Kezdőlap


Cím:	Megjegyzés a 3003. fizika feladat megoldásához
Szerző(k):	Holics László
Füzet:	1997/május, 302 - 304. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A KöMal 1997/3. száma FGy. 3003. gyakorlatának harmadik kérdésére adott válaszba elvi hiba csúszott. A feladat egyik célja éppen az volt, hogy tisztázzon bizonyos összefüggéseket, amely összefüggéek a megoldásban elsikkadtak. (A dolgozatok pontozását az alábbiak nem módosítják. ‐ A szerk.) A feladat így hangzott:
Utasaival együtt $1500$ kg tömegű autó kapaszkodik fel a $180$ méter hosszú, $10$ méter magas emelkedőn, egyenletes $54$ km/h sebességgel. Motorjának teljesítménye $25$ kW. Mekkora erő tolja fel a kocsit az emelkedőn? Mi fejti ki ezt az erőt? Mekkora a munkavégzés hatásfoka?
A megoldás első része meghatározza a motor által végzett összes munkát: $W_{ö} = P \cdot t = 300 kJ$ , majd ezt összehasonlítja a helyzeti energia $W_{h} = m g h = 150 kJ$ növekedésével, és megkapja az $h = W_{h} / W_{ö} = 0,5 = 50 %$ hatásfokot.
Az elvi hiba a következő mondat vastagon szedett részében rejlik: ,,A gépkocsit felfelé toló erő $s=180 m$ hosszú úton $W_{ö}=300 kJ$ munkát végez, az erő nagysága tehát $F = W_{0} / s \approx 1670$ N. Ezt az erőt a talaj és a kerekek közötti tapadási súrlódás fejti ki.''
Az idézett második mondat helyesen állapítja meg, hogy a gépkocsit a tapadási súrlódási erő viszi fel az emelkedőn, azonban az az állítás hamis, hogy ez az erő végezne munkát 180 m hosszú úton. A talajhoz tapadó kerék talajjal érintkező pontja ui. pillanatnyi nyugalomban van a talajhoz képest, tehát a munka kifejezésében az elmozdulás, és így a munka is 0.
Az ellentmondás azonnal kitűnik a munkatétel alkalmazása során is. ,,A testre ható összes (külső és belső) erők munkájának összege egyenlő a test kinetikus energiájának megváltozásával.'' Márpedig ha a gépkocsi motorja elvégzi a 300 kJ munkát, akkor a talaj által a megoldásban feltételezett 300 kJ munkával együtt már 600 kJ lenne a munkavégzés, ami ellentmond minden korábbi számításnak.
Hogy tisztábban lássunk, tekintsünk egy álló helyzetből induló gépkocsit, amely v sebességre gyorsul fel. A gépkocsit valóban a tapadási súrlódási erő gyorsítja, a kinetikus energia nyerését pedig kizárólag a motor munkája fedezi. Tömören: az $m \vec{v}$ lendületet a tapadási erő adja (hiszen belső erő ‐ motor ‐ nem változtathatja meg a test lendületét), az $\frac{1}{2} m v^{2}$ mozgási energiát a motor munkája adja (hiszen a tapadási erő a talaj rendszerében nem végezhet munkát).
Így tehát a megoldásban nem használhatjuk ki a talaj által nem végzett munka nagyságát.
A megoldás helyes menete a következő lehet:

A kocsi egyenletesen mozog, tehát az összes munkák összege 0. Jelöljük a hatásfokot rontó összes ellenállást

F_{ell}

-lel. A munkatétel:

\begin{matrix} - F_{ell} \cdot s - m \cdot g \cdot h + P \cdot t = 0, \end{matrix}

ahol az első tag a közegellenállás negatív munkája, a második a nehézségi erő negatív munkája, a harmadik tag a motor pozitív munkája. Innen az összes eredő ellenállási erő nagysága:

\begin{matrix} \begin{matrix} F_{ell} & = \frac{P \cdot t - m \cdot g \cdot h}{s} = \\ = \frac{300 kJ - 150 kJ}{180 m} = 833,33 N, \end{matrix} \end{matrix}

amit a kényszererő és nehézségi erő eredőjéhez adva megkapjuk a keresett, talaj által kifejtett erő nagyságát is:

\begin{matrix} F_{tap} = m g \frac{h}{s} + F_{ell} = 1500 kg \cdot 10 \frac{m}{s^{2}} \cdot \frac{10 m}{180 m} + 833,33 N \approx 1670 N . \end{matrix}

