A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat a következő volt: Egy sorból és oszlopból álló táblázat első oszlopában csupa -es található, -adik sorában pedig olyan számtani sorozat, amelynek differenciája . A táblázat bal alsó sarkától jobb felső sarkáig húzódó átlója mentén elhelyezkedő számok közül melyik a legnagyobb? Thiry Gábor megoldásában (lásd a 278. oldalon) szerepel az, hogy az említett átló mentén elhelyezkedő számok egy parabola pontjaiként ábrázolhatók. Persze ezek a pontok ,,diszkréten'' helyezkednek el. Képzeljük el azonban, hogy a táblázatnak nemcsak egész indexű sorai és oszlopai vannak, hanem az indexek tetszőleges valós értékeket felvehetnek. Eredetileg a táblázat -edik sorában az első helyen 1 áll, és ezután egy különbségű számtani sorozat. A -edik helyen álló szám tehát . Feltevésünk szerint az oszlopindexek tehát nemcsak a , 2, , 100 értéket vehetik fel, hanem bármilyen valós számot. A sorok indexei pedig nemcsak az , 2, , 100 értéket vehetik fel, hanem itt is tetszőleges valós számot. Ekkor az -adik sorban egy differenciájú számtani sorozatnak kellene állni, aminek így természetesen nincsen értelme. Ha viszont a táblázatban szereplő kifejezésben helyébe -et és helyébe -t írunk, akkor a függvényhez jutunk. Az , , 2, , esetben természetesen az eredeti táblázat adódik. Tekintsük most a térbeli , , koordinátarendszerben az összes olyan pontot, amelyeknek a koordinátái ezt a feltételt kielégítik. Ez egy geometriai alakzat, amely ,,nyilván'' egy felület. Egy ,,sor''-nak rögzített felel meg, ami egy, az , síkkal párhuzamos egyenesnek az egyenletét adja. Ezt a felületet tehát egy ,,egyenessereg'' ,,súrolja végig''. Amikor az első oszlopot nézzük, annak az eset felel meg. Ez az egyenlet egy, az , síkkal párhuzamos síkot jelent. Ekkor eredeti egyenletünkből a egyenlet adódik. Ez is egy egyenes egyenlete; egy olyan egyenesé, amely nem szerepel az előbb felsoroltak között. A ,,mellékátlón'' levő , koordinátákat az jellemzi, hogy összegük állandó. Az eredeti feladatban ez az összeg 101 volt, de számunkra ez nem lényeges; legyen az összeg . Ebből azt kapjuk, hogy | | ami valóban egy parabola egyenlete. Ha ,,meg akarjuk érteni'', hogy milyen felületet kaptunk, akkor célszerű más koordinátarendszert felvenni. Tekintsük azt az , , koordinátarendszert, amelynek a középpontja az eredeti koordinátarendszer pontja, és az eredeti koordinátarendszerből annak eltolásával keletkezik. Ez azt jelenti, hogy az új koordinátarendszerben az irányú és irányú koordináták az eredetinél 1-gyel kisebbek lesznek, míg az irányú koordináták nem változnak. Egy pont és koordinátái között tehát az , és kapcsolat áll fenn. Az új koordinátarendszerben a vizsgált felület ,,egyenlete'' tehát . Az egyszerűség kedvéért hagyjuk itt el a ,,vesszőket''; ekkor a egyenlethez jutunk. Ezen a felületen kétféle ,,egyenes-sereg'' található. Ha az síkkal metszünk, akkor a egyenesekhez jutunk. Ha pedig az síkkal metszünk, akkor a egyeneseket kapjuk. Az eredeti feladat megoldásánál látott gondolat szerint, ha az síkkal metszünk, akkor egy ,,lefelé álló'' parabolát kapunk. Ahhoz, hogy jobban láthassuk a felületet, célszerű ismét