Kezdőlap


Cím:	Az Ericsson Traffic Lab feladatának megoldása
Szerző(k):	Veres András
Füzet:	1998/május, 274 - 275. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Ericsson TrafficLab kutatólaboratórium által kiírt feladatra (ld. KöMaL 1998/1. sz. 19. o.) Schumayer Dániel és Lukács László küldött be lényegében jó megoldást. Az Ericsson mindkettőjüket különdíjban részesíti, amelyet a KöMaL szerkesztőségben vehetnek át.

A megoldáshoz felhasználjuk Schumayer Dániel dolgozatát.

A valószínűségszámítás elméletének egyik alapvető tétele a következő:
Az Ericsson TrafficLab kutatólaboratórium által kiírt feladatra (ld. KöMaL 1998/1. sz. 19. o.) Schumayer Dániel és Lukács László küldött be lényegében jó megoldást. Az Ericsson mindkettőjüket különdíjban részesíti, amelyet a KöMaL szerkesztőségben vehetnek át.

A megoldáshoz felhasználjuk Schumayer Dániel dolgozatát.

A valószínűségszámítás elméletének egyik alapvető tétele a következő:
Moivre‐Laplace tétel: Ha $A_{1}, ... A_{n}$ független, $p$ valószínűséggel bekövetkező események, és $η_{n}$ az $A_{1}, ... A_{n}$ -ek közül bekövetkező események száma, akkor

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} P (a \leq \frac{η_{n} - n p}{\sqrt[]{n p (1 - p)}} \leq b) = Φ (b) - Φ (a), ahol Φ (x) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t . \end{matrix}

Sőt, az is igaz, hogy van olyan

K > 0

(

a

-tól és

b

-től nem függő) konstans, hogy

\begin{matrix} | P (a \leq \frac{η_{n} - n p}{\sqrt[]{n p (1 - p)}} \leq b) - (Φ (b) - Φ (a)) | < \frac{K}{\sqrt[]{n}} . \end{matrix}

Φ (x)

szigorúan monoton növő (és folytonos) függvény.
Jelölje

C_{N}

N

-hez tartozó legkisebb megfelelő

C

-t, tehát

\begin{matrix} P (\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq C_{N}) \geq 1 - ε és\forall a > 0-ra P (\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq C_{N} - a) < 1 - ε . \end{matrix}

a = - \infty

b = \frac{C_{N} - N p}{\sqrt[]{N p (1 - p)}}

-vel alkalmazva a Moivre‐Laplace tételt kapjuk, hogy

\forall ξ > 0

-ra, ha

N

elég nagy, akkor

\begin{matrix} - ξ < P (\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq C_{N}) - Φ (\frac{C - N p}{\sqrt[]{N p (1 - p)}}) < ξ . \end{matrix}

Válasszuk

ξ

-t

\frac{1}{2} - ε

-nak. Ekkor az előző egyenlőtlenségből ha

N

elég nagy, akkor egyrészt

\begin{matrix} 1 - ε - Φ (\frac{C - N p}{\sqrt[]{N p (1 - p)}}) < \frac{1}{2} - ε, \end{matrix}

amit átrendezve,

Φ

monotonitásából

\begin{matrix} \frac{C_{N}}{N} > \frac{Φ^{- 1} (\frac{1}{2})}{\sqrt[]{n}} \sqrt[]{p (1 - p)} + p = p, \end{matrix}

mivel

Φ^{- 1} (1 / 2) = 0

. A másik egyenlőtlenségből kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{C_{N}}{N} < \frac{Φ^{- 1} (\frac{1}{2})}{\sqrt[]{n}} \sqrt[]{p (1 - p)} + \frac{a}{N} + p = p + \frac{a}{N} . \end{matrix}

Azaz, ha

N

elég nagy, akkor

p < \frac{C_{N}}{N} < p + \frac{a}{N}

. Ebből pedig a ,,rendőr elv'' alapján

{lim}_{N \to \infty}^{} \frac{C_{N}}{N} = p

adódik.

Veres András