A megoldás után közölt ,,1. Megjegyzés'' értelmetlen: ,,A munkavégzés elsődlegesen a motornál, a dugattyúk elmozdulásánál történik, s csak áttételeken keresztül adódik át a kocsi kerekeinek.'' A mondat első részének állítása helyes, a többi nem: munkavégzés nem ,,adódik át'' a kerekeknek, csak energia.
Megoldásukban hallgatólagosan talajhoz rögzített vonatkoztatási rendszert használtunk. Oldjuk meg a feladatot az autóhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben! (A feladat szerint ez is inerciarendszer.) Alkalmazzuk a munkatételt!

Mivel a kocsi nyugalomban van, sem a közegellenállás, sem a nehézségi erő nem végez munkát a kocsin, viszont ekkor a tapadási súrlódási erő végez munkát, mégpedig negatív munkát, hiszen a keréknek a talajjal érintkező pontja koordinátarendszerünkben most ,,hátrafelé'' mozog, míg a kocsira ható tapadási erő ,,előre'' mutató vektor, vagyis

180^{\circ}

-os szöget zárnak be egymással. A munkatétel szerint

\begin{matrix} W_{motor} + W_{tap} = 0, \end{matrix}

mert a kinetikus energia nem változik meg. Részletezve:

\begin{matrix} P \cdot t - F_{tap} \cdot s = 0. \end{matrix}

Innen a keresett tapadási súrlódási erő:

\begin{matrix} F_{tap} = \frac{P \cdot t}{s} = \frac{2500 W \cdot 12 s}{180 m} \approx 1670 N . \end{matrix}

Tanulságos energetikailag is követni a folyamatot a kocsihoz rögzített koordináta-rendszerből leírva. Koordinátarendszerünkben a kocsi kinetikus energiája nem változik annak ellenére, hogy a motor pozitív munkát végez (

P \cdot t = M \cdot φ

) a kocsin, azaz ennyivel növeli a kocsi energiáját. Ez a ,,rendezett úton átadott energia'' (belülről) az autóba ,,áramlik'', majd (a kardántengely közvetítésével) a kerekeknél kiáramlik az autóból, annak a talajon végzett

W_{tap} = F_{tap} \cdot s

munkavégzés útján, hiszen koordinátarendszerünkben a meghajtott kerekek a talajon pozitív munkát végeznek (

F_{tap} \cdot s

).
Ez a munka kétféle energia közvetítését valósítja meg: 1. növeli az autó‐Föld rendszerének gravitációs helyzeti energiáját

Δ E_{grav} = m g \frac{h}{s} \cdot s = m g h

értékkel (súlypontjaik távolodnak egymástól), és 2. sok szabadsági fokra szóródik szét

Δ E_{közeg} = F_{ell} \cdot s

értékkel (az autóhoz rögzített koordinátarendszerben ,,fúj a szél''). Az erőegyensúly miatt ui.

\begin{matrix} \begin{matrix} F_{tap} = F_{ell} + m g \frac{h}{s}, \\ azaz F_{tap} \cdot s = F_{közeg} \cdot s + m g \frac{h}{s} \cdot s = F_{közeg} \cdot s + m g h = P \cdot t = W_{motor}, \\ vagyis valóban W_{motor} = Δ E_{közeg} + Δ E_{grav} . \end{matrix} \end{matrix}

A hatásfok innen könnyen számítható. A ,,hasznos munka'' a Földnek a kocsi alatt minél mélyebbre távolítása, az összes munka a motor mechanikai munkája, tehát a hatásfok:

\begin{matrix} η = \frac{m g h}{P \cdot t} = \frac{1500 kg \cdot 10 m/s^{2} \cdot 10 m}{25 000 W \cdot 12 s} = 0,5. \end{matrix}

Holics László