Kezdőlap


Cím:	Forgásfelületek szappanhártyából (Charles Delaunay tételéről)
Szerző(k):	Gnädig Péter , Simányi Nándor
Füzet:	1998/március, 173 - 181. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\hbox{\rm ch}
Az alábbi dolgozatban rövid ismertetést szeretnénk nyújtani a differenciálgeometria egy nevezetes tételéről, amely Charles Eugene Delaunay francia matematikustól származik 1847-ből.^{$^{*}$}Ch. E. Delaunay (ejtsd: döloné) (1816‐1872) csillagászként is kiváló volt, elsősorban a Nap‐Föld‐Hold rendszer mozgásának számításával (az ún. háromtest-problémával) foglalkozott. Több évtizeden keresztül végzett nagyon pontos számításait nemrég számítógéppel ellenőrizték, és csak néhány jelentékleten hibát találtak benne. A tétel igen plasztikus leírását adja a háromdimenziós euklideszi térben mindazoknak az $F$ forgásfelületeknek, amiknek az ún. Minkowski-görbülete állandó, avagy ‐ fizikai nyelvezetet használva ‐ amelyek (legalábbis elvben) megvalósíthatók szappanhártyából olymódon, hogy a hártya két oldalán különböző légnyomást hozunk létre.^{$^{*}$}E tétel színes illusztrációja díszíti ezekben a hónapokban a KöMaL címlapját!
A tétel ismertetéséhez, majd pedig bizonyításához szükségünk lesz egy rövid bevezetőre a háromdimenziós térben levő felületek (röviden: felületek) differenciálgeometriájának az elemeibe, valamint meg kell ismernünk a szappanhártyák sztatikájának az alapegyenletét. Mindezen felül, a bizonyításban felhasználjuk a tömegpontok Newton-féle mozgástörvényét és a körmozgás kinematikai leírásából a centripetális gyorsulás fogalmát; mindezt azzal a céllal, hogy bizonyos görbületek kiszámítását leegyszerűsítsük és szemléletesebbé tegyük az Olvasó számára. Emiatt joggal lesz mondható, hogy az itt következő bizonyítás ,,tiszta matematikai'' értelemben nem 100%-ig teljes, cserébe viszont bőségesen kárpótol bennünket a szemléletesség és a fizikai intuíció felhasználása.

Felületek görbületei. Minkowski-görbület

A következő dolgokat bizonyítás nélkül felhasználjuk a differenciálgeometriából:
Legyen

F

egy sima felület, ami áthalad az

O

referencia ponton. A derékszögű koordináta-rendszer alkalmas elmozgatásával feltehető, hogy

O

éppen az origó és az

F

felület

O

pontbeli érintő síkja a

z = 0

egyenletű sík. A tér

z

tengely körüli alkalmas elforgatásával még az is elérhető, hogy az

F

felületet legjobban (azaz harmadrendben kicsi hibával) közelítő

z = q (x, y)

kvadratikus függvénygrafikon egy

\begin{matrix} q (x, y) = \frac{1}{2} (κ_{1} x^{2} + κ_{2} y^{2}) \end{matrix}

(1)

ún. diagonális kvadratikus alakkal adható meg, azaz olyannal, amelyre

q

-ban nincs vegyes másodrendű (

x y

-nal arányos) tag.
Megjegyzés.^{$^{*}$}Az apróbetűs ,,megjegyzések'' nem tartoznak szorosan a cikk fő gondolatmenetéhez, ezért a részletek iránt kevésbé érdeklődő Olvasó először nyugodtan átugorhatja ezeket. Az itt fellépő

κ_{1}

és

κ_{2}

számokat az

F

felület, annak

O

pontja, és a felület ,,pozitív oldalának'', vagyis a

z

tengely irányának kiválasztása egyértelműen meghatározza, természetesen e két szám sorrendjétől eltekintve.

A

κ_{1}

és

κ_{2}

mennyiségeket a felület

O

-beli főgörbületeinek nevezik. E két szám szorzatát hívják az

F

O

-beli Gauss-görbületének, míg e két szám összege a Minkowski-görbület.^{$^{*}$}A Minkowski-görbület (összgörbület) felét átlaggörbületnek is nevezik. A Gauss-görbület (szorzat-görbület) fontos szerepet játszik az általános relativitáselmélet matematikai megfogalmazásában. Végezetül, a

q (x, y) = \frac{1}{2} (κ_{1} x^{2} + κ_{2} y^{2})

diagonális kvadratikus alakhoz tartozó

x

és

y

tengelyirányokat az

F

felület

O

pontbeli főirányainak nevezik.

