A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az Adriai tenger partján Novi Vinodolskiban május 8. és 11. között rendezték meg Horvátországban a hatodik országos matematika versenyt. A versenyen középiskolások és az általános iskola 7. és 8. osztályos diákjai szerepeltek. Az országos döntőbe meghívásos alapon évfolyamonként 25‐30 legjobb diák vehetett részt. Az iskolai versenyeket február végén tartják. A legjobbak indulhatnak a községi versenyen. Ezután következik a megyei erőpróba, ahol évenként kb. 900‐1000 tanuló szerepel. Az országos döntő egyben jutalomkirándulás is az ott résztvevőknek. Alkalom nyílik a házigazda város és környéke nevezetességeinek megismerésére. A versenypéldákat a Horvátországi Matematika Társulat bizottsága állítja össze. Évfolyamonként négy-négy példát tűznek ki. A példák megoldására a versenyzőknek négy óra áll a rendelkezésre. A döntő legjobbjai alkotják Horvátország válogatottját a matematikai olimpián. Az 1996/97-es évben évfolyamonként a következő példákat tűzte ki a versenybizottság:
1. Legyen az természetes szám. Oldjuk meg a következő egyenletet: | |
2. Legyenek adott valós számok. Határozzuk meg mindazokat a , , , számokat, amelyekre és a | | kifejezés értéke minimális.
3. Legyen adott egy kör és annak egy húrja, amely a kört két körszeletre osztja. A körszeletekbe , kört írunk be úgy, hogy belülről a kört míg az adott húrt egy közös pontban érintsék. Bizonyítsuk be, hogy a , körök sugarainak aránya konstans, vagyis nem függ a húron levő közös érintő pont helyzetétől.
4. Egy végtelen nagy négyzetes fehér papírlapon némely négyzetek piros szinűek. Minden -as téglalapban pontosan két piros négyzet van. Hány piros négyzet van egy tetszőleges -es téglalapban?
1. Legyen az szabályos hatszög középpontja . A és a oldalak felezőpontjait jelöljük és -nel, míg az és egyenesek metszéspontját -lel. Igazoljuk:
* | a)Az háromszög területe megegyezik a négyszög területével; |
2. Bizonyítsuk be, hogy az , , pozitív egymástól eltérő valós számok esetén
3. A tizes számrendszerben a -nek számjegye, míg a -nek számjegye van. Számítsuk ki az és az összegét!
4. Egy síkban adott 1997 pont. Igazoljuk, hogy az összes lehetséges két pont közötti távolság között 32 különböző van.
1. Legyenek az , , , , , olyan természetes számok, amelyek kielégítik a következő egyenletrendszert: Igazoljuk, hogy , , szorzata osztható:
2. Bizonyítsuk be, hogy minden valós és minden természetes számra érvényes | |
3. Az tetraéder , , és oldalainak területeit jelöljük , , és -vel. Az és , valamint a és oldalak által bezárt szög legyen , valamint . Igazoljuk, hogy | |
4. Az háromszög oldalaira , , hasonló háromszögeket szerkesztettünk , . Bizonyítsuk be, hogy az , , és szakaszok felezőpontjai egy paralelogramma csúcsai, melynek egyik szöge egyenlő -val, míg a szomszédos oldalainak aránya egyenlő -val.
1. Határozzuk meg a és a számok utolsó négy számjegyét.
2. Egy síkban adott egy kör és egy pont. A kör tetszőleges két különböző , pontján és a ponton áthalad a kör. Legyen a körhöz a pontból húzott érintő és a egyenes metszéspontja. Mi az pontok mértani helye, ha a és a pont végig fut a kör kerületén?
3. Az a pozitív egész számokon értelmezett függvény, és: | | * | a)Igazoljuk, hogy minden esetén. |
* | b)Ha az páratlan, akkor igazoljuk, hogy . |
* | c)Az adott természetes számra határozzuk meg mindazon értékéket, amelyekre . |
4. Legyen a természetes szám. Határozzuk meg azon nem egybevágó háromszögek számát, amelyek csúcsai egybeesnek egy adott szabályos -szög csúcsaival.
Horváth Vilmos Horváth Bokor Rózsa |
|