Cím:	Az 1997. évi (28.) Nemzetközi Fizikai Diákolimpia feladatainak megoldása
Szerző(k):	Gnädig Péter ,  Vankó Péter
Füzet:	1997/október, 429 - 439. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Elméleti verseny         1. feladat. Arányosság (egymástól független, rövid feladatok) (a) Egy ideális, súlytalan rugó végére függesztett pontszerű test $f$ frekvenciával fel-le rezeg. Mekkora lesz az új $f\text{'}$ frekvencia, ha a rugót félbevágjuk, és a végére visszaakasztjuk a testet? (b) A hidrogénatom sugara alapállapotban $a_0=\mathrm{0,0529}$ nm (a ,,Bohr-sugár"). A ,,müonhidrogén" egy olyan hidrogénatom, melyben az elektront egy vele azonos töltésű, de 207-szer nagyobb tömegű részecskével, a müonnal helyettesítjük. Mekkora a müonhidrogén $a\text{'}$ sugara? Felhasználhatjuk, hogy a proton tömege mind az elektron, mind a müon tömegénél sokkal nagyobb. (c) A Föld átlaghőmérséklete $T=287$ K. Mekkora lenne az új $T\text{'}$ átlaghőmérséklet, ha a Nap és a Föld átlagos távolsága $1\%$-kal lecsökkenne? (d) Egy napon a levegő száraz, és a sűrűsége $\varrho =\mathrm{1,2500}$ kg/m${}^3$. Másnapra megnő a levegő páratartalma, 2 tömegszázalék vízgőzt tartalmaz. A hőmérséklet és a nyomás nem változott. Mekkora lett a levegő $\varrho \text{'}$ sűrűsége? (A száraz levegő átlagos moláris tömege 28,8 g/mol, a víz moláris tömege 18 g/mol. Feltételezhetjük, hogy ideális gázokról van szó.) (e) Egy bizonyos helikopter akkor tud lebegni, ha a motorja $P$ mechanikai teljesítményt ad le. Egy másik helikopter ennek pontosan $\frac{1}{2}$-ére kicsinyített mása (minden lineáris mérete fele akkora). Mekkora $P\text{'}$ mechanikai teljesítmény szükséges ahhoz, hogy ez a helikopter lebegjen? Versenyen kívüli pótfeladat: Egy űrhajós űrruhába öltözve a Földön $v_0=1$ m/s sebességgel tud a ,,legkényelmesebben'' sétálni. Mekkora lesz a legkényelmesebb sétálás sebessége a Holdon, ahol a nehézségi gyorsulás a földi érték $\frac{1}{6}$-a?   Megoldás. (a) Legyen az eredeti rugó hossza $l$, rugóállandója pedig $D$. A rugó végére helyezett $m$ tömegű test rezgési frekvenciája $\begin{array}{c}{\displaystyle f=\frac{1}{2\pi }\sqrt[]{\frac{D}{m}}\mathrm{.}}\end{array}$ A rugóállandó a rugóban ébredő $F$ erő és a $\Delta x$ megnyúlás hányadosa: $D=F/\Delta x$. A rugó középpontja ugyanekkora $F$ erő hatására csak $\Delta x/2$ távolsággal mozdul el, a fele hosszúságú rugóra tehát $D\text{'}=F/\left(\Delta x/2\right)=2D$. Eszerint a megrövidített rugó végén rezgő test frekvenciája: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\text{'}=\frac{1}{2\pi }\sqrt[]{\frac{2D}{m}}=\sqrt[]{2}f\mathrm{.}}\end{array}$ (b) A Bohr-modell szerint az $mvr=\hslash$ kvantumfeltétel és az $m{v}^2/r=k{e}^2/r^2$ mozgásegyenlet együtt meghatározza az atommag körül keringő $m$ tömegű részecske és az alapállapoti $r$ pályasugár közötti kapcsolatot: $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{{\hslash }^2}{k{e}^{2}m}\propto \frac{1}{m}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés: Ugyanehhez az eredményhez a de Broglie-féle anyaghullámokra és a Heisenberg-féle határozatlansági relációra hivatkozva is eljuthatunk. Egy $r$ sugarú atomban az $m$ tömegű (könnyű) részecske nagyságrendileg $v=\hslash /\left(mr\right)$ sebességgel, tehát ${\hslash }^2/\left(2m{r}^2\right)$ mozgási energiával, továbbá $-k{e}^2/r$ helyzeti energiával rendelkezik. A helyzeti és a mozgási energia összege $1/r$ kvadratikus függvénye, melynek minimuma: $1/r_{\text{min}}\propto m$. Eszerint a müonhidrogén sugara: $a_{\text{müon}}=a_0/207=\mathrm{0,256}$ pm. (c) Ha a Nap teljesítményét $P$-vel, a Föld pályasugarát $R$-rel jelöljük, akkor a $T$ átlaghőmérsékletet megadó (a beérkező és a kimenő sugárzási teljesítmények egyensúlyát kifejező) egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1-r\right)\frac{P}{4\pi R^2}\cdot R_F^2\pi =4\pi R_F^2\epsilon \sigma T^4\mathrm{.