Cím:	A VI. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny feladatai
Füzet:	1997/október, 400 - 402. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${}^{*}$     I. évfolyam       1. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 1997x^2+1998x+1995}\end{array}$ semmilyen $x$ egész szám esetén nem lesz teljes négyzet.   2. Óránk éppen egy $4$ és $5$ óra közötti időpontot mutat. Egy $7$ és $8$ óra közötti pillanatban a két mutató az előbbi helyzethez képest helyet cserélt. Hány óra volt a két időpontban?   3. Legyen $d_1$, $d_2$, $d_3$ egy hegyesszögű háromszög magasságpontját a csúcsokkal összekötő három szakasz. Igazoljuk, hogy $d_1+d_2+d_3>k$, ahol $k$ a magasságok talppontjai által meghatározott háromszög kerületét jelöli.   4. Bizonyítsuk be, hogy $\underset{\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mi>n</mi></math>-szer}}{\overset{}{\underbrace{111\text{...}1}}}-\underset{\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math>-szer}}{\overset{}{\underbrace{222\text{...}2}}}$ négyzetszám.   5. Egy hegyesszögű háromszög területe $t$. Minden oldal felezőpontjából merőlegest állítunk a másik két oldalra. Mekkora a hat merőleges által közrezárt konvex hatszög területe?   6. Léteznek-e olyan $a_1$, $a_2$, $\text{...}$, $a_n$ pozitív számok, amelyekre teljesülnek a következő egyenlőtlenségek: $\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill \hfill & \hfill a_1\left(1+a_2{a}_3\text{...}{a}_{n-2}{a}_{n-1}\right)\hfill & \hfill >1+a_1{a}_2\text{...}{a}_n\mathrm{,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill a_2\left(1+a_3{a}_4\text{...}{a}_{n-1}{a}_n\right)\hfill & \hfill >1+a_1{a}_2\text{...}{a}_n\mathrm{,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill a_3\left(1+a_4{a}_5\text{...}{a}_n{a}_1\right)\hfill & \hfill >1+a_1{a}_2\text{...}{a}_n\mathrm{,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill a_n\left(1+a_1{a}_2\text{...}{a}_{n-3}{a}_{n-2}\right)\hfill & \hfill >1+a_1{a}_2\text{...}{a}_n?\hfill \end{array}}\end{array}$     II. évfolyam       1. Bizonyítsuk be, hogy az $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-5$ függvény grafikonja az $m$ valós paraméter bármely értékére ugyanazon a ponton halad keresztül. Határozzuk meg ennek a pontnak a koordinátáit.   2. Az $ABC$ háromszög $BC$ oldalának felezőpontja $A_1$, $AB$ oldalának felezőpontja $C_1$, $M$ a háromszög súlypontja. Mekkorák a háromszög szögei, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle CA{A}_1\sphericalangle =C{C}_1{A}_1\sphericalangle \mathrm{,}{A}_{1}M{C}_1\sphericalangle =BAC\sphericalangle +ACB\sphericalangle ?}\end{array}$   3. Bizonyítsuk be, hogy ha $p$ és $q$  $5$-nél nagyobb prímszám, akkor $p^4-q^4$ osztható $60$-nal.   4. Legyen $n>1$ természetes szám. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a pozitív természetes számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill \hfill & \hfill x_1+x_2{x}_3{x}_4\text{...}{x}_n\hfill & \hfill =\mathrm{1997,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill x_2+x_1{x}_3{x}_4\text{...}{x}_n\hfill & \hfill =\mathrm{1997,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill x_3+x_1{x}_2{x}_4\text{...}{x}_n\hfill & \hfill =\mathrm{1997,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill x_n+x_1{x}_2{x}_3\text{...}{x}_{n-1}\hfill & \hfill =1997.\hfill \end{array}}\end{array}$   5. Jelölje $M$ az $ABCD$ húrnégyszög átlóinak metszéspontját, valamint $E$, $F$, $G$, $H$ az $M$ merőleges vetületeit az $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ oldalakra; föltesszük, hogy ezek az oldalak belső pontjai. Igazoljuk, hogy $M$ az $EFGH$ négyszög oldalait érintő kör középpontja. Mikor lesz $EFGH$ húrnégyszög?   