Cím: A matematikai és fizikai TOTÓ eredménye
Füzet: 1998/március, 172. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A múlt havi számunkban közreadtuk az 1997. évi Téli Ankéton meghirdetett Totó kérdéseit. A telitalálatos szelvény:

1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, X, X, 1, X, X, X, 2.  
A legtöbb találatot, nevezetesen 10-et ketten érték el: Terpai Tamás, a Fővárosi Fazekas M. Gyak. Gimn. 11. évfolyamos tanulója és Rudolf Gábor, az ELTE TTK I. éves matematikus hallgatója. A 9, 8 ..., 2 találatos szelvények száma rendre 8, 17, 11, 8, 3, 4, 2 és 1. (Érdemes felrajzolni az ,,eloszlás-diagramot, és leolvasni belőle a ,,ráérzőképesség'' várható értékét és szórását.)

Az alábbiakban néhány ‐ a szokásosnál kicsit fogósabb ‐ kérdés megoldásához adunk útmutatót. (A feladatok szövegét ld. a múlt havi számunkban.)
 

3. Ha egy szalagnak csak egy határa van, akkor a kettévágás után is csak 1 szalag marad belőle, aminek az egyik határa az eredeti határ lesz, a másik határ pedig a kettévágásnál keletkezik. A Möbius-szalagnak, ami csak félszer van megcsavarva, csak 1 határa van. Ha hosszában elfelezzük, egyetlen szalag marad belőle, ami 1-szer van megcsavarva és két határa van. Ebből a második kettévágásnál két ugyanilyen (de egymáson átfűzött) szalag jön létre, a harmadik kettévágásnál pedig ezekből keletkezik 2-2 újabb. A végén tehát összesen 4 szalagunk lesz, ezek közül bármely kettő át van fűzve egymáson, úgyhogy kissé össze lesznek gubancolódva.
7. Legyen N=19971998. Az adott számok között a prímek száma az ún. prímszámtétel szerint ,,körülbelül'' N/logN. Ezzel szemben a négyzetszámok száma N-ig legfeljebb N, a köbszámoké N köbgyöke stb. Általában addig számíthatunk (legalább egy) k-adik hatványra N-ig, ameddig 2k≤N, azaz k≤log2N. Így a teljes hatványok száma legfeljebb N⋅log2N≪N/logN, ha N, mint esetünkben is, ,,elég nagy''.
8. A magából anyagot kidobó rakéta közismert példája mutatja, hogy egy (változó tömegű) rendszer akkor is gyorsulhat, ha nem hat rá külső erő. Eszerint az F=ma egyenlet nem általános érvényű. Kevésbé ismert, hogy az impulzus sem számolható mindig az I=mv egyenletből. Ha például egymás után óvatosan, függőlegesen mozgatva ráhelyezzük az ujjainkat a zongora billentyűire, akkor a zongorához érő ujjakból álló rendszer tömegközéppontja vízszintesen mozog, de ehhez a mozgáshoz nem társul vízszintes impulzus.
9. Az Euler-tételből könnyű levezetni, hogy egy n csúcsú konvex poliédernek legfeljebb 2n-4 lapja és 3n-6 éle lehet. Ez az eset akkor áll elő, ha csupa háromszög határolja. Ha viszont a poliéder lyukakat is tartalmaz, akkor minden lyuk 4-gyel növeli a lapok és 6-tal az élek maximális számát, úgyhogy a poliédernek nagyon sok lapja és éle is lehet.
12. Gauss egy nevezetes tétele szerint pontosan azok a számok írhatók fel legfeljebb 3 négyzetszám összegeként, amelyek nem 4k(8n+7) alakúak. Adott korlátig (ami esetünkben 102000) a tiltott alakú számok előfordulási aránya kisebb, mint az 1/8+1/32+1/128+... végtelen mértani sor összege, amely 1/6. Tehát a legfeljebb 3 négyzetszám összegeként felírható (legfeljebb) 2000 jegyű számok gyakorisága (nagyon kevéssel) több, mint 1-(1/6)=5/6.
13. A mikrohullámú sütőben az időegységenként elnyelt energia kicsiny testeknél (melyekbe könnyen behatol az elektromágneses mező) a test térfogatával arányos. Kevés víz melegítésekor tehát a felforraláshoz szükséges idő független a víz mennyiségétől. Nagyobb vízmennyiség esetén azonban a behatoló energia nem a térfogattal, hanem közelítőleg a felülettel arányos. Egy kétszer nagyobb oldalélű ,,vízkocka'' például négyszer nagyobb teljesítménnyel melegíthető, a hőkapacitása viszont nyolcszor nagyobb, tehát kb. kétszer annyi idő alatt forralható fel, mint a kisebb.
13 + 1. Aki nem tud angolul, az is meg tudja számolni az egyes szavak betűinek számát...