Cím:	A 39. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	1998/szeptember, 323 - 324. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Az $ABCD$ konvex négyszögben az $AC$ és $BD$ átlók merőlegesek és a szemközti $AB$, $DC$ oldalak nem párhuzamosak. Tegyük fel, hogy az a $P$ pont, ahol az $AB$ és $DC$ felező merőlegese metszi egymást, az $ABCD$ négyszög belsejében van. Bizonyítsuk be, hogy $ABCD$ akkor és csak akkor húrnégyszög, ha az $ABP$ és $CDP$ háromszögek területe egyenlő.   2. Egy versenyben $a$ versenyző és $b$ bíró van, ahol $b\ge 3$ páratlan egész szám. Mindegyik bíró mindegyik versenyző teljesítményét ''megfelelt'', ill. ''nem felelt meg'' minősítéssel értékeli. Tegyük fel, hogy a $k$ számra igaz az, hogy bármely két bíró értékelése legfeljebb $k$ versenyző esetén esik egybe. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{k}{a}\ge \frac{b-1}{2b}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Tetszőleges pozitív egész $n$ esetén jelölje $d\left(n\right)$ $n$ pozitív osztóinak számát (beleértve 1-et és magát $n$-et is). Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész $k$ számot, amihez létezik olyan $n$, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{d\left(n^2\right)}{d\left(n\right)}=k\mathrm{.}}\end{array}$       Második nap       4. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egész számokból álló $\left(a\mathrm{,}b\right)$ rendezett párt, amire $\left(a{b}^2+b+7\right)$ osztója $\left(a^{2}b+a+b\right)$-nek.   5. Legyen $I$ az $ABC$ háromszög beírt körének középpontja. Érintse az $ABC$ háromszög beírt köre a $BC$, $CA$, $AB$ oldalakat rendre a $K$, $L$, $M$ pontokban. A $B$-n keresztülmenő, $MK$-val párhuzamos egyenes metszéspontja az $LM$, ill. $LK$ egyenesekkel legyen $R$, ill. $S$. Bizonyítsuk be, hogy az $RIS\sphericalangle$ hegyesszög.   6. Tekintsük az összes olyan $f$ függvényt, amelyik a pozitív egész számok $\text{N}$ halmazát önmagába képezi le, és amelyre teljesül az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(t^{2}f\left(s\right)\right)=s\left(f\left(t\right)\right){}^2}\end{array}$ feltétel minden $\text{N}$-beli $s$, $t$ esetén. Határozzuk meg $f\left(1998\right)$ lehetséges legkisebb értékét.