Megjegyzések. 1. A főirányokban vett görbületeknek egyszerű szemléletes jelentés is tulajdonítható. Ezek a számok a felületet (a megadott irányokban haladva) a legjobban közelítő körök, az úgynevezett simulókörök sugarainak reciprokai. Tekintsük például a felületet az

y = 0

síkban (2. ábra). A bejelölt derékszögű háromszögre felírhatjuk Pitagorász tételét:

{(r_{1} - q)}^{2} + x^{2} = r_{1}^{2},

ahonnan

q (2 r_{1} - q) = x^{2}

, azaz

q ≪ r_{1}

esetén

q (x, y = 0) \approx x^{2} / (2 r_{1})

adódik. Összehasonlítva a megadott kvadratikus alakkal látható, hogy

κ_{1} = 1 / r_{1}

, és hasonlóan adódik, hogy

κ_{2} = 1 / r_{2}

.
2. Ha a felület valamelyik főgörbülete negatív, akkor a megfelelő simulókör sugarának reciproka a görbület

(- 1)

-szeresét adja.
3. A felület pozitív oldalának, azaz a felület irányításának megváltoztatásával

κ_{1}

és

κ_{2}

mindössze előjelet vált, így tehát ugyanez történik a Minkowski-görbülettel is, a Gauss-görbület viszont változatlan marad.

A főirányok és a főgörbületek fogalmát egy másik, geometriai úton is megvilágíthatjuk. Képezzük a felület

\vec{n}

normálvektorát (vagyis az érintősíkra merőleges, a felület ,,pozitív'' oldala felé irányított egységvektort) a felület

O

pontjában, illetve annak kis környezetében. Ha az

O

referencia pontból egy kicsiny

\vec{Δ r}

vektorral elmozdulunk a felület (tehát lényegében az érintősík) valamely közeli pontjába, akkor az ottani normálvektor ‐ a felület görbültsége miatt ‐ egy kicsit el fog térni az eredeti normálvektortól (3. ábra). Jelöljük ezt az eltérést

\vec{Δ n}

-nel.

\vec{n}

hosszának változatlansága miatt

\vec{Δ n}

merőleges

\vec{n}

-re, tehát

\vec{Δ n}

is az érintősíkban fekszik. Vizsgáljuk meg, mi a kapcsolat

\vec{Δ r}

és

\vec{Δ n}

között! Ezen két vektor (mindkettő infinitezimálisan kicsiny) nagysága arányos egymással, de az irányuk általában különböző. Van azonban az éríntősíkban két olyan irány, amelyek mentén elmozdulva

\vec{Δ r}

és

\vec{Δ n}

párhuzamosak maradnak, tehát a kapcsolatuk így fejezhető ki:

\begin{matrix} \vec{Δ n} = - κ \cdot \vec{Δ r}, \end{matrix}

(2)

ahol

κ

a megfelelő irányhoz (főirányhoz) tartozó főgörbület. Belátható, hogy a két főirány egymásra merőleges, és hogy a főgörbületek a megfelelő simulókörök sugarainak reciprokai.

Szappanhártyák Minkowski-görbülete

A mechanikából ismeretes Laplace-nak a következő, 1806-ból származó tétele: Egy egyensúlyi helyzetben levő

F

szappanhártya esetében az

F

felület minden pontjában

\begin{matrix} p^{+} - p^{-} = α (κ_{1} + κ_{2}), \end{matrix}

ahol

p^{+}

és

p^{-}

F

hártya pozitív illetve negatív oldalán mért gáznyomás,

α > 0

pedig csupán a hártyától függő állandó (4. ábra).^{$^{*}$}Az

α

állandó éppen a folyadékhártya felületi feszültsége (egységnyi szakaszon ható felületi erő, vagy ami ezzel egyenértékű: a hártya egységnyi felületére jutó energia). Tekintettel arra, hogy a szappanhártyának 2 oldala van,

α

megegyezik a folyadék (levegőre vonatkoztatott) felületi feszültségének kétszeresével. Így tehát (a

Δ p = p^{+} - p^{-}

nyomáskülönbség állandó volta miatt) a szappanhártyák mindig konstans Minkowski-görbületű felületek.