}}\end{array}$ A képletben $r$ a Föld fényvisszaverő képessége (ún. albedója), $R_F$ a Föld sugara, $\epsilon$ az emissziós együttható, $\sigma$ pedig a Stefan‐Boltzmann-állandó. (Az emisszióképesség a hőmérséklettől is függ, de kis változásoknál ezt elhanyagolhatjuk.) A fenti összefüggés szerint $T\propto \sqrt[]{1/R}$, az $R$ pályasugár $1\%$-os csökkenése tehát a $T$ hőmérséklet $\mathrm{0,5}\%$-os emelkedéséhez vezet: $T\text{'}=\mathrm{288,4}$ K. (d) $N$ molekulát tartalmazó ideális gáz állapotegyenlete: $pV=NkT$. Ha két gázmennyiség térfogata, nyomása és hőmérséklete rendre megegyezik, akkor azonos számú molekulát tartalmaznak, sűrűségük tehát arányos kell legyen az átlagos móltömeggel. Bizonyos térfogatú, $M$ tömegű száraz levegőben $\begin{array}{c}{\displaystyle N_{\text{száraz}}\propto \frac{M}{\mathrm{28,8}}}\end{array}$ darab molekula, ugyanekkora térfogatú, $M\text{'}$ tömegű nedves levegőben pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle N_{\text{nedves}}\propto \mathrm{0,02}\frac{M\text{'}}{\mathrm{18,0}}+\mathrm{0,98}\frac{M\text{'}}{\mathrm{28,8}}}\end{array}$ molekula található. Mivel $N_{\text{száraz}}=N_{\text{nedves}}$, a sűrűségek aránya $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\varrho }_{\text{nedves}}}{{\varrho }_{\text{száraz}}}=\frac{M\text{'}}{M}=\frac{1}{\mathrm{28,8}\left(\frac{\mathrm{0,02}}{18}+\frac{\mathrm{0,98}}{\mathrm{28,8}}\right)}=\mathrm{0,9881,}}\end{array}$ a nedves levegő sűrűsége pedig $\varrho \text{'}={\varrho }_{\text{nedves}}=\mathrm{0,9925}{\varrho }_{\text{száraz}}=\mathrm{1,2352}$ kg/m${}^3$. (e) Ezt a feladatot múlt havi számunkban (FF. 3088. számmal) a pontversenyben is kitűztük, megoldását később közöljük. Versenyen kívüli pótfeladat: A feladat lényege a ,,legkényelmesebb sétálás'' kifejezés értelmezése. Feltételezzük, hogy a legkényelmesebb (leginkább energia-takarékos) sétálásnál a lábainkat éppen csak megemeljük, de nem fejtünk ki rájuk forgatónyomatékot. Ilyenkor a lábak fizikai ingaként lengenek, periódusidejük $T\propto \sqrt[]{l/g}$, a lépések frekvenciája és ezzel együtt a sétálás sebessége tehát $\sqrt[]{g}$-vel arányos. (A lépések hossza a láb méretétől függ, emiatt természetes az a feltevés, hogy a Holdon is ugyanakkorákat lépünk, mint a Földön.) A kérdéses sebesség: $v\text{'}=v/\sqrt[]{6}\approx \mathrm{0,4}$ m/s.   2. feladat. Atommagtömegek és stabilitás. Valamennyi energiát MeV-ben, millió elektronvoltban fejeztük ki. $1\text{MeV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-13}$ J, de ezt nem kell tudni a feladat megoldásához.   1. ábra. Egy nukleonra jutó kötési energia   Egy $Z$ rendszámú (protonszámú) és $N$ neutronszámú ($A=N+Z$) atommag $M$ tömegét úgy kapjuk meg, hogy a magot alkotó szabad összetevők (protonok és neutronok) tömegének összegéből kivonjuk a $c^2$-tel osztott $B$ kötési energiát ($B/c^2$-et): $M{c}^2=Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2-B$. Az alábbi grafikon $B/A$ egy adott $A$ értékhez tartozó maximális értékét adja meg $A$ függvényében. Minél nagyobb $B/A$ értéke, általában annál stabilabb a mag. (a) Egy bizonyos $A_{\alpha }$ tömegszám felett a nukleonok kötési energiája elég kicsi ahhoz, hogy a mag kibocsáthasson egy $\alpha$-részecskét ($A=4$). Lineáris közelítést alkalmazva az $A=100$-nál nagyobb tömegszámú atomokra, becsüld meg az 1. ábra alapján $A_{\alpha }$ értékét! Ebben a közelítésben tételezd fel a következőket: * $•$Az $\alpha$-bomlás kiinduló és keletkező magja is rajta van a megadott görbén. * $•$Az $\alpha$-részecske teljes kötési energiája: $B_4=\mathrm{25,0}$ MeV. (Ezt nem tudod a grafikonból kiolvasni!) (b) Egy $Z$ protont és $N$ neutront ($A=N+Z$) tartalmazó atommag kötési energiáját a következő félempirikus képlet adja meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle B=a_{v}A-a_s{A}^{2/3}-a_c{Z}^2{A}^{-1/3}-a_a\frac{{\left(N-Z\right)}^2}{A}-\delta \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\delta$ értéke: * $+a_p{A}^{-3/4}$ páratlan $N$ ‐ páratlan $Z$ magokra, * 0 páratlan $N$ ‐ páros $Z$ és páros $N$ ‐ páratlan $Z$ magokra, * $-a_p{A}^{-3/4}$ páros $N$ ‐ páros $Z$ magokra. Az együtthatók értéke: $a_v=\mathrm{15,8}$ MeV; $a_s=\mathrm{16,8}$ MeV; $a_c=\mathrm{0,72}$ MeV; $a_a=\mathrm{23,5}$ MeV; $a_p=\mathrm{33,5}$ MeV. (i) Vezesd le azt az összefüggést, amely adott $A$ tömegszám esetében megadja a legnagyobb kötési energiához tartozó $Z_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$ protonszámot (rendszámot)! Csak ebben az alkérdésben a $\delta$-tagot figyelmen kívül hagyhatod. (ii) Az $A=200$ tömegszámú magok közül melyik $Z$-hez tartozik a legnagyobb $B/A$? Ebben az esetben vedd figyelembe a $\delta$-tagot is! (iii) Tekintsük az alábbi táblázatban szereplő három, $A=128$ tömegszámú atommagot. Határozd meg, hogy közülük melyek az energetikailag stabilak, és melyek rendelkeznek elegendő energiával ahhoz, hogy az alább felsorolt bomlások valamelyikével elbomolhatnak! Határozd meg az (i) pontban definiált $Z_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$-ot, és töltsd ki a válaszlapon található táblázatot!     Jelölés: ${}_Z^{A}X$ X = kémiai vegyjel A táblázat kitöltésekor kérjük: * $•$az energetikailag megengedett folyamatokat jelöld így: V, * $•$az energetikailag tiltott folyamatokat jelöld így: 0, * $•$csak a táblázatban szereplő három mag közötti átmenetekkel foglalkozz! Bomlási folyamatok: (1) ${\beta }^{-}$-bomlás: a mag egy elektront bocsát ki, (2) ${\beta }^{+}$-bomlás: a mag egy pozitront bocsát ki, (3) ${\beta }^{-}{\beta }^{-}$-bomlás: a mag egyidejűleg két elektront bocsát ki, (4) elektronbefogás: a mag az elektronhéjból fog be egy elektront. Az elektron (és a pozitron) nyugalmi energiája $m_e{c}^2=\mathrm{0,51}$ MeV, a protoné $m_p{c}^2=\mathrm{938,27}$ MeV, a neutroné pedig $m_n{c}^2=\mathrm{939,57}$ MeV.   Megoldás. (a) Az alfa-bomlás során $A\to \left(A-4\right)+\alpha \left(A=4\right)$. Ebből adódóan a bomlás energetikai feltétele: $m_A-m_{A-4}-m_4>0$. A nukleonok száma és fajtája bomlás közben állandó marad, ezért csak a kötési energiát kell vizsgálnunk: $-B_A+B_{A-4}+B_4>0$. Ha $B/A$-t a lineáris közelítésnek megfelelően $B/A=a+bA$ alakban írjuk, akkor a következő egyenletet kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle -A\left(a+bA\right)+\left(A-4\right)\left(a+b\left(A-4\right)\right)+B_4>\mathrm{0,}}\\ \hfill {\displaystyle -8bA-4a+16b+B_4>0.}\end{array}}}\end{array}$ Az 1. ábra alapján $A=100$-nál nagyobb tömegszámú atomokra jó a lineáris közelítés: $\begin{array}{c}{\displaystyle B/A=\left(\mathrm{9,6}-\mathrm{0,0080}A\right)\text{MeV}\mathrm{,}\text{azaz}a=\mathrm{9,6}\text{MeV}\text{és}b=-\mathrm{0,0080}\text{MeV}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből a bomlás feltétele: $\mathrm{0,064}A-\mathrm{38,4}-\mathrm{0,1}+\mathrm{25,0}>0$, azaz $A>211$. (b) (i) Mivel $A$ értéke rögzített, csak a $Z$-től függő utolsó előtti két tagot kell figyelembe vennünk. $Z_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$ kifejezését deriválással kaphatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{dB}{dZ}=-2Z{a}_c{A}^{-1/3}-\frac{a_a}{A}\left(-4A+8Z\right)\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle Z_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\frac{4a_a}{2a_c{A}^{-1/3}+\frac{8a_a}{A}}=\frac{A}{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{a_c{A}^{2/3}}{4a_a}}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ (ii) $a=200$ esetében az (i) pontban levezetett képletből $Z_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\mathrm{79,25}$. De most figyelembe kell vennünk az utolsó tagot is. Így a derivált kifejezése: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{dB}{dZ}=-2Z{a}_c{A}^{-1/3}-\frac{a_a}{A}\left(-4A+8Z\right)\pm 2a_p{A}^{-3/4}\mathrm{.}}\end{array}$ Az utolsó tag akkor pozitív, ha $Z$ értékének $+1$-gyel való megváltoztatása a magot páratlan‐páratlan magból páros‐páros maggá alakítja, ellenkező esetben negatív. Hogyan kezelhetjük ezt a tagot? $Z_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$ értéke egész szám kell legyen, és mivel a páros számok előnyösebbek, $Z_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=80$-at tippelhetünk. Ellenőrzésképp kiszámíthatjuk az utolsó három tag nagyságát néhány közeli $Z$ értékre:   $\begin{array}{ccccccc}\text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>9</mn></mphantom></math>77<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,</mn><mn>241</mn></mphantom></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>9</mn></mphantom></math>78<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,</mn><mn>915</mn></mphantom></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>9</mn></mphantom></math>79<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,</mn><mn>295</mn></mphantom></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>9</mn></mphantom></math>80<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,</mn><mn>342</mn></mphantom></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>9</mn></mphantom></math>81<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,</mn><mn>093</mn></mphantom></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>9</mn></mphantom></math>82<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,</mn><mn>512</mn></mphantom></math> }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>9</mn></mphantom></math>83<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>,</mn><mn>637</mn></mphantom></math> }\hfill \\ \text{ 979,241 }\hfill & \text{ 975,915 }\hfill & \text{ 976,295 }\hfill & \text{ 975,342 }\hfill & \text{ 978,093 }\hfill & \text{ 979,512 }\hfill & \text{ 984,637 }\hfill \end{array}$   Ez megerősíti, hogy $Z_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=80$. (Ez egy páros‐páros mag.) (iii) Tekintsük a kötési energiát megadó képletben csak az utolsó három tagot! A többi állandó, ha $A$ értéke állandó. Nevezzük ezek összegét $X$-nek. Ahhoz, hogy eldöntsük egy magról, hogy stabil-e, meg kell határoznunk a szomszédos magok $X$ értékeinek különbségét, és ezt össze kell hasonlítanunk az egyes lehetséges bomlások energiaigényével. (1) ${\beta }^{-}$-bomlás: $n\to p+e^{-}$, $\Delta X>-\mathrm{1,30}+\mathrm{0,51}=-\mathrm{0,79}$ MeV szükséges, (2) ${\beta }^{+}$-bomlás: $p\to n+e^{+}$, $\Delta X>\mathrm{1,30}+\mathrm{0,51}=\mathrm{1,81}$ MeV szükséges, (3) ${\beta }^{-}{\beta }^{-}$-bomlás: $2n\to 2p+2e^{-}$, $\Delta X>2\left(-\mathrm{1,30}+\mathrm{0,51}\right)=-\mathrm{1,58}$ MeV szükséges, (4) elektronbefogás: $e^{-}+p\to n$, $\Delta X>\mathrm{1,30}-\mathrm{0,51}=\mathrm{0,79}$ MeV szükséges.