Kezdőlap


Cím:	A VII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny feladatai
Füzet:	1998/október, 390 - 394. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$}A versenybeszámoló szeptemberi számunkban jelent meg.

9. osztály

1. Ismeretes, hogy

\begin{matrix} 35! = 10333147966386144929 a b 6651337523200000000 \end{matrix}

Milyen számjegyek állnak az

a

és

b

helyén?

Szabó Magda, Szabadka

2. Az

A F E

hegyesszögű háromszög

E D

és

F B

magasságvonalai a

C

pontban metszik egymást. Az

M

N

P

Q

pontok rendre az

F C

E C

A E

és

A F

szakaszok felezőpontjai. Bizonyítsuk be, hogy az

M N P Q

négyszög téglalap.

Kórizs Júlia, Bácskatopolya

3. Határozzuk meg a következő egyenlőtlenségrendszer összes megoldását a pozitív valós számok halmazán:

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} + \frac{1}{x_{2}} & \leq 2, \\ x_{2} + \frac{1}{x_{3}} & \leq 2, \\ ⋮ \\ x_{1997} + \frac{1}{x_{1998}} & \leq 2, \\ x_{1998} + \frac{1}{x_{1}} & \leq 2. \end{matrix} \end{matrix}

Oláh György, Révkomárom

4. Az

A_{1} A_{2} ... A_{n}

és

B_{1} B_{2} ... B_{n}

szabályos

n

-szögek úgy metszik egymást, hogy az

A_{1} A_{2}

és

B_{n} B_{1}

oldalak közös pontja

K_{1}

, az

A_{1} A_{2}

és

B_{1} B_{2}

közös pontja

K_{2}

, az

A_{2} A_{3}

és

B_{1} B_{2}

közös pontja

K_{3}

A_{2} A_{3}

és

B_{2} B_{3}

közös pontja

K_{4}

...

A_{n} A_{1}

és

B_{n - 1} B_{n}

közös pontja

K_{2 n - 1}

, az

A_{n} A_{1}

és

B_{n} B_{1}

közös pontja

K_{2 n}

. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} \frac{A_{1} K_{1}}{B_{1} K_{1}} \cdot \frac{B_{1} K_{2}}{A_{2} K_{2}} \cdot \frac{A_{2} K_{3}}{B_{2} K_{3}} \cdot \frac{B_{2} K_{4}}{A_{3} K_{4}} \cdot ... \cdot \frac{A_{n} K_{2 n - 1}}{B_{n} K_{2 n - 1}} \cdot \frac{B_{n} K_{2 n}}{A_{1} K_{2 n}} = 1. \end{matrix}

K_{i}

pontok az oldalak belső pontjai,

i = 1

2

...

2 n

Bencze Mihály, Brassó

5. Egy négyzet alakú

1998 \times 1998

egybevágó négyzet alakú mezőből álló táblán

1997

mezőt már befestettek. Befesthető minden olyan, eddig még be nem festett mező, amelynek legalább két szomszédja már be van festve. Két mezőt akkor tekintünk szomszédosnak, ha van közös oldaluk. Bizonyítsuk be, hogy az egész táblát nem lehet befesteni.

Balázsi Borbála, Beregszász

6. Nevezzük ,,szépnek'' az

a^{2} + 2 b^{2}

alakú számokat, ahol

a

és

b

pozitív egész számokat jelöl. Bizonyítsuk be, hogy az így értelmezett ,,szép'' számok közül akárhányat összeszorozva újra ,,szép'' számot kapunk.

Kiss Sándor, Nyíregyháza

10. osztály

1. Oldjuk meg a pozitív egész számok körében a következő egyenletet:

\begin{matrix} \sqrt[]{13 + 30 \sqrt[]{2 + \sqrt[]{9 + 4 \sqrt[]{2}}}} = a + b \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Kórizs Júlia, Bácskatopolya

2. Igazoljuk, hogy ha

n

egész szám, akkor az

\begin{matrix} \frac{n^{4} + 4 n^{2} + 3}{n^{4} + 10 n^{2} + 16} \end{matrix}

tört nem egyszerűsíthető.

Balázsi Borbála, Beregszász

3. Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész

x

y

z

számokból álló számhármast, amelyre teljesül a következő két egyenlet:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{3} + 3 y^{3} + z^{5} + z & = 1998, \\ y^{2} z & = x . \end{matrix} \end{matrix}

Oláh György, Révkomárom

4. Legyen

d

egy

A

kezdőpontú félegyenes, és

α

egy olyan változó szög, amely

0^{\circ}

és

90^{\circ}

között minden értéket felvesz. A

d

félegyenesen úgy választjuk ki a

B

pontot, hogy

A B = tg α

teljesüljön, és úgy szerkesztjük meg

A B

fölé az

A B C

háromszöget, hogy

B A C ∢ = α

A C = sin α

teljesüljön. Mit írnak le a

C

pontok, ha

α

minden lehetséges értéket felvesz?

Kovács Béla, Szatmárnémeti

5. Egy háromszög oldalainak

a

b

c

mértékszámai egész számok, és tudjuk, hogy az egyik magassága a másik két magasság összegével egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy

a^{2} + b^{2} + c^{2}

négyzetszám.