Megjegyzés. Az idézett tétel a következőképpen szemléltethető. Tekintsük a felületnek kicsiny, a megfelelő simulókörök középpontjából

Δ φ_{1}

, illetve

Δ φ_{2}

szögben látszó darabkáját (5. ábra). Ennek a felületdarabkának közelítőleg

r_{1} Δ φ_{1} \cdot r_{2} Δ φ_{2}

a területe, a felületi feszültség következtében tehát

α \cdot r_{1} Δ φ_{1} \cdot r_{2} Δ φ_{2}

energiával rendelkezik.
Képzeljük el, hogy a felület valamilyen ok miatt az eredeti helyzetéhez képest egy kicsiny

ε

távolságnyira elmozdul. A megadott szögek alatt látszó felületdarabka nagysága és ezzel együtt a hozzá tartozó felületi energia megváltozik, méghozzá

\begin{matrix} \begin{matrix} Δ E_{f} = \\ = α \cdot (r_{1} + ε) Δ φ_{1} \cdot (r_{2} + ε) Δ φ_{2} - α \cdot r_{1} Δ φ_{1} \cdot r_{2} Δ φ_{2} \approx \\ \approx α \cdot (r_{1} + r_{2}) Δ φ_{1} \cdot Δ φ_{2} \cdot ε \end{matrix} \end{matrix}

mértékben. Másrészt a felület két oldalán levő gázok a

Δ p = p^{+} - p^{-}

nyomáskülönbség miatt

\begin{matrix} W = Δ p \cdot r_{1} Δ φ_{1} \cdot r_{2} Δ φ_{2} \cdot ε \end{matrix}

nagyságú munkát végeznek. A munkatétel értelmében

W = Δ E_{f}

. (Ha ez nem teljesülne, akkor a felület valamilyen irányú elmozdulása során energia szabadulhatna fel, tehát a felület nem lenne stabil egyensúlyi helyzetben). Behelyettesítve

Δ E_{f}

és

W

kifejezéseit, majd kihasználva a főgörbületek és a görbületi sugarak közötti kapcsolatot, éppen Laplace tételét kapjuk.

A kérdés mármost az, hogy melyek az állandó Minkowski-görbületű forgásfelületek, azaz mely forgásfelületek hozhatók létre (legalábbis elvben) szappanhártyából? A választ Delaunay már említett tétele adja meg:

TÉTEL Az állandó Minkowski-görbületű forgásfelületek úgy származtathatók, hogy egy

S

sík

e

egyenesén gördítünk egy

C

kúpszeletet, majd pedig

C

-nek a kiválasztott

F_{1}

fókusza által leírt

γ

görbét megforgatjuk az

e

egyenes körül. Az így kapható

γ

-k által söpört

F

felületek a keresett forgásfelületek.

Megjegyzések. 1. Az alábbiakban mi csupán az ellipszisek gördítésével nyerhető

F

felületekről látjuk be azt, hogy azok állandó Minkowski-görbületűek. A dolgozat végén rövid utalásokat teszünk arra, hogy az egyéb kúpszeletek esete miként tárgyalandó, illetve hogy azoknak milyen sajátosságaik vannak.
2. Azzal nem foglalkozunk bővebben, hogy a fenti eljárással miért is kapható meg az összes, kivánt tulajdonságú forgásfelület. Ezt a megfelelő differenciálegyenlet felírásával és a szabad paraméterek analízisével kaphatnánk meg.

Forgásfelületek főgörbületei

Forgassuk meg az

y = f (x)

grafikont (itt

f

egy pozitív, sima függvény) az

x

tengely körül. Így kapjuk az

F

forgásfelületet.^{$^{*}$}

f (x)

grafikonját az

F

felület vezérgörbéjének nevezik.
Bizonyítás nélkül felhasználjuk a differenciálgeometriából a következő, egyébként eléggé szemléletes eredményeket: Az

F

felület

F_{1} = (x_{0}, y_{0})

