A múlt havi számunkban közreadtuk az 1996. évi Téli Ankéton meghirdetett TOTÓ kérdéseit. A telitalálatos szelvény: $\mathrm{1,}-\mathrm{,}x\mathrm{,}\mathrm{2,}x\mathrm{,}\mathrm{1,}x\mathrm{,}\mathrm{2,}x\mathrm{,}x\mathrm{,}x\mathrm{,}x\mathrm{,}\mathrm{2,}2$.
Az egyik feladatot (a másodikat!) sajnos hibás számadatokkal tettük közzé, s így a helyes megoldás nem szerepelt a felkínált lehetőségek között. A szabályos 12-szög belsejében ténylegesen 301 olyan pont van, amelyen legalább két átló átmegy. (Szerencsére ezen feladat értékelése nélkül is ugyanaz marad a nyertesek sorrendje, mint amilyen sorrendet az Ankéton és a múlt havi számunkban közzétettünk!)
Néhány megjegyzés a totószelvényen szereplő ,,trükkösebb feladatok'' megoldásáról.
3. Egy gömb felületén $n$ (konkrétan $n=8$) azonos elektromos töltésű kicsiny golyócska szabadon mozoghat. Hogy helyezkednek el a golyócskák stabil egyensúlyi helyzetükben? ‐ ez volt a kérdés. Szimmetria-érzékünk azt súgja, hogy a lehető legszabályosabb alakzat, tehát egy kocka csúcspontjai jelölik ki a stabil egyensúlyi helyzetet. Érdekes módon ez nem igaz! A rendszer energiáját csökkenthetjük, ha a kocka egyik lapját a középpontja körül ${45}^{\circ }$-kal elforgatjuk, s a szemközti laptól mért távolságát is megváltoztatjuk egy kicsit. Ez a helyzet lesz a legkisebb energiájú, tehát biztosan stabil állapot, a kockáról pedig be lehet látni, hogy instabil egyensúlynak felel meg.
4. Könnyen látható, hogy az (1) és az (x) válasz nem helyes. Ha $n=k^2$, akkor egy tetszőleges háromszög minden oldalát $k$ egyenlő részre osztva megfelelő felbontást kapunk. Ha $n=k^2+m^2$ (ahol $k$, $m>0$), akkor vegyünk egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek a befogói $k$ és $m$, és húzzuk meg az átfogóhoz tartozó magasságot. A kapott két háromszög oldalait $k$, illetve $m$ egyenlő részre osztva előállítható a kívánt felbontás. Ha $n=3k^2$, induljunk ki egy $S$ szabályos háromszögből: ennek súlyvonalai 6 egybevágó derékszögű háromszögre bontják $S$-et, így $S$ fele 3 egybevágó és vele hasonló háromszögre osztható, azok pedig az előbbiek szerint tovább bonthatók.
5. Közismert, hogy az északi féltekén december 22-én a legrövidebb a nappal. Meglepő, hogy Budapesten a Nap nem ekkor kel fel legkésőbb, hanem január elején! Ennek az az oka, hogy a Föld ellipszispályán, kicsit változó szögsebességgel kering a Nap körül, tehát a delelések időpontja nem eshet minden nap ugyanakkorra. (A nap hosszát, a ,,24 órát'' nem lenne célszerű hónapról hónapra változtatgatni, ehelyett ,,átlag-napot'' vezettek be.) A delelési időpontoknak az órák által mutatott időhöz viszonyított eltolódása okozza azt, hogy a legrövidebb nap nem esik egybe sem a legkésőbbi napfelkeltével, sem a legkorábbi napnyugtával.
7. Ha $a$ pozitív egész, akkor nincs pozitív egészekből álló megoldás, tehát (1) biztosan hamis. Ha $a=-2$, akkor minden olyan $\left(x_n\mathrm{,}{y}_n\right)$ pozitív egész számpár megoldás, ahol ${\left(3-2\sqrt[]{2}\right)}^n=x_n-y_n\sqrt[]{2}$ ($n$ pozitív egész); így (2) is hamis, tehát csak (x) lehet helyes. (Megmutatható, hogy az egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldása van minden olyan negatív $a$-ra, amely nem egy négyzetszám ellentettje.)
12. Egyetlen kérdésből kitalálhatja. Tegyük fel először, hogy az $x_i$-k pozitívak. Ekkor megfelel $U=x_1+{\left(x_1+x_2\right)}^2+\text{...}+{\left(x_1+x_2+\text{...}+x_{20}\right)}^{20}$. Ha $x_i$ negatív is lehet, akkor az $U$-ra megadott fenti képletben $x_i$ helyére ${\left(3x_i+1\right)}^2$-t írunk.
13 + 1. A megadott számsorozat ($\text{...}$, 7,  9,  12,  ?,  24,  36,  56,  90, $\text{...}$) az
$A_n=24\frac{2^n-1}{n}$ képlettel írható le, s a kérdőjel helyére az $n\to 0$ határértéknek megfelelő (nem egész) szám ,,kívánkozik''. A feladatot a fizikusok a következő módon is megközelíthetik. A megadott számsorozatot mérési adatoknak tekinthetik, melyekre szeretnének egy ,,sima'' függvényt illeszteni. A sorozat elemeinek gyors növekedési üteme azt sejtteti, hogy érdemes $\text{log}{A}_n$-t $n$ függvényében ábrázolni, s ekkor egy lassan változó, lineáris, vagy ahhoz közeli függvénnyel írható le a keresett kapcsolat. Az interpoláló függvény nem a 16-nak, nem is a 17-nek megfelelő ponton halad át, hanem valahol közöttük. A megadott formulának megfelelő határérték: $24\text{ln}2\approx 16\mathrm{,}635532$.