Kezdőlap


Cím:	A kölcsönös indukció
Szerző(k):	Gnädig Péter
Füzet:	2001/február, 110 - 116. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy zárt vezetékben elektromos áram folyik, a vezeték közelében mágneses mező alakul ki. Amennyiben az áramerősség időben változó, a mágneses mező (és annak fluxusa) is változik. A változó mágneses fluxus a vezetékben feszültséget indukál, ez az önindukció ismert jelensége. A mágneses indukció vektora minden pillanatban és mindenhol arányos a vezetékben folyó áram $I (t)$ pillanatnyi értékével^{$^{*}$}Feltételezzük, hogy az áram változásának ideje sokkal hosszabb, mint amennyi idő alatt a fény a vezeték egyik szélétől a másik széléig eljuthat. Ha ez a feltétel nem teljesül, az itt leírt érvelés érvényét veszti., és ugyanez érvényes a vezető egészére jutó mágneses fluxusra is: $Φ (t) \propto I (t)$ .
A Faraday-féle indukciótörvény szerint az indukált elektromotoros feszültség a mágneses fluxus változási sebességének $(- 1)$ -szeresével egyenlő, ez pedig arányos az áram változási sebességével^{$^{*}$}A változási sebesség jelölésére a $Δ t$ időtartamra vonatkoztatott átlagsebességet tüntettük fel. Ha a pillanatnyi sebesség fogalmát kívánjuk használni, akkor (itt és a továbbiakban) az $I' (t)$ deriválttal kell számolnunk.:

\begin{matrix} U^{ind} (t) = - L \frac{Δ I (t)}{Δ t} . \end{matrix}

L

arányossági tényező (amely a fenti előjelválasztás mellett mindig pozitív) a kérdéses vezeték (tekercs) önindukciós együtthatója.

L

nagysága a vezeték geometriai adataitól függ, s a legegyszerűbb esetek kivételével csak bonyolult számítással, vagy méréssel határozható meg.
Amennyiben az időben változó erősségű árammal átjárt (1-es jelű) vezeték (tekercs) közelében egy másik (2-es jelű) vezeték (tekercs) is található, a változó mágneses fluxus abban is elektromotoros feszültséget indukál, és ez a feszültség ugyancsak az áramerősség változási sebességével arányos:

\begin{matrix} U_{1 \to 2}^{ind} (t) = - M \frac{Δ I_{1} (t)}{Δ t}, \end{matrix}

ahol

M

-et az 1-es vezetéknek a 2-esre vonatkoztatott kölcsönös indukciós együtthatójának nevezik.
Természetesen a jelenség fordított irányban is működik: ha a 2-es vezeték

I_{2}

áramerőssége változik időben, az 1-es vezetékben

\begin{matrix} U_{2 \to 1}^{ind} (t) = - M' \frac{Δ I_{2} (t)}{Δ t}, \end{matrix}

ahol

M'

az 1-es vezetéknek a 2-esre vonatkoztatott kölcsönös indukciós együtthatója.
Több vezeték esetén az

i

-edik áramkörben indukálódó teljes elektromotoros feszültség valamennyi vezeték (beleértve saját magát is) járulékának összegeként áll elő:

\begin{matrix} U_{i}^{ind} = - \sum_{k}^{} L_{i, k} \frac{Δ I_{k} (t)}{Δ t}, \end{matrix}

ahol

L_{i, k}

k

-adik vezetéknek az

i

-edikre vonatkoztatott kölcsönös indukciós együtthatója,

L_{k, k}

pedig a

k

-adik vezeték (tekercs) önindukciós együtthatója. (Korábbi jelöléseink ebben az írásmódban:

L_{1} = L_{1, 1}

;

L_{2} = L_{2, 2}

;

M = L_{2, 1}

és

M' = L_{1, 2}

.)
A kölcsönös indukciós együtthatók ‐ az önindukciós tényezőkhöz hasonlóan ‐ általában csak bonyolult matematikai eljárással, vagy tapasztalati úton, mérésekkel határozhatók meg. Előfordul, hogy két vezeték kölcsönös indukciós tényezői közül az egyiket nagyon nehéz kiszámítani, a másikat pedig viszonylag egyszerű meghatározhatjuk. Ilyen esetekben különösen hasznos lenne, ha létezne valamilyen kapcsolatot az ,,oda-'' és a ,,visszafele'' érvényes indukciós tényezők között. Annyit mindenesetre megállapíthatunk, hogy a vezetékeket eltávolítva egymástól a kölcsönös indukció nagysága gyors ütemben (a részletes számítások szerint a távolság köbével fordított arányban) csökken.