-pontbeli főirányait az alábbi egyenletrendszerű egyenesek adják meg:

\begin{matrix} x = x_{0}, y = y_{0}, \end{matrix}

tehát

z

tengellyel párhuzamos egyenes, illetve

\begin{matrix} z = 0, y - y_{0} = f' (x_{0}) (x - x_{0}), \end{matrix}

ami nem más, mint a vezérgörbe

F_{1}

pontbeli érintője.^{$^{*}$}

f' (x_{0})

y = f (x)

függvény

x_{0}

pontbeli differenciálhányadosát (deriváltját) jelöli, ami közelítőleg

Δ y / Δ x

módon is kiszámítható. A továbbiakban ‐ a differenciálszámításban nem eléggé jártas Olvasók kedvéért ‐ nem teszünk különbséget a derivált és a differenciahányados között, ez utóbbit azonban mindig ,,infinitezimálisan kicsiny'' mennyiségek arányaként értjük.
Az elsőnek megfelelő

κ_{1}

főgörbület

r_{1} = 1 / κ_{1}

reciproka (vagyis a görbületi sugár) az

\begin{matrix} r_{1} = y_{0} \sqrt[]{1 + {(f' (x_{0}))}^{2}} \end{matrix}

(3)

képlettel, míg a másik főgörbület

r_{2} = 1 / κ_{2}

reciproka az

\begin{matrix} r_{2} = \frac{{[1 + {(f' (x_{0}))}^{2}]}^{3 / 2}}{| f'' (x_{0}) |} \end{matrix}

(4)

formulával kapható meg.^{$^{*}$}

f''

f (x)

függvény második deriváltját jelöli.
(Vigyázat:

f'' > 0

esetén a kétféle görbület ,,ellentétes irányú'', emiatt Laplace tételében ellentétes előjellel veendők figyelembe.)

Megjegyezések: 1.

r_{2}

éppen az

y = f (x)

grafikon

F_{1} = (x_{0}, y_{0})

pontbeli simulókörének sugara, míg

r_{1}

éppen az

F_{1}

pont távolsága az

y = f (x)

görbe

F_{1}

-beli normálisának az

x

tengellyel vett

Q

metszéspontjától. A könnyebb érthetőség kedvéért megemlítjük továbbá, hogy a

Q

középpontú,

r_{1}

sugarú gömb másodrendben (azaz harmadrendűen kis hibával) simul az

F

felülethez az

x = x_{0}, y = y_{0}

egyenes irányában.
2. A (4) formula könnyen igazolható a következő, fizikai gondolatmenettel. Tekintsük egy tömegpont síkbeli,

\vec{r} (t) = (x (t), y (t)) = (t, f (t))

vektorfüggvénnyel leírt mozgását, ahol

t

az idő paraméter. (Ez az

x

tengely irányában egységnyi sebességű, tehát egyenletes,

y

irányban pedig megadott módon változó mozgás.) Ennek a mozgásnak a sebességvektora

\vec{v} (t) = (1, f' (t))

, gyorsulása pedig

\vec{a} (t) = (0, f'' (t))

. Képezzük ezután az

\vec{a} (t)

gyorsulásnak a skaláris szorzatát a

\vec{v} (t)

-re merőleges, alkalmasan irányított

\begin{matrix} \vec{n} (t) = \frac{1}{| \vec{v} (t) |} (f' (t), - 1) = \frac{1}{\sqrt[]{(1 + {(f' (t))}^{2})}} (f' (t), - 1) \end{matrix}

egységvektorral, azaz vegyük a gyorsulásnak a sebességre merőleges komponensét! A megfelelő körmozgással vett analógia alapján ez a skaláris szorzat nem egyéb, mint

| \vec{v} (t) |^{2} / r_{2}

, ahol

r_{2}

éppen a függvény grafikonja simulókörének a keresett sugara. A mondott egyenlőséget felírva és

r_{2}

-re megoldva kapjuk (4)-et.

