1}{x} + \frac{z + 1}{y} = 1, \frac{z + 1}{x} - \frac{z - 1}{y} = 1 \end{matrix}

egyenletrendszert.

5. Egy szabályos százszög csúcsaihoz tetszés szerint

1

-et vagy

- 1

-et írunk. Egy ,,lépésben'' bármely három egymást követő csúcshoz írt szám előjelét az ellenkezőjére változtathatjuk. (Például az

1

;

1

;

- 1

hármast a

- 1

;

- 1

;

1

hármasra cserélhetjük.)
a) Elérhető-e ilyen ,,lépésekkel'' tetszőleges kiindulási helyzet esetén, hogy a csúcsokhoz írt

100

szám összege

0

legyen?
b) Elérhető-e tetszőleges kiindulási helyzet esetén, hogy mindegyik csúcshoz az

1

-es szám tartozzon?

III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Melyik az a legkisebb pozitív egész, amelyik nem állítható elő két pozitív racionális szám négyzetének összegeként?

2. Egy paralelogramma kerülete

K

, az oldalak felezőpontja által meghatározott négyszög kerülete pedig

k

. Bizonyítsuk be, hogy ha a paralelogramma egyik szöge

60^{\circ}

-os, akkor

\begin{matrix} \frac{k}{K} \geq \frac{1 + \sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

3. Hány olyan pozitív egész számokból álló

(x, y, z)

számhármas van, amely kielégíti a

2^{x} + 2^{y} + 2^{z} < 2^{k}

egyenlőtlenséget, ahol

k

egy

2

-nél nagyobb pozitív egész szám?

4. Adott a síkban az

A B

szakasz. Mi azoknak a

C

pontoknak a halmaza a síkban, amelyekre az

A B C

háromszög

A

-hoz tartozó súlyvonala és

B

-hez tartozó magasság-vonala egyenlő hosszú?

Második forduló

I. és II. kategória: Szakközépiskolások és
nem speciális tantervű gimnáziumi tanulók

1. Egy adott

A B

szakasz

X

belső pontjára teljesül, hogy az

A B

szakaszra rajzolt

A X

oldalú szabályos háromszög és az

X B

oldalú szabályos hatszög területének összege minimális. Hol helyezkedik el ekkor az

A B

szakaszon az

X

pont?

2. Melyik az a legkisebb pozitív egész, amelyik nem állítható elő két pozitív racionális szám négyzetének összegeként?

3. Tekintsük a csupa

1

-es vagy

2

-es számjegyet tartalmazó

n

-jegyű számokat (

n \geq 1

). E számok közül (adott

n

érték esetén)

A_{n}

-nel jelöljük azoknak a számát, amelyek azonos számú

1

-es és

2

-es számjegyből állnak,

B_{n}

pedig legyen azon számok száma, amelyek több

1

-est tartalmaznak, mint

2

-est. Van-e olyan érték, amelyre

A_{n} = B_{n}

4. Legyen egy tetszőleges

A B C

háromszög

A B

, illetve

A C

oldalának felezőpontja

D

, illetve

E

pont. A

D E

szakasz

F

felezőpontján átmenő

B F

egyenes az

A C

oldalt a

G

pontban metszi. Mekkora a

B C E F

és a

F G A D

négyszög, illetve a

B F D

és az

F E G

háromszögek területének aránya?

Harmadik (döntő) forduló

I. kategória: Szakközépiskolások

1. Melyek azok az egész számokból álló

(x; y)

számpárok, amelyekre teljesül az

x^{2} + y^{2} + x y = x - y

egyenlőség?

2. Egy

2 r

és egy

r

sugarú kör kívülről érinti egymást. Tekintsük azokat a köröket, amelyek mindkét kört érintik, és középpontjuk a két adott kör egyik közös külső érintőjén van. Mekkora ezek sugarának aránya?

3. Mely

k

-re lehet egy

k \times k \times k

-as kockát

1 \times 1 \times 1

-es fekete és fehér kis kockákból úgy összeállítani, hogy bármelyik kis kocka mellett pontosan két vele megegyező színű, lapban szomszédos kis kocka legyen?

II. kategória: Nem speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Ismeretes, hogy az

a x + b y = c

egyenletet kielégítő bármely valós

(x; y)

számpárra teljesül az

x^{2} + y^{2} > 1

egyenlőtlenség, ahol az

a

b

és

c

paraméter egy háromszög három oldalának hossza.

*	(I)Mutassuk meg, hogy az $a$ , $b$ , $c$ oldalú háromszög tompaszögű.

*	(II)Igazoljuk, hogy $\| x \| + \| y \|$ minimuma legfeljebb $\frac{c}{\sqrt[]{a b}}$ .

2. Az

x

és

y

pozitív egészek mely értékeire lesz a

4^{x} + 4^{x + 1} + 4^{y}

kifejezés értéke négyzetszám?

3. A következő négy szabály szerint kell köröket elhelyezni a síkon:
(I) semelyik három kör se érintse egymást ugyanabban a pontban;
(II) mindegyik kör pontosan négy másikat érintsen;
(III) a lehető legkevesebb kör legyen;
(IV) a lehető legkevesebb különböző sugár legyen.
Hány körből áll egy ‐ a fenti szabályoknak megfelelő ‐ körelrendezés?
Számítsuk is ki egy ilyen körelrendezésben a körök sugarait.

III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók

1. Az

x

y

és

z

pozitív egészek mely értékeire lesz a

4^{x} + 4^{y} + 4^{z}

kifejezés értéke négyzetszám?

2. Egy tetraéder csúcsainál összeadjuk a csúcsból kiinduló élek egymással bezárt szögeit. Bizonyítsuk be, hogy ha a négy csúcsnál kapott összeg mind egyenlő egymással, akkor a tetraéder lapjainak körülírt körei egyenlő sugarúak.

3. Ketten a következő játékot játsszák. Egy 100 kavicsot tartalmazó halomból felváltva vesznek el, és az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Korlátozva van azonban az, hogy hány kavicsot lehet elvenni. A Kezdőnek egy kavicsot kell elvennie, utána a Második elvehet egyet vagy kettőt, ezután újra a Kezdő jön, és egy, két vagy három kavicsot vehet el. Általáan az

n

-edik lépésben az éppen sorra következő játékos legalább egy, de legfeljebb

n

kavicsot vehet el.
Kinek van nyerő stratégiája?
Mi a helyzet akkor, ha 1998 kaviccsal játszanak?