A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A múlt havi számunkban közreadtuk az 1996. évi Téli Ankéton meghirdetett TOTÓ kérdéseit. A telitalálatos szelvény: . Az egyik feladatot (a másodikat!) sajnos hibás számadatokkal tettük közzé, s így a helyes megoldás nem szerepelt a felkínált lehetőségek között. A szabályos 12-szög belsejében ténylegesen 301 olyan pont van, amelyen legalább két átló átmegy. (Szerencsére ezen feladat értékelése nélkül is ugyanaz marad a nyertesek sorrendje, mint amilyen sorrendet az Ankéton és a múlt havi számunkban közzétettünk!) Néhány megjegyzés a totószelvényen szereplő ,,trükkösebb feladatok'' megoldásáról. 3. Egy gömb felületén (konkrétan ) azonos elektromos töltésű kicsiny golyócska szabadon mozoghat. Hogy helyezkednek el a golyócskák stabil egyensúlyi helyzetükben? ‐ ez volt a kérdés. Szimmetria-érzékünk azt súgja, hogy a lehető legszabályosabb alakzat, tehát egy kocka csúcspontjai jelölik ki a stabil egyensúlyi helyzetet. Érdekes módon ez nem igaz! A rendszer energiáját csökkenthetjük, ha a kocka egyik lapját a középpontja körül -kal elforgatjuk, s a szemközti laptól mért távolságát is megváltoztatjuk egy kicsit. Ez a helyzet lesz a legkisebb energiájú, tehát biztosan stabil állapot, a kockáról pedig be lehet látni, hogy instabil egyensúlynak felel meg. 4. Könnyen látható, hogy az (1) és az (x) válasz nem helyes. Ha , akkor egy tetszőleges háromszög minden oldalát egyenlő részre osztva megfelelő felbontást kapunk. Ha (ahol , ), akkor vegyünk egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek a befogói és , és húzzuk meg az átfogóhoz tartozó magasságot. A kapott két háromszög oldalait , illetve egyenlő részre osztva előállítható a kívánt felbontás. Ha , induljunk ki egy szabályos háromszögből: ennek súlyvonalai 6 egybevágó derékszögű háromszögre bontják -et, így fele 3 egybevágó és vele hasonló háromszögre osztható, azok pedig az előbbiek szerint tovább bonthatók. 5. Közismert, hogy az északi féltekén december 22-én a legrövidebb a nappal. Meglepő, hogy Budapesten a Nap nem ekkor kel fel legkésőbb, hanem január elején! Ennek az az oka, hogy a Föld ellipszispályán, kicsit változó szögsebességgel kering a Nap körül, tehát a delelések időpontja nem eshet minden nap ugyanakkorra. (A nap hosszát, a ,,24 órát'' nem lenne célszerű hónapról hónapra változtatgatni, ehelyett ,,átlag-napot'' vezettek be.) A delelési időpontoknak az órák által mutatott időhöz viszonyított eltolódása okozza azt, hogy a legrövidebb nap nem esik egybe sem a legkésőbbi napfelkeltével, sem a legkorábbi napnyugtával. 7. Ha pozitív egész, akkor nincs pozitív egészekből álló megoldás, tehát (1) biztosan hamis. Ha , akkor minden olyan pozitív egész számpár megoldás, ahol ( pozitív egész); így (2) is hamis, tehát csak (x) lehet helyes. (Megmutatható, hogy az egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldása van minden olyan negatív -ra, amely nem egy négyzetszám ellentettje.) 12. Egyetlen kérdésből kitalálhatja. Tegyük fel először, hogy az -k pozitívak. Ekkor megfelel . Ha negatív is lehet, akkor az -ra megadott fenti képletben helyére -t írunk. 13 + 1. A megadott számsorozat (, 7, 9, 12, ?, 24, 36, 56, 90, ) az képlettel írható le, s a kérdőjel helyére az határértéknek megfelelő (nem egész) szám ,,kívánkozik''. A feladatot a fizikusok a következő módon is megközelíthetik. A megadott számsorozatot mérési adatoknak tekinthetik, melyekre szeretnének egy ,,sima'' függvényt illeszteni. A sorozat elemeinek gyors növekedési üteme azt sejtteti, hogy érdemes -t függvényében ábrázolni, s ekkor egy lassan változó, lineáris, vagy ahhoz közeli függvénnyel írható le a keresett kapcsolat. Az interpoláló függvény nem a 16-nak, nem is a 17-nek megfelelő ponton halad át, hanem valahol közöttük. A megadott formulának megfelelő határérték: .
|