3. A következő fizikai érveléssel szemléltethetjük, hogy a forgásfelületek összgörbülete valóban a fentebb megadott

r_{1}

és (a megfelelő előjellel vett)

r_{2}

reciprokának összege.
Vágjuk el a felületet az

x

tengelyre merőlegesen két közeli síkkal (7. ábra). Az így adódó ,,abroncs'' felülete

2 π y_{0} r_{2} Δ φ,

ahol

Δ φ

a vezérgörbe kimetszett kicsiny

A B

szakaszának látószöge a simulókör

O

középpontjából nézve.
Gondoljuk meg, mi történik, ha a vezérgörbét a szóban forgó

A B

szakaszon egy kicsiny

ε

távolsággal közelebb hozzuk a vezérgörbe simulókörének

O

középpontjához (az

A' B'

pontokig), majd az így adódó (eldeformált) görbét forgatjuk meg az

x

tengely körül. Az abroncs felülete egy kicsit megváltozik, méghozzá két ok miatt: egyrészt az

A B = r_{2} Δ φ

távolság lecsökken

ε Δ φ

-vel, másrészt az abroncs ,,sugara''

y_{0}

-ról

y_{0} + ε cos φ

-re növekszik. Így a felület nagysága

\begin{matrix} (r_{2} - ε) Δ φ \cdot 2 π (y_{0} + ε cos φ) - r_{2} Δ φ \cdot 2 π y_{0} \approx \end{matrix}

\begin{matrix} \approx ε 2 π Δ φ (r_{2} cos φ - y_{0}), \end{matrix}

a felületi energia pedig

\begin{matrix} Δ E_{f} = α ε 2 π Δ φ (r_{2} cos φ - y_{0}) \end{matrix}

értékkel megváltozik. Másrészt a görbe eltorzítása miatt a vizsgált térrész térfogata is egy kicsit megváltozik. A térfogat növekedése közelítőleg a bevonalkázott terület és az abroncs kerületének szorzata, tehát

\begin{matrix} Δ V = ε \cdot r_{2} Δ φ \cdot 2 π y_{0} . \end{matrix}

Ha a felület két oldalán levő gázok nyomáskülönbsége

Δ p

, a tágulási munka

W = Δ p \cdot Δ V

. Az egyensúly feltétele most is

Δ E_{f} = W

, ahonnan

\begin{matrix} Δ p = α (\frac{cos φ}{y_{0}} - \frac{1}{r_{2}}) = α (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}) \end{matrix}

adódik. Összehasonlítva ezt az eredményt a Laplace-törvénnyel (és megfontolva a görbületek előjelét) láthatjuk, hogy a Minkowski-görbület valóban a megadott kifejezéssel egyenlő.
4. A főgörbületek (2) definíciója alapján is be lehet látni, hogy a forgásfelületek összeggörbülete valóban az (3) és (4) összefüggésekkel megadott sugarak reciprok-összege. Vegyük fel a forgásfelület normálvektorát a 6. ábrán látható

F_{1}

pontban, majd nézzük meg, hogyan változik a normálvektor, ha kicsit kimozdulunk az

F_{1}

pontból. A vezérgörbe mentén mozogva

\vec{Δ n}

nyilván arányos az elmozdulásvektorral és az arányossági tényező nagysága (a simulókör sugarának definíciója alapján)

1 / r_{2}

.
Ha viszont a normálvektor talppontját az

x

tengely körül (egy

y_{0}

sugarú kör mentén) mozgatjuk el egy kicsit, a normálvektor végpontja egy

cos φ

sugarú kör mentén mozdul el (hiszen ekkora a normálvektor

y

komponense). Az elmozdulások aránya (vagyis a görbület) a megfelelő körök sugarainak arányával egyezik meg:

\begin{matrix} κ_{1} = \frac{cos φ}{y_{0}} = \frac{1}{r_{1}} . \end{matrix}

A számolás

Gurítsuk tehát a

C

ellipszist az

e

egyenesen a 8. ábrán látható módon: Szokás szerint a féltengelyek hosszát

a

-val és

b

-vel jelöljük (

0 < b \leq a

c = \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}

a fókuszoknak az ellipszis középpontjától mért távolsága. Az

F_{1}

kiválasztott fókusz leírta

γ

görbét forgatjuk meg az

e

egyenes körül, és így kapjuk az

F

forgásfelületet. Legyen

Q

C

ellipszis és az

e

egyenes közös érintési pontja (ami az

e

egyenesen ,,jobbra'' mozog), valamint

x

a változó

| F_{1} Q |

távolság. Jelölje továbbá

s

a mozgó

Q

pontnak az

e

-n levő, rögzített

O

referencia ponttól mért távolságát, ami nem egyéb, mint a

C

ellipszisen mozgó

Q

pontnak az ellipszisen mért ívhossz paramétere. Végezetül legyen a

\vec{Q F_{1}}

vektor és az

e

egyenes

\vec{n}

(

C

felé mutató) normálisa által bezárt szög a változó

φ

1

. A

cos φ

kifejezése.

