Cím: A VI. Horvátországi Országos Matematika Verseny
Szerző(k):  Horváth Bokor Rózsa ,  Horváth Vilmos 
Füzet: 1997/október, 398 - 400. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Adriai tenger partján Novi Vinodolskiban május 8. és 11. között rendezték meg Horvátországban a hatodik országos matematika versenyt. A versenyen középiskolások és az általános iskola 7. és 8. osztályos diákjai szerepeltek. Az országos döntőbe meghívásos alapon évfolyamonként 25‐30 legjobb diák vehetett részt. Az iskolai versenyeket február végén tartják. A legjobbak indulhatnak a községi versenyen. Ezután következik a megyei erőpróba, ahol évenként kb. 900‐1000 tanuló szerepel.
Az országos döntő egyben jutalomkirándulás is az ott résztvevőknek. Alkalom nyílik a házigazda város és környéke nevezetességeinek megismerésére.
A versenypéldákat a Horvátországi Matematika Társulat bizottsága állítja össze. Évfolyamonként négy-négy példát tűznek ki. A példák megoldására a versenyzőknek négy óra áll a rendelkezésre. A döntő legjobbjai alkotják Horvátország válogatottját a matematikai olimpián.
Az 1996/97-es évben évfolyamonként a következő példákat tűzte ki a versenybizottság:

 
 
 
I. évfolyam
 
 

 
1. Legyen az n természetes szám. Oldjuk meg a következő egyenletet:
||...|||x-1|-2|-3-...-(n-1)|-n|=0.

 
2. Legyenek a<b<c<d adott valós számok. Határozzuk meg mindazokat a p, q, r, s számokat, amelyekre {a,b,c,d}={p,q,r,s} és a
(p-q)2+(q-r)2+(r-s)2+(s-p)2
kifejezés értéke minimális.
 
3. Legyen adott egy kör és annak egy húrja, amely a kört két körszeletre osztja. A körszeletekbe k1, k2 kört írunk be úgy, hogy belülről a k kört míg az adott húrt egy közös pontban érintsék. Bizonyítsuk be, hogy a k1, k2 körök sugarainak aránya konstans, vagyis nem függ a húron levő közös érintő pont helyzetétől.
 
4. Egy végtelen nagy négyzetes fehér papírlapon némely négyzetek piros szinűek. Minden 2×3-as téglalapban pontosan két piros négyzet van. Hány piros négyzet van egy tetszőleges 9×11-es téglalapban?
 
 
 
II. évfolyam
 
 

 
1. Legyen az ABCDEF szabályos hatszög középpontja O. A CD¯ és a DE¯ oldalak felezőpontjait jelöljük M és N-nel, míg az AM és BN egyenesek metszéspontját L-lel. Igazoljuk:
*a)Az ABL háromszög területe megegyezik a DMLN négyszög területével;
*b)ALD∢=OLN∢=60∘;
*c)OLD∢=90∘.
 
2. Bizonyítsuk be, hogy az a, b, c pozitív egymástól eltérő valós számok esetén
aabbcc>abbcca.

 
3. A tizes számrendszerben a 21997-nek m számjegye, míg a 51997-nek n számjegye van. Számítsuk ki az m és az n összegét!
 
4. Egy síkban adott 1997 pont. Igazoljuk, hogy az összes lehetséges két pont közötti távolság között 32 különböző van.
 
 
 
III. évfolyam
 
 

 
1. Legyenek az x, y, z, a, b, c olyan természetes számok, amelyek kielégítik a következő egyenletrendszert:
x2+y2=a2x2+z2=b2y2+z2=c2
Igazoljuk, hogy x, y, z szorzata osztható:
*a) 5-tel
*b) 55-tel.
 
2. Bizonyítsuk be, hogy minden valós x és minden természetes n számra érvényes
|cosx|+|cos2x|+...+|cos2nx|≥n22.

 
3. Az ABCD tetraéder ABD, ACD, BCD és BCA oldalainak területeit jelöljük S1, S2, Q1 és Q2-vel. Az ABD és ACD, valamint a BCD és BCD oldalak által bezárt szög legyen α, valamint β. Igazoljuk, hogy
S12+S22-2S1S2cosα=Q12+Q22-2Q1Q2cosβ.

 
4. Az ABC háromszög oldalaira ABD, BCE, CAF hasonló háromszögeket szerkesztettünk (k=|AD|:|BE|=|BE|:|EC|=|CF|:|FA|, α=ABD∢=BEC∢=CFA∢). Bizonyítsuk be, hogy az AC¯, BC¯, CD¯ és EF¯ szakaszok felezőpontjai egy paralelogramma csúcsai, melynek egyik szöge egyenlő α-val, míg a szomszédos oldalainak aránya egyenlő k-val.
 
 
 
IV. évfolyam
 
 
 

 
1. Határozzuk meg a 31000 és a 31997 számok utolsó négy számjegyét.
 
2. Egy síkban adott egy k kör és egy K pont. A k kör tetszőleges két különböző P, Q pontján és a K ponton áthalad a k' kör. Legyen M a k' körhöz a K pontból húzott érintő és a PQ egyenes metszéspontja. Mi az M pontok mértani helye, ha a P és a Q pont végig fut a k kör kerületén?
 
3. Az f a pozitív egész számokon értelmezett függvény, és:
f(1)=1,f(2)=2,f(n+1)=f(n+2-f(n+1))+f(n+1-f(n)),(n≥1).
*a)Igazoljuk, hogy f(n+1)-f(n)∈{0,1} minden n≥1 esetén.
*b)Ha az f(n) páratlan, akkor igazoljuk, hogy f(n+1)=f(n)+1.
*c)Az adott k természetes számra határozzuk meg mindazon n értékéket, amelyekre f(n)=2k-1+1.
 
4. Legyen a k természetes szám. Határozzuk meg azon nem egybevágó háromszögek számát, amelyek csúcsai egybeesnek egy adott szabályos 6k-szög csúcsaival.

Horváth Vilmos  Horváth Bokor Rózsa