A kölcsönös indukciós együtthatók szimmetriája

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy két tetszőleges alakú és tetszőleges térbeli helyzetű zárt vezetékre fennáll a kölcsönös indukciós együtthatók szimmetriája:

\begin{matrix} M = M', általánosabban: L_{i, k} \equiv L_{k, i} . \end{matrix}

Az állítás igazolásához energetikai megfontolásokat fogunk alkalmazni. Tekintsük az 1. ábrán látható két ideális (elhanyagolható ellenáású) tekercsből és egy külső terhelő ellenállásból álló áramkört. (Ez lényegében egy transzformátor, de nem tételezzük fel, hogy a tekercsek közös vasmagon lennének, sőt, még azt sem, hogy egymáshoz nagyon közel helyezkednének el.)
Kapcsoljunk az 1-es (primer) tekercsre valamekkora

U_{0}

effektív értékkel jellemzett,

ω

körfrekvenciájú váltófeszültséget, a másik (szekunder) tekercset pedig zárjuk le egy

R

nagyságú terhelő ellenállással. A kölcsönös indukció miatt a primer tekercs váltakozó árama a szekunder tekercsben feszültséget indukál, ez áramot indít benne, amely hatására a terhelő ellenálláson egységnyi idő alatt valamekkora

P_{ki}

hő fejlődik. Ezt a hőteljesítményt a primer oldalon betáplált

P_{be}

hasznos teljesítmény fedezi, ezt (a primer feszültség és áramerősség, valamint a fázistényező szorzatát) méri a villanyóra. Az energiamegmaradás tétele szerint fenn kell álljon, hogy

\begin{matrix} P_{be} = P_{ki} . \end{matrix}

A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy milyen megszorítást jelent a rendszer paramétereire nézve ezen ,,energia-mérlegegyenlet'' teljesülése.
Tételezzük fel, hogy a primer tekercsben

I_{1}

effektív értékű áram folyik. Ennek az áramnak a változási sebessége

I_{1} ω

, hatására a szekunder tekercsben

\begin{matrix} U_{1 \to 2} = M I_{1} ω \end{matrix}

nagyságú, az

I_{1}

áram fázisához képest

90^{\circ}

-kal siető feszültség indukálódik. Forgóvektoros ábrázolásban a fázisviszonyokat a 2. ábrán látható módon szemléltethetjük.
Az indukált

U_{1 \to 2}

feszültség hatására az

L_{2}

önindukciójú,

R

ellenállással terhelt szekunder tekercsben

\begin{matrix} I_{2} = \frac{U_{1 \to 2}}{\sqrt[]{R^{2} + L_{2}^{2} ω^{2}}} = \frac{M I_{1} ω}{\sqrt[]{R^{2} + L_{2}^{2} ω^{2}}} \end{matrix}

nagyságú áram fog folyni, melynek fázisa a 3. ábrán látható

φ

szöggel késik az

U_{1 \to 2}

feszültséghez képest. A terhelő (ohmikus) ellenálláson leadott hőteljesítmény:

\begin{matrix} P_{ki} = I_{2}^{2} R = \frac{M^{2} I_{1}^{2} ω^{2} R}{R^{2} + L_{2}^{2} ω^{2}} . \end{matrix}

Számítsuk ki a bemenő teljesítményt is! A primer áram nagyságát ismerjük, a primer feszültséget pedig viszonylag egyszerűen meg tudjuk határozni. A primer tekercsben indukálódott feszültség két tag összegeként áll elő: egyrészt az önindukcióből származó

U_{1 \to 1}^{ind} = L_{1} ω I_{1}

nagyságú, másrészt a szekunder tekercs által indukált

\begin{matrix} U_{2 \to 1}^{ind} = M' ω I_{2} \end{matrix}

nagyságú feszültségkomponensekből. Ezeket a feszültségeket és

U_{0}

-t megfelelő fázissal összegezve nullát kell kapnunk, hiszen a körben nincs ohmos ellenállás. A primer tekercsre kapcsolt váltófeszültség teljesítménye tehát

