Cím:	Az 1996-97-es OKTV feladatai, eredményei
Füzet:	1997/november, 461 - 468. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. kategória: Szakközépiskolák   Első (iskolai) forduló       1. Oldja meg a valós számok halmazán az $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\sqrt[8]{x^5}-12\sqrt[4]{x}=0}\end{array}$ egyenletet!   2. Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyekben $\gamma ={60}^{\circ }$, $b+c=5a$, és az oldalak mérőszámai természetes számok. Mekkorák lehetnek ezen háromszögek oldalai? Határozza meg a feltételeket kielégítő háromszögek közül a legkisebb kerületű háromszöget!   3. Igazolja, hogy ha $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$  $0$-tól különböző valós számok és $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+b^2+c^2=ax+by+cz\text{és}ax+by+cz=x^2+y^2+z^2\mathrm{,}}\end{array}$ akkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}}\end{array}$ állandó érték!   4. Egy gúla alaplapja az $ABC$ háromszög, (negyedik) csúcsa $D$. Az $AD$ él harmadoló pontjai: $H_1$ és $H_2$ ($H_1$ van $A$-hoz közelebb), a $CD$ él harmadoló pontjai: $T_1$ és $T_2$ ($T_1$ van $C$-hez közelebb). Síkokat fektetünk $B$. $H_1$, $T_1$, illetve $B$, $H_2$, $T_2$ pontokon át. Ezek a síkok a gúlát három részre vágják szét. Bizonyítsa be, hogy a középső rész térfogata a két szélső rész térfogatainak számtani közepe!   5. Oldja meg a $\left[0;2\pi \right]$ halmazon a következő egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt[]{3}+\text{cos}x}{2\text{sin}{}^{3}x-\text{cos}x\cdot \text{sin}2x}>\frac{3}{2\text{sin}4x}\mathrm{.}}\end{array}$   6. Az $ABC$ háromszögben $AC=2AB$. Az $AC$ oldal felezőpontja $F$. Az $A$ csúcsból induló belső szögfelező a $BC$ oldalt a $D$ pontban metszi. a) Igazolja, hogy az $ABDF$ négyszög érintőnégyszög. b) Az $ABDF$ négyszögbe írt kör sugarát jelölje $r_1$, az $FDC$ háromszögbe írt kör sugarát $r_2$. Bizonyítsa be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\le \frac{r_1}{r_2}<2.}\end{array}$     Második forduló       1. Felvettük az $ABCD$ négyzet síkjának ugyanazon az oldalán, a négyzet síkjára merőleges $A{A}_1$, $B{B}_1$, $C{C}_1$, $D{D}_1$ szakaszokat. Számítsa ki a $D{D}_1$ szakasz hosszúságát, ha $A{A}_1=10$ cm, $B{B}_1=8$ cm, $C{C}_1=6$ cm, és a négyzet belsejében létezik olyan $O$ pont, amely az $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ pontoktól egyenlő távolságra van.   2. Oldja meg a természetes számok halmazán az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[\sqrt[]{n}\right]=\frac{n-3}{5}}\end{array}$ egyenletet! (Bármely $a\in \text{R}$ esetén $\left[a\right]$ jelenti azt a legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb $a$-nál.)   3. Az $ABC$ háromszög $AC$ oldalának tetszőleges $P$ belső pontján át húzzunk párhuzamost az $A$ és a $C$ csúcsokból induló $AK$ és $CL$ súlyvonalakkal. A meghúzott egyenesek a $BC$ oldalat $E$, az $AB$ oldalt $F$ pontban metszik. Igazolja, hogy az $AK$ és a $CL$ súlyvonalak az $EF$ szakaszt három egyenlő részre osztják!   4. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges háromszögben $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{cos}\alpha \text{cos}\beta }{ab}+\frac{\text{cos}\beta \text{cos}\gamma }{bc}+\frac{\text{cos}\gamma \text{cos}\alpha }{ca}=\frac{\text{sin}{}^2\alpha }{a^2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ a háromszög szögei, és a velük szemközti oldalak rendre $a$, $b$, $c$.   