^{${}^{*}$}

1. Mekkora az 1, 2, $\text{...}$, 2000 számok számjegyeinek összege? 27 502  (1); 28 002  (2); 28 502  (X).
2. Micimackó egy jeges, vízszintes pályán $5\text{m/s}$ sebességgel száguldó szánkón ül, kezében egy mézzel teli, zárt csupor. A csuporban egy parányi légbuborék $2\text{mm/s}$ sebességgel emelkedik felfele. A buborék éppen a csupor közepénél van, amikor a szánkó latyakos hóval borított kis dombhoz ér, majd a domb tetején megáll. Hol fogja a buborék elérni a csupor tetejét, ha az színültig tele van mézzel, és Micimackó mindvégig függőlegesen tartja az edényt? Az edény szimmetriatengelyénél  (1); a tengelytől 1 milliméternyire  (2); csak a domb magasságának és a fékezés körülményeinek ismeretében adható meg a válasz  (X).

3. Nemrég vezették be Magyarországon a skandináv lottót. 35 számból húznak ki hetet, és minden szelvény két húzáson vesz részt. Hol a legkisebb az esélye annak, hogy legalább 2 találatot érj el? A skandináv lottón  (1); a 6-os lottón  (2); az 5-ös lottón  (X).
4. Megváltozna-e a nap hossza, ha Angliában 2000. január 1-én áttérnének a jobboldali közlekedésre? Igen, méghozzá nőne  (1); igen, de csökkenne  (2); nem változna  (X).
5. Egy $ABC$ háromszög $AB$ alapjához illesztett rudat elforgatunk a $B$ csúcs körül úgy, hogy a $BC$ oldalra, ezután a $C$ csúcs körül úgy, hogy az $AC$ oldalra, végül az $A$ csúcs körül úgy, hogy ismét a $BC$ oldalra illeszkedjék. A forgatás minden esetben negatív irányban történik. A rúd véghelyzetében lesz egyetlen olyan pont, amelyik az eredeti helyzetébe kerül vissza. Melyik ez? A $C$-ből induló magasság talppontja  (1); az $AB$ oldal felezőpontja  (2); egyik sem a fentiek közül  (X).
6. Egy lejtős szállítószalag alját jól csapágyazott görgősor alkotja. A görgősoron ,,lecsúszó" láda mozgását tanulmányozva megállapíthatjuk, hogy a görgők hatását a láda sebességének $n$-edik hatványával arányos fékezőerővel vehetjük figyelembe. Mekkora az $n$ kitevő? 1  (1); 2  (2); 0  (X).
7. Mennyi az $m\cdot n\left(m^4-n^4\right)$ alakú számok legnagyobb közös osztója, ha $1\le n<m<1999$? 6  (1); 30  (2); 60  (X).
8. Két kicsiny rúdmágnest helyezünk el egymástól 1 méter távolságra. Az egyik mágnes tengelye párhuzamos, a másiké merőleges a mágneseket összekötő egyenesre. Milyen forgatónyomatékot fejtenek ki egymásra? A két forgatónyomaték azonos nagyságú, de ellentétes irányú  (1); azonos irányú, de különböző nagyságú  (2); azonos nagyságú és azonos irányú  (X).
9. Egy oroszországi matrjoskagyár fejlesztőrészlegében egy $1{\text{m}}^2$ alapterületű dézsában víz van, amelynek felszínén úszik egy nagy, hengeres üvegpohár. A pohárban valamennyi víz van, amelyen úszik egy kisebb pohár. Abban is víz van, amelyen úszik egy még kisebb pohár, $\text{...}$ Összesen $n$ poharunk van. A legkisebb, $3{\text{cm}}^2$ alapterületű pohárba $3{\text{cm}}^3$ vizet öntünk. Vajon hány további adatot kellene még ismernünk, hogy meg tudjuk mondani, mennyit süllyed le a legkisebb pohár teteje a földhöz képest? $n-1$ adatot  (1); $n\left(n-1\right)/2$ adatot  (2); nincs szükség több adatra (X). (Mindegyik pohár henger alakú, a fenéklapjuk mindvégig vízszintes marad, és a víz egyik pohárból sem csordul ki.)
10. Egy állványon levő söröshordó tartalmát az alján levő lyukon keresztül egy nagy kádba ürítjük. A hordó, az állvány, a kád és a dugó egy nagyon érzékeny mérlegen nyugszik. Mit mutat a mérleg, amikor a kád kb. félig van telve? Kicsit kevesebbet  (1); kicsit többet  (2); éppen ugyanannyit  (X), mint amennyit a dugó kihúzása előtt mutatott.
11. 20 000 ember közül általában egy szenved egy bizonyos ritka betegségben. Az orvosok olyan tesztet használnak, amelyik $95\%$-os biztonsággal működik, azaz 100 esetből átlagosan ötször mutat téves eredményt. Valakiről a teszt azt jelzi, hogy beteg. Mennyi az esélye, hogy tényleg az? Több, mint 50%  (1); kb. $\mathrm{0,1}$%  (2); kb. 1%  (X).
12. A régiek úgy gondolták, hogy a Föld sík. Képzeljük el, hogy a Föld valóban nem $R$ sugarú gömb, hanem egy henger, amelynek alapköre $R$ sugarú, magassága pedig $H$. Mekkora $H$ esetén tapasztalnánk, hogy a nehézségi gyorsulás a henger fedőlapjának közepénél ugyanakkora, mint a gömb alakú Föld felszínén? (A két Föld-modellben a sűrűségeket tekintsük állandónak és egymással egyenlőnek.) $H=3R$  (1); $\frac{2}{3}R$  (2); $\frac{4}{3}R$  (X).
13. Hány megoldása van a nemnegatív egészek körében az $\left[\frac{x}{2000}\right]=\left[\frac{x}{1999}\right]$ egyenletnek? 3 999 000  (1); 1 999 000  (2); 2 000 000  (X).
13 + 1. Van-e olyan tetraéder, amelynek egészek az élei, egész szám a felszíne és egész a térfogata is? Van  (1); nincs  (2); megoldatlan a probléma  (X).