A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. a) Könnyen igazolhatjuk, hogy . Ezt alkalmazva az egyenletünk a következő alakban írható: , amiből . Ebből pedig az megoldást kapjuk.
1. b) alakúra hozzuk az egyenletet. Mivel a gyök alatti és a jobb oldali kifejezésnek is nemnegatívnak kell lenni, azért . Legyen , ekkor a megoldandó egyenlet , ahol . Emeljünk négyzetre: . A beszorzás és a rendezés után: . A másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján: , . Az első szám nincs az értelmezési tartományban. Tehát , amiből könnyen adódik az megoldás.
2. Tudjuk, hogy , amiből . A Pitagorasz-tétel alapján . Írjuk ezt át a következő alakba: . Vagyis , amit szorzunk 2-vel, és értéket kapunk.
3. Az téglalap átlójának felezőpontja , a felezőmerőlegese -ben metszi az -t, és -ben -t. , . Az egyenlő szárú derékszögű háromszög, hiszen az -t merőlegesen felezi, ezért . Ezek szerint nem lehet egyenlő a rövidebb odallal, mert ekkor , és nem egyenlő egymásnak ellentmondó állításokhoz jutnánk. Így , , amiből következik. Az derékszögű háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt: . Elvégezzük a négyzetreemelést, és elveszünk -et: . Adjunk mind a két oldalhoz -t: , vagyis . Ez pontosan azt jelenti, hogy az egy befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója lesz.
4. Tudjuk, hogy , amiből . Felírhatjuk továbbá, hogy , valamint . E két összefüggés közül egyszerre legfeljebb az egyikben lehet egyenlőség, ezért . Írjuk ezt alakban. Vagyis kapjuk a bizonyítandó állítást: .
5. Pitagorasz tétele szerint: , , , . Mivel , azért a keresett hossz: | |
6. Az téglatest oldalélei legyenek , , . Az olyan tetraéder, amelynek a szemközti élei páronként egyenlőek (a téglatest szemközti lapjainak egy-egy átlója lesz a tetraéder éle), és ezeknek a kitérő éleknek a távolságai pontosan az , , . Az adott élhosszúságokkal és a téglatest éleivel a következő egyenletek írhatók fel (Pitagorasz-tétel): | | Ebből az egyenletrendszerből kapjuk: , , . A keresett távolságok: 14, 12, 15.
7. Használjuk a következő jelöléseket: , , , nevezzük el a pont merőleges vetületét az szintjében -nek, a pont merőleges vetületét a szintjében -nek, az szintjében -nek. , . Az szöget nevezzük -nak, ekkor az háromszögben a koszinusztétel szerint: . A kiszámított oldalakat beírjuk, és kifejezzük az ismeretlent: . A keresett szög: .
8. Tudjuk, hogy és . Vegyük a hányadosukat: , és tegyük fel, hogy , pozitív egészek. Szorozzunk a nevezővel: . Ezután hozzuk a következő alakra: , ebből az -et kifejezve: | | A diszkriminánsnak négyzetszámnak kell lenni. A és a esetén ez teljesül. Könnyen látható, hogy nagyobb érték nem jöhet szóba, hiszen esetén . Kiszámoljuk a lehetséges értékeket, a következőket kapjuk: 0, , 1, . Csak az esetén lenne a hányados egész, vagyis a feladat kérdésére nemmel kell válaszolnunk.
Számadó László
|
|