Cím: 1997. Jelentés a Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről
Füzet: 1998/február, 65. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bolyai János Matematikai Társulat az ezévi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 10-én du. 3 órától tartotta a következő városokban: Békéscsaba, Bonyhád, Budapest, Debrecen, Eger, Győr, Kaposvár, Kecskemét, Miskolc, Nagykanizsa, Nyíregyháza, Pécs, Salgótarján, Sopron, Szeged, Székesfehérvár, Szolnok, Szombathely, Veszprém. A Társulat a verseny lebonyolítására a következő bizottságot kérte fel: Bártfai Pál, Csirmaz László, Fejes-Tóth Gábor, Kálmán Tamás, Kós Géza, Pálmay Lóránt, Pelikán József, Reiman István, Surányi János (elnök), Szeidl Ádám (titkár), Ujváry-Menyhárt Zoltán.
A bizottság a feladatok kitűzésére szeptember 19-én (nem tudott részt venni Fejes-Tóth G.) és szeptember 26-án (nem tudott részt venni Csirmaz L., Fejes-Tóth G., Pelikán J. és Reiman I.) tartott ülést, és a következő feladatokban állapodott meg:

 
1. Legyen p páratlan prímszám, és tekintsük a síkon azokat a pontokat, amelyeknek mindkét koordinátája a 0, 1, 2, ..., p-1 számok valamelyike. Mutassuk meg, hogy ezen rácspontok közül kiválasztható p darab, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre.
 
2. Az ABC háromszög körülírt körének középpontja O. A beírt kör az oldalakat az A1, B1, C1 pontokban érinti, középpontja O1. Az A1B1C1 háromszög magasságpontja M1. Igazoljuk, hogy az O, O1, M1 pontok egy egyenesen vannak.
 
3. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges síkba rajzolható gráf élei kiszínezhetők három színnel úgy, hogy a gráfban ne legyen egyszínű kör.
A dolgozatok áttanulmányozása után december 5-i ülésén (nem tudott részt venni Fejes-Tóth G. és Pelikán J., utóbbi tájékoztatást adott véleményéről) a bizottság a következő jelentést fogadta el: ,,A verseny mindenütt rendben zajlott le. A vidéki városokban összesen 188-an indultak, 115-en adtak be dolgozatot. Budapesten 156-an vettek részt a versenyen, közülük 83-an adtak be dolgozatot.
Senki nem oldotta meg mind a három feladatot. A harmadik feladatra csak többé-kevésbé bíztatónak látszó próbálkozások fordultak elő. Ennek alapján I. Kürschák József díjat nem ad ki a bizottság.
Két megoldást tartalmaz Gueth Krisztián és Lippner Gábor dolgozata. Az első feladatra mindketten ugyanazt a pontrendszert választják. A második feladatot Gueth körre vonatkozó inverzió segítségével oldja meg. A harmadik feladatnál csak belekezd egy gondolatba, de nem látszik, hogy az célravezet-e.
Lippner a második feladatot vektor-összefüggések és vektorszorzat felhasználásával kiszámolja. A harmadik feladatba is belekezd, de nem jut értékelhető részeredményre.
Ennek alapján II. Kürschák József díjban és 8000‐8000 Ft jutalomban részesül

Gueth Krisztián, a szombathelyi Kanizsai Dorottya Gimnázium III. (11.) osztályos tanulója, Módos Tiborné és Sándor Endre tanítványa és

Lippner Gábor, A budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. (12.) osztályos tanulója, Thiry Imréné, Dobos Sándor és Pósa Lajos tanítványa.