egy másik koordinátarendszert felvenni. (Megjegyezzük, hogy a lineáris algebra keretein belül minden ilyen esetben megmondható, hogy melyik a célszerű koordinátarendszer; sőt ennek felvétele nélkül is eldönthető a vizsgált alakzat ,,mineműsége''. Most viszont csak annyit tudunk tenni, hogy megadjuk a ,,jó'' koordinátarendszert.) A koordinátarendszert a -tengely körül forgassuk el fokkal. Mivel a -tengely megmarad, azért elég az egész elforgatást a síkon szemlélni. Egyszerűbb az eljárást úgy végiggondolni, hogy vektorokkal dolgozunk. Legyenek az - és -tengely irányú egységvektorok, megfelelően és . Legyenek ezeknek pozitív irányban 45 fokkal való megfelelő elfordítottja és . Ez azt jelenti, hogy | | (*) |
Ha egy pontnak ebben a koordinátarendszerben a koordinátái , az azt jelenti, hogy az origóból a pontba mutató vektorra adódik. A alatti összefüggés alapján tehát | | Tekintettel arra, hogy az vektor végpontjának eredeti koordinátája , ezért és . Ezt a összefüggésbe behelyettesítve a összefüggéshez jutunk. Nézzük a fenti összefüggéssel leírt felületet. Ha ezt a felületet ,,elszeleteljük'' a tengelyre merőleges (tehát ,,vízszintes'') síkkal, akkor minél nagyobb a , annál ,,tompább'' hiperbolát nyerünk. Ezeknek a hiperboláknak a ,,csúcsa'' a -tengelyen van. Ha egyre közelítünk az , tengelyek síkjához, akkor a csúcs egyre közelebb kerül a -tengelyhez. A tengelyek síkjában a hiperbola metsző egyenespárrá ,,változik át''. Ezután pedig a csúcs ,,átkerül'' az -tengelyre. A fellépő hiperbolák aszimptotapárja mindig a két koordinátatengely. Ez a felület, amelyiknek minden pontján két egyenes haladt át, ,,tele van'' hiperbolákkal. De hol vannak a már látott parabolák? Ezeket is megtalálhatjuk. Válasszuk -t konstansnak, azaz messük a felületünket a -tengelyre merőleges síkokkal. A metszet egyenlete . Ez mindig egy ,,csúcsával felfelé álló'' parabola, amelynek ,,csúcsát'' pontosan az esetben kapjuk. Ha az -tengelyre merőleges síkkal metszünk, akkor a egyenletekhez jutunk; amelyek ,,csúcsukkal lefelé álló'' parabolát adnak. Ezek a csúcsok éppen a esetben adódnak. Eszerint a lefelé álló parabolák csúcsai egy fölfelé álló parabolán vannak és viszont. A fentiek szerint a kapott felületet a következőképpen képzelhetjük el: Tekintjük a parabolát és a ,,rá merőleges'', de ellentétes irányba nyíló parabolát. Ha az első parabolán párhuzamosan ,,végigcsúsztatjuk'' a másodikat (vagy akár a másodikon az elsőt), akkor éppen a szemügyre vett felületet kapjuk. És ez a ,,nagyon görbe'' felület ,,tele van'' egyenesekkel! A kapott felület neve hiperbolikus paraboloid. Ezt a nevet nem nagyon kell indokolni. Csak annyit teszünk hozzá, hogy van egy ,,másik'' paraboloid is. Ez, lényegében, a parabola tengelykörüli forgatásából nyert felület, amelyiknek a neve elliptikus paraboloid. Az itt bemutatott felületnek van egy másik neve is, nyeregfelületnek nevezik, mert igen hasonlít a nyereghez (akár lónyeregre, akár hegynyeregre gondolhatunk). Érdemes megjegyezni, hogy tetszőleges ,,sima'' felület bármely pontjának ,,kis környezetében'', ha az nem ,,síkszerű'' (,,hengerszerű'') és nem ,,gömbszerű'', akkor az olyan, mint egy nyeregfelület.
|