Katz Sándor, Bonyhád

6. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\begin{matrix} n^{4 (x_{1}^{2} + x_{2})} + n^{4 (x_{2}^{2} + x_{3})} + ... + n^{4 (x_{n}^{2} + x_{1})} = 1, \end{matrix}

ahol

n \geq 2

egész szám.

Bencze Mihály, Brassó

11. osztály

1. Adottak az

a_{1}

a_{2}

a_{3}

...

a_{37}

b_{1}

b_{2}

b_{3}

...

b_{37}

c_{1}

c_{2}

c_{3}

...

c_{37}

egész számok. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan

i

j

k

egész szám, hogy

i \neq j

i \neq k

j \neq k

1 \leq i, j, k \leq 37

, továbbá

\begin{matrix} \frac{a_{i} + a_{j} + a_{k}}{3}, \frac{b_{i} + b_{j} + b_{k}}{3}, valamint \frac{c_{i} + c_{j} + c_{k}}{3} \end{matrix}

is egész.

Kiss Sándor, Nyíregyháza

2. Igazoljuk, hogy bármely háromszögben érvényes a

\begin{matrix} \frac{b c}{ϱ_{a}^{2}} + \frac{a c}{ϱ_{b}^{2}} + \frac{a b}{ϱ_{c}^{2}} \geq \frac{a b c}{2 ϱ T} \end{matrix}

egyenlőtlenség, ahol

a

b

c

a háromszög oldalai,

ϱ_{a}

ϱ_{b}

ϱ_{c}

a megfelelő oldalakhoz hozzáírt körök sugarai,

ϱ

a háromszögbe írható kör sugara,

T

pedig a háromszög területe.

Oláh György, Révkomárom

4. Adottak az

a

a + d

a + 2 d

...

a + (n - 1) d

pozitív egész számok (

n > 1

egész). Igazoljuk, hogy ha az adott számok egyike sem osztható

n

-nel, akkor

n

és

d

nem relatív prímek.

Zolnai Irén, Újvidék

4. Egy derékszögű koordináta-rendszerben úgy helyeztünk el végtelen sok téglalapot, hogy mindegyiknek az egyik oldala az

x

, egy másik oldala az

y

tengelyre illeszkedjék. A téglalapok origóval szemközti csúcsának koordinátái egész számok. Mutassuk meg, hogy van a téglalapok között két olyan, amelyek közül az egyik tartalmazza a másikat.

Bogdán Zoltán, Cegléd

5. Legyenek

k \geq 1

n \geq 2

adott egész számok. Számítsuk ki

\begin{matrix} {(\sqrt[n]{k} - \sqrt[n]{k + 1} + \sqrt[n]{k + 2})}^{n} \end{matrix}

egész részét (egy

x

szám egész része az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb

x

-nél).

Bencze Mihály, Brassó

6. Adottak a

2

3

4

...

1998

1999

számok és a belőlük képzett összes különböző tényezőkből álló két, három,

...

1998

tényezős szorzat (összesen

2^{1998} - 1

szám.) Mutassuk meg, hogy ezen számok reciprokainak összege egész szám.

Katz Sándor, Bonyhád

12. osztály

1. Melyek azok a valós számokon értelmezett, valós értékű

f

függvények, amelyek minden

x

y \in R

esetén kielégítik az

\begin{matrix} x \cdot f (y) = y \cdot f (x) \end{matrix}

egyenletet?

Árokszállási Tibor, Paks

2. Oldjuk meg az

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 y} + \frac{1}{6 z} & = \frac{1}{\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6}}, \\ x + y^{2} + z^{3} & = 14 \end{matrix} \end{matrix}

egyenletrendszert a pozitív valós számok halmazán.

Neubauer Ferenc, Munkács

3. Bizonyítsuk be, hogy ha az

x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0

egyenlet összes gyöke valós szám, akkor

a^{2} \geq 3 b

(

a

b

c

adott valós számok).

Oláh György, Révkomárom

4. Egy szabályos négyoldalú gúla beírt gömbjének sugara

r

, köré írható gömbjének sugara

R

. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} \frac{R}{r} \geq \sqrt[]{2} + 1. \end{matrix}

Szabó Magda, Szabadka

5. Az

(a_{n})

valós számsorozatot a következőképpen értelmezzük:

\begin{matrix} a_{1} = a_{2} = 2 és a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2} - a_{n} + 1}, han \geq 2 . \end{matrix}

Igazoljuk, hogy bármely

k \geq 1

esetén

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{k} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... a_{k} . \end{matrix}

Kovács Béla, Szatmárnémeti

6. Oldjuk meg a pozitív valós számok halmazán az

\begin{matrix} \begin{matrix} x + y + z & = x y z, \\ \frac{x}{\sqrt[]{1 + x^{2}}} + \frac{y}{\sqrt[]{1 + y^{2}}} + \frac{z}{\sqrt[]{1 + z^{2}}} & = \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} \end{matrix} \end{matrix}

egyenletrendszert.

Bencze Mihály, Brassó

^{$^{*}$}*