5. Határozza meg azokat az $x$, $y$, $z$ valós számokat, amelyek kielégítik a $\begin{array}{c}{\displaystyle 7x^2+3y^2+5z^2+7xy+5yz=0}\end{array}$ egyenletet, és amelyekre az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+2y-z-1\right)}^2+{\left(y-2z+x-1\right)}^2+{\left(z+2x-y-1\right)}^2}\end{array}$ kifejezés a szélsőértékét veszi fel! Adja meg a szélsőérték nagyságát is!       Harmadik (döntő) forduló       1. Oldja meg a valós számok halmazán a $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(3x^2-4x+1\right)}^3+{\left(x^2+4x-5\right)}^3=64{\left(x^2-1\right)}^3}\end{array}$ egyenletet!   2. Az $ABC$ háromszög $BC$ oldalán adott a $P$ és a $Q$ pont úgy, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle BP:PQ:QC=1:2:3.}\end{array}$ Az $AC$ oldalt az $R$ pont $AR:RC=1:2$ arányban osztja. A $BR$ szakasz az $AP$ szakaszt $T$, az $AQ$ szakasz $S$ pontban metszi. Az $ABC$ háromszög területe $t$. Igazolja, hogy a $PQST$ négyszög területe $\frac{5}{24}t$.   3. Bizonyítsa be, hogy bármely közvetlenül egymás után következő $1997$ darab pozitív egész szám négyzetének összege nem lehet négyzetszám!       II. kategória: Nem speciális tantervű gimnáziumok   Első (iskolai) forduló       1. Az $a$ és $b$ pozitív számok összege $1$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}\le \frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}<\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Egy sorozatban $a_1=\frac{2}{3}$, $a_n=a_{n-1}+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$, ha $n>1$. Állítsuk elő $a_n$-et $n$ függvényeként.   3. Az $ABCD$ paralelogramma $ABC$ háromszögének $AC$ oldalához írt kör (azaz: külső érintő kör) a $BA$, ill. $BC$ egyeneseket az $X$, ill. az $Y$ pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy az $XY$ egyenes az $ACD$ háromszög beírt körét az $AD$, ill. a $CD$ oldalakon metszi.   4. Egy $7$ egység oldalú négyzetben elhelyezünk $51$ pontot. Bizonyítsuk be, hogy ezek között a pontok között van $3$ olyan, amely lefedhető egy egységsugarú körrel.   5. Adjuk meg azokat a nemnegatív egészekből álló $\left(x;y\right)$ számpárokat, amelyek kielégitik a következő egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2+y}-\sqrt[]{x-y}\le \sqrt[]{x+y}\mathrm{.}}\end{array}$     Második forduló       1. $2000$ különböző pozitív egész szám fele páros, fele pedig páratlan; összegük kisebb $3000000$-nál. Bizonyítsuk be, hogy van közöttük $3$-mal osztható.   2. A hegyesszögű $ABC$ háromszög köré írt $A$ és $B$ pontjaiban húzott érintők az $S$ pontban metszik egymást. Az $AB$ és $CS$ egyenesek metszéspontját jelölje $M$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AM}{MB}=\frac{A{C}^2}{B{C}^2}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Egy egyenes csonkakúp alapkörének a sugara $R$, fedőköréé $r$, magassága pedig $m$; ezekre az $R-r<m$ feltétel teljesül. Beírtünk ebbe egy forgáshengert, amelynek alapköre a csonkakúp alapkörével koncentrikus, a fedőlapját határoló kör pedig a csonkakúp palástján van, és különbözik a csonkakúp fedőkörétől. Tudjuk, hogy a csonkakúpba írható ilyen hengerek közül ez a maximális térfogatú, sőt a maximális felszínű is. Bizonyítsuk be, hogy ha a csonkakúp alkotóinak és a forgástengelyének a hajlásszöge $\alpha$, akkor $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha =1/4$.   4. Legyen $s$ pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy $s$-nek van olyan egész számú többszöröse, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában a jegyek összege $s$-sel egyenlő.     