Q F_{1} F_{2}

háromszög

2 φ

szögére vonatkozó koszinusztétel szerint

\begin{matrix} 4 c^{2} = x^{2} + {(2 a - x)}^{2} - 2 x (2 a - x) cos 2 φ . \end{matrix}

Felhasználva a

cos 2 φ = 2 cos^{2} φ - 1

azonosságot, az egyenletet rendezve és a továbbiakban hasznos

\begin{matrix} u = \frac{1}{cos φ} \end{matrix}

(5)

mennyiség négyzetére megoldva

\begin{matrix} u^{2} = \frac{1}{a^{2} - c^{2}} (2 a x - x^{2}) \end{matrix}

(6)

adódik.

2

. Változási arányszámok kiszámítása.

Elemi geometriai észrevétel (9. ábra), hogy az

x = | Q F_{1} |

távolság

s

ívhossz szerinti megváltozási rátája éppen

sin φ

, azaz

\begin{matrix} \frac{Δ x}{Δ s} = sin φ, \end{matrix}

(7)

φ

szög alkalmas, előjeles értelmezése mellett.
Írjuk fel a (6) egyenletet egy kicsit megváltozott

u + Δ u

és

x + Δ x

értékekkel, majd vonjuk ki belőle az eredeti egyenletet. A kicsiny mennyiségek négyzetének elhanyagolásával

\begin{matrix} u Δ u = \frac{1}{a^{2} - c^{2}} (a - x) Δ x \end{matrix}

(8)

adódik.
Másrészt a 10. ábráról leolvashatjuk, hogy

Δ u = tg φ u Δ φ

, azaz

\begin{matrix} \frac{Δ u}{Δ φ} = u^{2} sin φ . \end{matrix}

(9)

Összevetve a (7), (8) és (9) egyenleteket, továbbá felhasználva (5)-öt és (6)-ot is végül azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{Δ s}{Δ φ} = \frac{Δ s}{Δ x} \cdot \frac{Δ x}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ φ} = \frac{2 a x - x^{2}}{(a - x) cos φ} . \end{matrix}

(10)

Megjegyzés. Ugyazezt az eredményt természetesen megkaphatjuk a differenciálszámítás összefüggéseinek alkalmazásával is. Ha deriváljuk (6)-ot az

s

változó szerint, felhasználjuk (5)-t és a ,,láncszabályt'', továbbá a (7)-nek megfelelő

x' (s) = sin φ

összefüggést, némi számolás után (10)-hez jutunk.

3

. A

κ_{2}

görbület kiszámítása.

A forgásfelületek főgörbületeiről korábban mondottak szerint

κ_{1} = \frac{1}{| F_{1} Q |} = \frac{1}{x}

. Számítsuk most ki a

γ

görbe

F_{1}

-beli simulókörének

r_{2} = \frac{1}{κ_{2}}

sugarát, hogy megkaphassuk a

κ_{2}

főgörbület értékét is!
Vegyük először is észre, hogy minden egyes pillanatban az

F_{1} Q

egyenes merőleges az

F_{1}

pont leírta

γ

görbére. Ez úgy látható be a legegyszerűbben, hogy az

F_{1}

és

Q

pontokat egy pillanatra úgy interpretáljuk, mintha azok az ellipszis alakú lemez peremére festett pettyek volnának, és e két felfestett pont mozgását, pontosabban a sebességeiket vizsgáljuk. Az ellipszis gördülése miatt a felfestett

Q

pont sebessége nulla, valamint az

F_{1} Q

szakasz hossza állandó. Ebből már következik, hogy az

F_{1}

pont sebessége merőleges az

F_{1} Q

egyenesre.
Teljen el egy kicsiny idő, miáltal a

Q

pont menjen át a

Q'

, az

F_{1}

pont pedig az

F_{1}'

pontba (11. ábra)! Az

r_{2}

görbületi sugár ‐ definíció szerint ‐ az

F_{1} Q

és

F_{1}' Q'

egyenesek (amik a

γ

görbe normálisai)