- U_{1 \to 1}^{ind}

és

- U_{2 \to 1}^{ind}

(fázishelyesen számolt) összegének teljesítménye, vagy ami ezzel egyenértékű,

- U_{1 \to 1}^{ind}

és

- U_{2 \to 1}^{ind}

külön-külön (fázishelyesen) kiszámolt a teljesítményének összege. Az önindukcióból származó feszültség az

I_{1}

áramhoz képest

90^{\circ}

-ot siet, a teljesítménye tehát teljesen meddő, a ,,villanyszámla'' szempontjából figyelmen kívül hagyható. Az

U_{2 \to 1}^{ind}

feszültség viszont az

I_{2}

-höz képest

90^{\circ}

-ot siet (lásd a 2. ábrát), az

I_{1}

áramtól tehát

180^{\circ} - φ

fázisszöggel tér el, így a bemenő teljesítmény

\begin{matrix} P_{be} = - U_{2 \to 1}^{ind} I_{1} cos (180^{\circ} - φ) = M' ω \frac{M I_{1} ω}{\sqrt[]{R^{2} + L_{2}^{2} ω^{2}}} \frac{R I_{1}}{\sqrt[]{R^{2} + L_{2}^{2} ω^{2}}} = \frac{M M' I_{1}^{2} ω^{2} R}{R^{2} + L_{2}^{2} ω^{2}} . \end{matrix}

A bemenő és a kimenő teljesítmények egyenlőségéből (

M \neq 0

esetén) éppen a bizonyítandó

M = M'

szimmetria-reláció adódik.^{$^{*}$}Ha

M

történetesen nulla lenne, akkor a tekercsek felcserélése és az egész számítás megismétlése után

M' = 0

adódik, tehát még ebben a szélsőséges esetben is egyenlő a kétféle kölcsönös indukciós tényező.

Egy egyszerű példa

A kölcsönös indukciós együtthatók szimmetriájának ismerete bizonyos esetekben lényegesen egyszerűsítheti számításainkat. Oldjuk meg például a következő feladatot:
Egy

R

sugarú körvezető közepén, vele egy síkban, koncentrikusan elhelyezve egy

r

sugarú (

r ≪ R

) másik körvezető található (4. ábra). A kisebb körvezetőben az áramerősséget

t_{0}

idő alatt nulláról

I_{0}

értékre növeljük. Mekkora feszültség indukálódik ezalatt a nagyobb körben?
Megoldás. Az indukált feszültséget a kis körvezetőnek a nagyra vonatkoztatott kölcsönös indukciója határozza meg. Ezt a mennyiséget nem könnyű kiszámítani, hiszen a kis körvezető mágneses tere a nagyobb kör belsejében erősen inhomogén, helyről helyre számottevően változik.
Sokkal könnyebb meghatározni a nagy körvezetőnek a kicsire vonatkoztatott kölcsönös indukciós tényezőjét, hiszen a nagy kör mágneses mezője a kis körvezető helyén jó közelítéssel homogénnek tekinthető, nagysága pedig

\begin{matrix} B \approx μ_{0} \frac{I}{2 R} . \end{matrix}

Ennek a mezőnek a

r^{2} π

területű kis körlapon

\begin{matrix} Φ (t) = \frac{μ_{0} r^{2} π}{2 R} I (t) \end{matrix}

a mágneses fluxusa, így az indukált elektromotoros feszültség:

\begin{matrix} U^{ind} (t) = - \frac{Δ Φ (t)}{Δ t} = - \frac{μ_{0} r^{2} π}{2 R} \frac{Δ I (t)}{Δ t} = - M \frac{Δ I (t)}{Δ t}, \end{matrix}

vagyis a kérdéses kölcsönös indukciós együttható:

\begin{matrix} M = \frac{μ_{0} r^{2} π}{2 R} . \end{matrix}

Az előző levezetett szimmetriatulajdonság miatt a kis körvezetőnek a nagyra vonatkoztatott kölcsönös indukciós együtthatója is ugyanekkora (

M' = M

), a feladatban kérdezett feszültség tehát:

\begin{matrix} U = \frac{μ_{0} r^{2} π}{2 R} \frac{I_{0}}{t_{0}} . \end{matrix}

Mekkora lehet két vezető kölcsönös indukciója?