Harmadik (döntő) forduló       1. Egy konvex ötszög valamennyi átlója párhuzamos az ötszög egy-egy oldalával. Bizonyítsuk be, hogy bármelyik átló és a vele párhuzamos oldal hosszának az aránya ugyanaz, és határozzuk is meg ennek az aránynak a számértékét. Mutassuk meg, hogy ha a síkon adottak a nem egy egyenesre eső $A$, $B$, $C$ pontok, akkor létezik olyan $ABCDE$ ötszög, amely a fenti tulajdonságú.   2. Legyen $n$ pozitív egész. Milyen $n$-ekre teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ az $n$ szám négy legkisebb pozitív egész osztója?   3. Hány olyan számhármas létezik, amelyek egy pozitív egész hányadosú mértani sorozat egymást követő elemei, és amelynek minden eleme pozitív egész osztója $N=90000$-nek? Hány ilyen számhármas létezik $N={30}^{10}$ esetén?     III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok   Első forduló       1. Egy bizottság pályázatokat rangsorol úgy, hogy a bizottság minden tagja külön-külön készít egy teljes rangsort valamennyi pályázatról. Tudjuk, hogy a bizottsági tagok többségének a rangsorában az $A$ pályázat előrébb szerepel, mint a $B$ pályázat, és azt is tudjuk, hogy a tagok többségének a rangsorában a $B$ pályázat előrébb szerepel, mint a $C$ pályázat. Következik-e ebből, hogy a tagok többségének a rangsorában az $A$ pályázat előrébb szerepel, mint a $C$ pályázat?   2. Egy hegyesszögű háromszög oldalai legyenek $a$, $b$, $c$, a megfelelő magasságvonalak $m_a$, $m_b$, $m_c$, és a magasságpontnak a csúcsoktól való távolságai rendre $d_a$, $d_b$, $d_c$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle m_a{d}_a+m_b{d}_b+m_c{d}_c=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Legyen az $ABC$ háromszög köré írt sugara $r$, a súlypontot a magasságponttal összekötő szakasz felezőpontja pedig $F$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle A{F}^2+B{F}^2+C{F}^2=3r^2\mathrm{.}}\end{array}$   4. Egy dobozban $4$ fehér és $4$ piros golyó van. Visszetevés nélkül kihúzzuk az összes golyót. Minden húzás előtt tippelhetünk a kihúzandó golyó színére. Átlagosan hány találat érhető el, ha mindig arra a színre tippelünk, amelyiknek nagyobb a valószínűsége?   5. Adjuk meg az összes olyan köbszámot, amely előáll nyolc szomszédos egész szám köbének az összegeként. (Köbszámon egy egész szám köbét értjük.)     Második (döntő) forduló       1. Tekintsünk $1997$ különböző pozitív egészt, amelyek közül bármely tíznek ugyanaz a legkisebb közös többszöröse. Maximálisan hány szám lehet közöttük, amelyek páronként relatív prímek (azaz közülük semelyik kettőnek sincs egynél nagyobb közös osztója)?   2. Legyenek $AB$ és $CD$ egy kör húrjai, amelyeknek nincs közös pontjuk, továbbá $K$ a $CD$ húr egy belső pontja. Szerkesszük meg a kör kerületén a $P$ pontot úgy, hogy a $CD$ húrnak az $ABP$ háromszögbe eső szakaszát a $K$ pont felezze.   3. Adott a síkon $111$ egységvektor, amelyek összege a zérusvektor. Bizonyítsuk be, hogy közülük kiválasztható $55$ olyan, amelyek összegének a hossza legfeljebb $1$. Az 1996/97. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny eredményei     I. kategória (A szakközépiskolák tanulói)     I. díj:Varga Áron IV. o., Budapest, Trefort Á. Kéttannyelvű Műsz. Szki és Gimn.,  Felkészítő tanár: Varsóci Károly II. díj:Hegedűs Miklós III. o., Debrecen, Gábor Dénes Elektronikai Műsz. Középisk.,  Felkészítő tanár: Gyebnárné Nagy Andrea III. díj:Mészáros Attila IV. o., Budapest, Hunfalvy J. Külker. Közgazd. Szki. és Gimn.,  Felkészítő tanár: Plánk Tibor 4.Dávid Gábor IV. o., Szekszárd, Ady Endre Középiskola és Szki.,  Felkészítő tanár: Csapó Eszter 5.Szűcs Attila IV. o., Paks, Energetikai Szakképzési Int. Műsz. Szki.,  Felkészítő tanár: Töricht Pál, Árokszállási Tibor 6.Markó Csaba IIl. o., Paks, Energetikai Szakképzési Int. Műsz. Szki.,  Felkészítő tanár: Árokszállási Eszter 7.Kiss József IV. o., Győr, Jedlik Ányos Informatikai Szki. és Gimn.,  Felkészítő tanár: Honti Dénesné 8.Megyes Szabolcs IV. o., Budapest, Szent István Közgazdasági Szki.,  Felkészítő tanár: Agócs László 9.Dani Hajnalka IV. o., Szeged, Kőrösy J. Közgazdasági és Külker. Szki.,  Felkészítő tanár: Szalai Éva 10.Nagy Judit IV. o., Miskolc, Fáy András Közgazdasági Szki.,  Felkészítő tanár: Kállai Edit Miniszteri dicséretben részesült: 11. Richter János, IV. o., Vác, Boronkay György Műszaki Középiskola; 12. Pap Gábor, IV. o., Budapest, Trefort Á. Kéttannyelvű Műsz. Szki. és Gimn.; 13. Vincicki Norbert, III. o., Nyíregyháza, Széchenyi István Közgazdasági Szki.; 14. Ring Ildikó, IV. o., Győr, Krúdy Gyula Vendéglátóipari Szki. és Gimn.; 15. Kovács Roland, IV. o., Dunaújváros, Rudas Közgazdasági Középiskola és Koll.; 16. Rózsa Tamás, III. o., Szolnok, Pálfy J. Műszeripari és Vegyipari Szki.; 17. Ács Gábor, IV. o., Eger, Neumann János Közg. Szki és Gimn.; 18. Imecs Dániel, IV. o., Vác, Boronkay György Műszaki Középiskola; 19. Gáborik István, IV. o., Vác, Boronkay György Műszaki Középiskola; 20. Szabó Péter, IV. o., Paks, Energetikai Szakképzési Int. Műsz. Szki.; 21. Nováki Szilárd, IV. o., Eger, Wigner Jenő Műszaki Informatikai Középiskola; 22. Lublóy Katalin, IV. o., Szombathely, Orlay Fürst Károly Külkereskedelmi Szki.; 23. Szénási Tamás, IV. o., Budapest, Puskás Tivadar Távközlési Technikum; 24. Hajdú Attila, IV. o., Vác, Boronkay György Műszaki Középiskola; 25. Csóka Péter, IV. o., Fehérgyarmat, Petőfi Sándor Közgazdasági Szki.; 26. Elek Róbert, IV. o., Budapest, Kalmár László Számítástechnikai Szki.; 27. Stiller Gábor, IV. o., Budapest, Neumann János Számítástechnikai Szki.; 28. Lefánti Krisztina, IV. o., Budapest, II. Rákóczi Ferenc Gyak. Közgazd. Szki.; 29. Szép Gábor, IV. o., Székesfehérvár, Gróf Széchenyi István Műszaki Szki.; 30. Gyarmathy Orsolya, IV. o., Győr, Krúdy Gyula Vendéglátóipari Szki. és Gimn.; 31. Löffler Szabolcs, III. o., Eger, Neumann János Közg. Szki. és Gimn.     II. kategória (Nem speciális matematika tantervű gimnáziumok tanulói)     I. díj:Kiss Gergely IV. o., Budapest, Szent lstván Gimnázium,  Felkészítő tanár: Lászlóné Sergyán Stefánia I. díj:Szabó Jácint IV. o., Győr, Révai Miklós Gimnázium,  Felkészítő tanár: Zsebők Ottó III. díj:Kővágó Tamás IV. o., Kecskemét, Bolyai János Gimnázium,  Felkészítő tanár: Varga József 4.Bakos Péter IV. o., Eger, Szilágyi Erzsébet Gimnázium,  Felkészítő tanár: Burom Mária 5.Pintér Dömötör IV. o., Szombathely, Nagy Lajos Gimnázium,  Felkészítő tanár: Asbóth József, Peresztegi László, Pósa Lajos 6.Szász Bence III. o., Budapest, Eötvös József Gimnázium,  Felkészítő tanár: Gyengéné Beé Andrea, Somfai Zsuzsanna 7.Megyeri Csaba IV. o., Nagykanizsa, Batthyány Lajos Gimnázium,  Felkészítő tanár: Dr Pintér Ferenc 8.Hajdufi Péter III. o., Budapesti Baár-Madas Református Gimn.,  Felkészítő tanár: Madas Pál, Székely Péter 9.Purger Norbert III. o., Kecskemét, Katona József Gimnázium,  Felkészítő