H

metszéspontjának és az

F_{1}

pontnak az előjeles távolsága. A

Q' Q H

kicsiny háromszögben a

H

-nál levő szög éppen

- Δ φ

, a vele szemben fekvő oldal

Δ s

, míg a

Q

csúcsnál levő szög

(π / 2) - φ

. Így tehát a szinusztétel értelmében és (10) szerint

\begin{matrix} | Q H | \approx Q' H = \frac{Δ s \cdot cos φ}{sin (- Δ φ)} \approx - \frac{Δ s}{Δ φ} cos φ = \frac{2 a x - x^{2}}{x - a}, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} \frac{1}{κ_{2}} = r_{2} = x + | Q H | = x + \frac{2 a x - x^{2}}{x - a} = \frac{a x}{x - a} . \end{matrix}

Innen és a

κ_{1} = 1 / x

azonosságból azonnal látszik, hogy

\begin{matrix} κ_{1} + κ_{2} \equiv \frac{1}{a} = állandó, \end{matrix}

s éppen ezt akartuk bizonyítani.
A 12. ábra kvalitatív képet ad a

γ

görbe alakjáról. Látszik, hogy

γ

fel-alá ,,hullámozva'', periodikusan halad az

e

egyenes irányában; a periódus hossza éppen a

C

ellipszis kerülete.

Záró megjegyzések (bizonyítások nélkül)

1. A hiperbola esete. Az

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

hiperbolának az

e

egyenesen való gördítése során az

F_{1} (\sqrt[]{a^{2} + b^{2}},0)

fókusz leírta

γ

görbét az

e

egyenes körül megforgatva a konstans

- 1 / a

Minkowski-görbületű

F

forgásfelületet kapjuk. Ennek az igazolása az ellipszis esetéhez teljesen hasonló módon történhet, mindössze a szükséges előjelcseréket kell végrehajtani a megfelelő képletekben. Két dologra azonban különös figyelmet kell fordítani a hiperbola esetében:
a) Amikor a gördülő hiperbolának az

e

egyenessel való

Q

érintkezési pontja határátmenetben kimegy az egyik hiperbola-ág ,,végére'', akkor a hiperbola az egyik ideális pontjában érinti az

e

egyenest, azaz az

e

egyenes lesz az egyik aszimptota. Ilyenkor a gördítést logikusan úgy kell folytatni, hogy áttérünk a hiperbola másik ágára, miközben a kiválasztott fókuszt ‐ természetesen ‐ változatlanul hagyjuk.
b) A

γ

görbe hurkolt lesz ugyan, de továbbra is periodikusan az

e

egyenes irányában halad, amint azt a 13. ábra kvalitatívan mutatja. Vigyáznunk kell azonban a Minkowski-görbület előjelezésével! A

γ

görbének továbbra is az

e

egyenes felőli oldalát (azaz az

F

belsejének megfelelő oldalt) deklarálva pozitív oldalnak, a Minkowski-görbület negatív:

κ_{1} + κ_{2} = - 1 / a < 0

. Ez azt jelenti, hogy (az egyszerűség kedvéért) az

e

egyenes körül nulla gáznyomást véve, a szappanhártya egyensúlyban tartásához

p > 0

külső nyomás, a hurkok által bezárt térrészekben pedig

2 p

nyomás szükséges, alkalmas

p

értékkel.
2. A parabola. Ez az egy ideális ponttal rendelkező kúpszelet, ami úgy is felfogható, mint egy

a = \infty

fél nagytengely hosszú ellipszis, azaz

1 / a = 0

lesz. Ennek megfelelően, a parabolák gördítésekor kapható

F

felületek lesznek a nulla Minkowski-görbületű (az ún. minimál- ) forgásfelületek. Az ilyen felületek egy hasonlóság erejéig egyértelműen meghatározottak és a nevük: katenoidok. A név eredete a latin catena (jelentése: lánc), mivel a megfelelő

γ

görbék az

y = \frac{p}{2} ch \frac{2 x}{p}

egyenletű úgynevezett láncgörbék, ahol

p

a parabolánk paramétere,

ch x = (e^{x} + e^{- x}) / 2

pedig a hiperbolikus koszinusz függvény. A láncgörbe elnevezés onnan származik, hogy a két pont között függő, homogén tömegeloszlású lánc ilyen alakot vesz fel.
3. A kör. Ekkor kapjuk a hengerfelületet.
4. Az egyenes szakasz, mint elfajult ellipszis. A