Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete és Sain Márton Nincsen királyi út című könyvében is megtalálható Arkhimédész gyönyörű gondolatmenete a parabolaszelet területének meghatározásáról: Arkhimédész be akarta bizonyítani, hogy egy ,,parabola szegment'' területe egyenlő a beírt háromszög területének 4/3-adszorosával. Ehhez a parabola néhány tulajdonságának ismeretére volt szüksége. A fenti művekben néhány tétel igazolásánál koordináta-geometriai levezetések szerepelnek. Ebben a cikkben a párhuzamos szelők tételének és háromszögek hasonlóságának segítségével fogjuk az egyik tételt belátni. Közben a parabola (és a többi másodrendű görbe) elemi tulajdonságainak bizonyításához alkalmas módszert is láthatunk.
Tudjuk, hogy a parabola a sík azon pontjainak halmaza, amelyek a sík egy egyenesétől, a vezéregyenestől ($v$) és egy ‐ nem az egyenesen lévő ‐ pontjától, a fókusztól ($F$) egyenlő távolságra vannak.
Fogalmazzuk át a fenti definíciót: Parabola azon körök középpontjainak halmaza, amely körök átmennek a fókuszon és érintik a vezéregyenest.
Az 1. ábrán az $A$ és a $B$ az $F$ fókuszú, $v$ vezéregyenesű parabola pontjai. A definícióból rögtön kitűnik, hogy a parabola szimmetrikus az $F$-en átmenő, a $v$-re merőleges $t$ egyenesre (tengely).
Ennek ismeretében tudunk parabolapontot szerkeszteni: Felveszünk a vezéregyenesen egy $A\text{'}$ pontot, ezen át párhuzamost húzunk $t$-vel, majd ezt az $\overline{A\text{'}F}$ felezőmerőlegesével ($a$) messük el, az így kapott $A$ pont pontja a parabolának.
Lássuk be, hogy $a$-nak csak egy közös pontja van a parabolával.
Legyen $P\in a$, $P\ne A$. Ekkor $\overline{PF}=\overline{PA\text{'}}$, és ez nagyobb, mint $P$-nek a $v$-től való távolsága. Azt is beláttuk itt, hogy az $a$ összes pontja, $A$-t kivéve, távolabb van $F$-től, mint $v$-től, azaz külső pont (1. ábra).
Azt sem nehéz megmutatni, hogy az $A$-n átmenő összes egyenes közül egyedül az $a$-nak van meg a fenti tulajdonsága. Joggal nevezzük $a$-t a parabola $A$-beli érintőjének. (Vegyünk egy, az $A$-n átmenő, $a$-tól különböző, $v$-re nem merőleges $e$ egyenest, tükrözzük erre $F$-et: képe $F\text{'}$, majd az $F\text{'}$-n átmenő, $t$-vel párhuzamos egyenesnek és $e$-nek a metszéspontjáról lássuk be, hogy közelebb van $F$-hez, mint $v$-hez, azaz belső pont. Ha viszont $e$ merőleges $v$-re, akkor az $A$ ,,fölötti'' pontok lesznek a parabola belső pontjai.)
Igaz tehát a következő 1. állítás: A vezéregyenes bármely pontját a fókusszal összekötő szakasz felező merőlegese a parabola érintője annak a pont ,,fölötti'' pontjában.
Két érintő metszéspontja (az 1. ábrán $M$) viszont éppen $A\text{'}B\text{'}$ felező merőlegesén van rajta, hiszen az $A\text{'}B\text{'}F$ háromszögben $M$ két oldal felező merőlegesének metszéspontja. Ezért igaz az alábbi:
2. állítás. A parabola két pontját ($A$-t és $B$-t) összekötő szakasz felezőpontja és a pontokban húzott érintők metszéspontja egy, a $t$-vel párhuzamos egyenest határoz meg.
Az Arkimédész által kimondott tétel (ld. Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete c. könyv 75‐78. oldalán) a következő:
Tétel. ,,Húzzuk meg a parabola egy tetszés szerinti abszcisszájához tartozó ordinátát'' (2. ábra: most a parabola tengelye az $y$ tengely). Ennek talppontja $D$, metszéspontja a parabolával $E$. a $B$ ponthoz tartozó érintőval $G$. Bárhol is vettük fel a $D$ pontot, érvényes a következő:

a=AK‖DL.
Így az $AMR$ és $DLE$ párhuzamos állású háromszögek, ahol $R$ az $e$ érintő és az $A$-n keresztül a $R$ tengellyel párhuzamosan húzott egyenes metszéspontja. Mivel az $RE$ szakasz felezőpontja $M$, az $EP$ felezőpontja az $L$, így az $ARE$ és $DEP$ háromszögek is hasonlók. Tehát valóban