Vajon milyen határok között változhat két vezető kölcsönös indukciója? Ha a vezetők elegendően messze vannak egymástól, akkor

M

nyilván tetszőlegesen kicsivé válhat. De vajon milyen nagy lehet maximálisan a kölcsönös indukció értéke? Megmutatjuk, hogy

M

abszolút értéke nem lehet akármilyen nagy, legfeljebb akkora, mint a két vezető önindukciós együtthatóinak mértani közepe:

\begin{matrix} | M | \leq \sqrt[]{L_{1} L_{2}} . \end{matrix}

Ezt az egyenlőtlenséget ugyancsak energetikai megfontolások segítségével láthatjuk be.
Végezzünk el egy gondolatkísérletet! Vegyünk egy jó nagy kapacitású kondenzátort, és töltsük fel

Q

töltéssel a kapacitásának megfelelő

U_{0} = Q / C

feszültségre. Kapcsoljuk rá erre a kondenzátorra a vizsgálandó két vezetőből álló ,,ideális transzformátor'' primer körét, a szekunder körét pedig zárjuk rövidre (5. ábra). Könnyen beláthatjuk, hogy mindkét körben az idővel egyenes arányban növekvő erősségű áram indul meg, hiszen a körök feszültsége időben állandó (

U_{0}

, illetve nulla), következésképpen az áramerősségek változási sebessége is állandó kell legyen:

\begin{matrix} I_{1} (t) = a_{1} \cdot t, illetve I_{2} (t) = a_{2} \cdot t . \end{matrix}

(Felhasználtuk, hogy a kondenzátor kapacitása jó nagy, ezért egy rövid idő alatt a rajta levő töltés nem változik meg számottevően.) Írjuk fel az egyes tekercsekben indukálódó feszültségeket, majd ezek segítségével a primer és a szekunder körben Kirchhoff huroktörvényét:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{Q}{C} - L_{1} a_{1} - M a_{2} = 0, \\ - M a_{1} - L_{2} a_{2} = 0. \end{matrix} \end{matrix}

(Kihasználtuk korábbi eredményünket, miszerint

M = M'

.) A fenti egyenletrendszert megoldva a primer tekercs áramerősségére

\begin{matrix} I_{1} = \frac{L_{2} Q t}{C} \cdot \frac{1}{L_{1} L_{2} - M^{2}} \end{matrix}

adódik. Ha ez az áram

Q > 0

esetén negatív mennyiség lenne (vagyis a pozitív töltésű lemezhez kapcsolódó vezetéken nem a lemeztől el, hanem éppen a lemez felé folyna az áram), akkor a kondenzátor töltése időben egyre nőne. A kondenzátor ebben az esetben ,,magától'' feltöltődne, elektrosztatikus energiája egyre növekedne. Ez ellentmond az energiamegmaradás általános törvényének, következésképpen

I_{1} / Q

nemnegatív kell legyen. Ez a követelmény viszont csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} L_{1} L_{2} - M^{2} \geq 0, \end{matrix}

s éppen ezt akartuk belátni.
Két, egymással elektromágneses csatolásban levő tekercs kölcsönös indukciója

- \sqrt[]{L_{1} L_{2}}

és

+ \sqrt[]{L_{1} L_{2}}

közötti értékeket vehet fel. Emiatt célszerű

M

-et

k \sqrt[]{L_{1} L_{2}}

alakban felírni, ahol

k

a tekercsek (vezetékek) csatolásának erősségére jellemző dimenziótlan szám

(- 1 \leq k \leq + 1)

. Ha pl. közös vasmagra tekercselünk két tekercset, akkor bármelyikük által keltett mágneses fluxus gyakorlatilag teljes egészében áthalad a másik tekercsen is; ilyenkor a csatolás erős,

k = \pm 1

(az előjel a tekercselés irányától függ). Egy további példa: egy nagyobb átmérőjű szolenoid belsejébe egy másik, kisebb szolenoidot helyezünk. A kölcsönös indukció ekkor is könnyen kiszámítható, s a csatolási tényező

| k | = \sqrt[]{A_{2} / A_{1}} < 1

lesz, ahol

A_{2}

a belső tekercs keresztmetszete,

A_{1}

pedig a külsőé.