6. Van egy igen érdekes zsebszámológépünk, amely mindenféle kiinduló érté képes fogadni, de ennek bevitele után már csak összeadni, kivonni és reciprokot képezni tud, és mindig pontos értéket ad. A gépnek tetszőlegesen sok memóriája van, amelybe a fenti műveletek végzése közben bármilyen érték bevihető, illetve előhívható onnan. Tehát a számolások során a kiindulási számot és minden részeredményt többször is felhasználhatunk, más számot azonban nem. Ilyen feltételek mellett megkaphatjuk-e az $1$-et végeredményül, ha a kiindulási szám $a)\sqrt[]{19}+97$;  $b)\sqrt[]{19}+\sqrt[]{97}$?     III. évfolyam       1. Egy nem állandó számtani sorozat első két tagjának összege és szorzata egyenlő egymással. Az első három tag összege és szorzata is egyenlő. Határozzuk meg a sorozat első négy tagjának az összegét.   2. A konvex $n$-oldalú sokszöget vágjuk szét háromszögekre. Minden háromszögbe írjunk kört. Bizonyítsuk be, hogy a körök sugarainak összege nagyobb vagy egyenlő $\frac{2T}{k}$-nál, ahol $T$ az $n$-oldalú sokszög területe, $k$ pedig a kerülete!   3. Adott a síkon $n$ db pont, amelyek között nincs három, amely egy egyenesre esne, és nincs négy, amely egy körön lenne. Minden ponthármas köré kört írunk. Mutassuk meg, hogy a körök között lévő egységsugarú körök száma legföljebb $\frac{n\left(n-1\right)}{3}$.   4. Az $f\left(x\right)$ másodfokú polinomot helyettesíthetjük az $x^{2}f\left(1+\frac{1}{x}\right)$ vagy az ${\left(x-1\right)}^{2}f\left(\frac{1}{1-x}\right)$ polinom közül az egyikkel. Az $x^2+1997x+1998$ polinomból megkaphatjuk-e ilyen műveletek segítségével az $x^2+1996x+1997$ polinomot?   5. Bizonyítsuk be, hogy érvényes az $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2\left(-u^2+v^2+w^2\right)+b^2\left(u^2-v^2+w^2\right)+c^2\left(u^2+v^2-w^2\right)\ge 16tT}\end{array}$ egyenlőtlenség, ahol $t$ az $a$, $b$ és $c$ oldalú háromszög, $T$ pedig az $u$ $v$ és $w$ oldalú háromszög területe. Mikor áll fenn az egyenlőség?   6. Igazoljuk, hogy a $|\text{sin}n|$ alakú számok halmazának ($n$ nemnegatív egész) van legalább két olyan eleme, amelyek kisebbek $\frac{1}{1000}$-nél.     IV. évfolyam       1. Az $x>0$ valós számra $x^2+\frac{1}{x^2}=7$ teljesül. Mutassuk meg, hogy $x^5+\frac{1}{x^5}$ is egész szám.   2. Legyen $f$ a pozitív egész számokon értelmezett függvény, értékei nemnegatív egészek. Az $f$ minden pozitív egész $x$, $y$ esetén kielégíti a következő feltételeket: 1. $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$,  2. $f\left(10x+3\right)=0$,  3. $f\left(10\right)=0$. Adjuk meg a feltételeknek megfelelő $f$ függvényeket.   3. Bizonyítandó, hogy $x^n{y}^n+1$ ($n\ge 1$ egész) nem állítható elő két olyan polinom szorzataként, amelyek közül az egyik csak az $x$-et, a másik csak az $y$-t tartalmazza.   4. Az $ABC$ háromszög oldalai $a$, $b$, $c$, az $a$ oldallal szemközti szög $\alpha$. Igazoljuk, hogy 1. ha $\alpha$ hegyesszög, akkor $\text{sin}\frac{\alpha }{2}\le \frac{a}{\sqrt[]{2\left(b^2+c^2\right)}}$; 2. ha $\alpha$ tompaszög, akkor $\frac{a}{\sqrt[]{2\left(b^2+c^2\right)}}\le \text{sin}\frac{\alpha }{2}\le \frac{a}{b+c}$.   5. Állapítsuk meg az $\frac{r_a^2+r_b^2+r_c^2}{s^2}$ tört minimumát, ahol $r_a$, $r_b$, $r_c$ a háromszög $a$, $b$, $c$ oldalához hozzáírt körök sugara, $s$ pedig a háromszög kerületének a fele.   6. Adott az $u_{n+1}=\frac{1}{u_n}+\frac{2}{n+1}$ rekurziót teljesítő sorozat, ahol $\frac{3}{2}\le u_1\le 2$. Igazoljuk, hogy $1<u_n<1+\frac{1}{n-1}$, ha $n\ge 2$. ${}^{*}$A versenybeszámolót előző számunkban közöltük.