tanár: Szabó István 10.Csalogány Károly IV. o., Salgótarján, Bolyai János Gimnázium,  Felkészítő tanár: Dr Peák Istvánné Miniszteri dicséretben részesült: 11. Blaskó Ádám, IV. o., Budapest, Eötvös József Gimnázium; 12. Darnai Attila, IV. o., Budapest, ELTE Trefort Ágoston Gyakorló Gimnázium; 13. Lele János, III. o., Kecskemét, Katona József Gimnázium; 14. Szabó Eszter, IV. o., Sárvár, Tinódi Sebestyén Gimnázium; 15. Tóth Lóránt, IV. o., Miskolc, II., Herman Ottó Gimnázium; 16. Wagner Róbert, IV. o., Pannonhalmi Bencés Gimnázium; 17. Papp Ágnes, IV. o., Kecskeméti Református Koll. Gimnáziuma; 18. Szita István, IV. o., Körmend, Kölcsey Ferenc Gimnázium; 19. Bojti Beáta, IV. o., Budapest, Szent István Gimnázium; 20. Fazekas Borbála, IV. o., Debrecen, KLTE Gyakorló Gimnáziuma; 21. Fekete Márk, IV. o., Miskolc, Herman Ottó Gimnázium; 22. Sarlós Ferenc, III. o., Baja, III. Béla Gimnázium; 23. Csontos Péter, IV. o., Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium; 24. Páles Csaba, III. o., Debrecen, KLTE Gyakorló Gimnáziuma; 25. Hartmann Miklós, III. o., Bonyhád, Petőfi Sándor Evangélikus Gimnázium; 26. Bárány Péter, IV. o., Budapest, Lauder J. Zsidó Közösségi Iskola; 27. Árva Péter, IV. o., Budapest, Károlyi M. Magyar‐Spanyol Gimnázium; 28. Koch József, III. o., Nyíregyháza, Szent Imre Katolikus Gimnázium; 29. Víg Anikó, IV. o., Pápai Református Gimnázium; 30. Balogh Endre, IV. o., Budapest, Szent István Gimnázium.     III. kategória (A speciális matematika tantervű gimnáziumok tanulói)     I. díj:Pap Gyula IV. o., Debrecen, Fazekas Mihály Gimnázium,  Felkészítő tanár: Balázs Tivadar II. díj:Braun Gábor IV. o., Budapest, Szent István Gimnázium,  Felkészítő tanár: Halek Tamás III. díj:Lippner Gábor III. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.,  Felkészítő tanár: Dobos Sándor, Thiry Imréné, Pósa Lajos 4.Kiss László IV. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.,  Felkészítő tanár: Laczkó László 5.Koncz Imre IV. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.,  Felkészítő tanár: Laczkó László 6.Várkonyi Péter IV. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.,  Felkészítő tanár: Laczkó László 7.Berki Csaba IV. o., Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimnázium,  Felkészítő tanár: Ponácz Ferenc, Horváth Gábor 8.Pogány Ádám III. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.,  Felkészítő tanár: Dobos Sándor, Thiry Imréné 9.Salamon Gábor IV. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.,  Felkészítő tanár: Laczkó László 10.Katona Zsolt III. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.,  Felkészítő tanár: Dobos Sándor, Fazakas Tünde Miniszteri dicséretben részesült: 11. Nyul Gábor, III. o., Debrecen, Fazekas Mihály Gimnázium; 12. Zawadowski Ádám, III. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.; 13. Tóth Ádám, III. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.; 14. Zakariás Ildikó, IV. o., Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimnázium; 15. Frenkel Péter, IV. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.; 16. Visontai Mirkó, IV. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.; 17. Nyakas Péter, IV. o., Zalagerszeg; Zrínyi Miklós Gimnázium; 18. Kenyeres Márton, IV. o., Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimn.; 19. Bakonyi Gábor, IV. o., Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimnázium; 20. Sulyok Ádám, IV. o., Budapest, Szent István Gimnázium.