Hatás‐ellenhatás (mechanikai analógia)

A kölcsönös indukciók szimmetriáját (vagyis azt az összefüggést, hogy az egyik tekercsnek a másikra való indukciós hatása ugyanolyan mértékű, mint a másik tekercsnek az előbbire való visszahatása) energetikai megfontolások segítségével láttuk be. Hasonló helyzet klasszikus (newtoni) mechanikában is előfordul, és ott is hasonló jellegű érveléssel ‐ energetikai megfontolások segítségével ‐ láthatjuk be, hogy egy zárt rendszer két része közti belső erőhatások (erő és ellenerő) azonos nagyságú és ellentétes irányú vektorok kell legyenek.

Tekintsünk két testet, melyek kezdetben állnak, majd az egymásra kifejtett erőhatások következtében egy egyenes mentén gyorsulni kezdenek (6. ábra). Ha

m_{1}

és

m_{2}

jelöli a testek tömegét,

F

és

F'

pedig a rájuk ható belső erőket, akkor a gyorsulásuk

a_{1} = F / m_{1}

és

a_{2} = F' / m_{2}

, valamely kicsiny

t

idő alatt elért sebességük pedig

v_{i} = a_{i} t

(

i = 1

, 2). A két test mozgási energiájának megváltozása tehát

t

idő alatt

\begin{matrix} Δ E_{álló} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} {(\frac{F t}{m_{1}})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {(\frac{F' t}{m_{2}})}^{2} . \end{matrix}

(Az ,,álló'' kifejezés arra utal, hogy ezt az energiaváltozást abban a koordináta-rendszerben észleljük, melyhez viszonyítva a testek kezdetben álltak.)
Képzeljük most el, hogy az egész jelenséget egy

- v_{0}

sebességgel haladó vonatból figyeljük. Innen szemlélve a következőket mondhatjuk: a két test mozgási energiája kezdetben

\begin{matrix} E_{0} = \frac{1}{2} m_{1} v_{0}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{0}^{2} \end{matrix}

volt,

t

idővel később pedig

\begin{matrix} E_{t} = \frac{1}{2} m_{1} {(v_{0} + \frac{F t}{m_{1}})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {(v_{0} - \frac{F' t}{m_{2}})}^{2} \end{matrix}

lett, a rendszer mozgási energiának megváltozása tehát

\begin{matrix} Δ E_{mozgó} = E_{t} - E_{0} = \frac{1}{2} m_{1} {(\frac{F t}{m_{1}})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {(\frac{F' t}{m_{2}})}^{2} + (F - F') t v_{0} . \end{matrix}

A kétféle megfigyelő által észlelt mozgási energia változásnak meg kell egyeznie egymással, hiszen

Δ E

-t a két test távolságától függő helyzeti energia (pl. rugalmas energia, vagy elektrosztatikus energia) megváltozása fedezi, esetleg kémiai energia felszabadulásából (ágyú elsütéséből) származik; ezek mindegyike az álló és a mozgó megfigyelő számára ugyanakkora.

Δ E_{mozgó}

és

Δ E_{álló}

fentebb kiszámított értékei viszont csak akkor lesznek egyenlőek, ha

\begin{matrix} F = F', \end{matrix}

vagyis a hatás és ellenhatás erői egyforma nagyok.
Nem állítjuk, hogy ezzel az érveléssel ,,levezettük'' Newton III. törvényét, hiszen felhasználtuk az energiamegmaradás tételét és a vonatkoztatási rendszerek egyenértékűségét, s ezek legalább olyan fontos részei a klasszikus mechanikának, mint a hatás‐ellenhatás törvénye. Nem szándékozunk fontosági sorrendet megállapítani az említett fizikai törvények között, csupán arra akarjuk felhívni a figyelmet, hogy ezek a törvények nem teljesen függetlenek egymástól, valahol mélyen kapcsolat van közöttük. Néha az egyik, néha pedig egy másik fizikai törvény használata a célszerűbb, tartozzon a vizsgált jelenség (megoldandó feladat) akár a klasszikus mechanika, akár pedig az elektromágneses indukció körébe.

Gnädig Péter

^{$^{*}$}

^{1}

^{$^{*}$} $^{2}$

^{$^{*}$} $^{3}$