Cím: Beszámoló a Heves megyei matematikaversenyekről
Szerző(k):  Bíró Bálint 
Füzet: 1997/március, 146 - 150. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mátrafüredi Vadas Jenő Erdészeti Szakközépiskola kilenc esztendeje rendezi meg immár hagyományosnak számító matematikaversenyét szakközépiskolásoknak. 1995-ben először, gimnazistáknak is lehetőségük nyílt arra, hogy tudásukat megyei szinten összemérjék. 1996-ban már két kategóriában egyszerre rendezte meg a vetélkedőt a Vadas Jenő Szakközépiskola.
A szakközépiskolások versenye Kertész Andor, a debreceni egyetem nagyhírű matematikaprofesszora, a gimnazistáké Palotás József, az egri Tanárképző Főiskola tanára, volt megyei szakfelügyelő nevét viseli.
A verseny az egri Polgármesteri Hivatal és a Heves Megyei Pedagógiai Intézet jelentős támogatásával zajlott le.
Mindkét kategóriában az I. és II. osztályosok, illetve a III. és IV. osztályosok ugyanazt a feladatsort írták. Mindegyik feladatsor négy, részletes kidolgozást és indoklást kívánó és három teszt jellegű feladatot tartalmazott, a megoldásra két óra állt rendelkezésre. A verseny ideje alatt a kísérő tanárok az általános iskolások koncertjén és íjászbemutatón vehettek részt.

 
 
A Palotás József Verseny helyezettjei:
 
 


I. osztály: 1. Fehér Bence, Eger, Szilágyi Erzsébet Gimnázium; 2. Matin Tamás, Eger, Pásztorvölgyi Gimnázium; 3. Szabó Dániel, Eger, Szilágyi Erzsébet Gimnázium.
 

II. osztály: 1. Tóth Bálint, Eger, Gárdonyi Géza Gimnázium; 2. Abonyi Zsolt, Eger, Szilágyi Erzsébet Gimnázium; 3. Imrek József, Eger, Lenkey János Honvéd Gimnázium.
 

III. osztály: 1. Bakos Péter, Eger, Szilágyi Erzsébet Gimnázium; 2. Négyesi Gábor, Eger, Szilágyi Erzsébet Gimnázium; 3. Sexty Dénes, Eger, Neumann János Szakközépiskola és Gimnázium.
 

IV. osztály: 1. Király Tamás, Eger, Neumann János Szakközépiskola és Gimnázium; 2. Szkalák István, Eger, Gárdonyi Géza Gimnázium; 3. Vágner Anikó, Eger, Neumann János Szakközépiskola és Gimnázium.
 
 
A Kertész Andor Verseny helyezettjei:
 
 


I. osztály: 1. Spisák Ferenc, Eger, Neumann János Szakközépiskola és Gimnázium; 2. Szeremi Katalin, Eger, Közgazdasági Szakközépiskola; 3. Géczi Mária, Eger, Kossuth Zsuzsa Egészségügyi Szakközépiskola.
 

II. osztály: 1. Löffler Szabolcs, Eger, Neumann János Szakközépiskola és Gimnázium; 2. Novák Ferenc, Eger, Neumann János Szakközépiskola és Gimnázium; 3. Kiss Noémi, Eger, Közgazdasági Szakközépiskola.
 

III. osztály: 1. Ács Gábor, Eger, Neumann János Szakközépiskola és Gimnázium; 2. Kis Tamás, Gyöngyös, Vak Bottyán János Szakközépiskola; 3. Brezniczky János, Eger, Wigner Jenő Szakközépiskola.
 

IV. osztály: 1. Stikkel Gábor, Eger, Neumann János Szakközépiskola és Gimnázium; 2. Tajti Imre, Eger, Közgazdasági Szakközépiskola; 3. Bihari Tamás, Eger, Wigner Jenő Szakközépiskola.
A díjazottak könyvjutalmat és oklevelet vehettek át. Az egri Polgármesteri Hivatal részéről a Palotás József Versenyen a legjobban szereplő csapatnak felajánlott vándorserleget az egri Szilágyi Erzsébet Gimnázium csapata kapta. A vándorserleget és a díjakat ‐ a versenyt méltató szavak után ‐ Czapáry Endre tanár úr, a zsűri elnöke adta át. A Bolyai János Matematikai Társulat által hivatalos megyei versenyként elismert matematikavetélkedőt 1997-ben is Mátrafüreden rendezik meg.
Bíró Bálint szaktanácsadó

 
 
Heves Megyei Gimnáziumok
 
Palotás József Matematikai Emlékversenyének feladatai
 
I.‐II. osztály
 
 


 
1. Legalább hány 3-nál nagyobb prímszámot kell megadni ahhoz, hogy a számok négyzetének összege 12-vel osztható legyen?
 
2. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges x, y valós számokra fennáll az
(x-1)⋅(y+1)<x2+y2 egyenlőtlenség.

 
3. Oldjuk meg a következő egyenletet, ha m és n pozitív egészek:
19m+9n=16.

 
4. Az ABC háromszög BC, CA és AB oldalán rendre úgy helyezkednek el a D, E és F pontok, hogy BD=CD, CEAE=32 és AFBF=3. Az ABC háromszög területének hányad része a DEF háromszög területe?
 
5. Tekintsük a következő halmazokat:
A={x|x∈N,0≤x≤10},B={[y5]|y∈N,1<y<50},
ahol [y5] az y5 szám egész részét, azaz az y5-nél nem nagyobb egészek közül a legnagyobbat jelenti. A B∖A halmaz elemeinek száma:

a)  2 b)  4 c)  5 d)  1 e)  0

 
6. Az ABC háromszög M magasságpontján át húzzunk párhuzamos az AB oldallal. Ez a párhuzamos az AC oldalt D-ben, a BC oldalt E-ben metszi. Tudjuk, hogy az ABC háromszög körülírt körének középpontja a DE egyenesen van. A DEAB arány értéke:
a)  12 b)  23 c)  13 d)  34 e)  35

 
7. A 4x+17+12⋅x+2-4x+17-12⋅x+2 legnagyobb értéke, ha x>1

a)  0 b)  34 c)  17 d)  6 e)  nem határozható meg egyértelműen


 
 
III.‐IV. osztály
 
 


 
1. Milyen számjegyre végződik a következő szám?
(1!+2!+3!+...+1996!)3
(n! az 1⋅2⋅3⋅...⋅n számot jelenti, 1! megállapodás szerint 1.)
 
2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
log2(x+3)⋅log2(x-3)=log2[(x+3)3⋅(x-3)]-3

 
3. Egy téglatest egyik csúcsából induló testátlója az ugyanezen csúcsból induló lapátlókkal rendre az α, β, γ szögeket zárja be. Bizonyítsuk be, hogy
sinα⋅sinβ⋅sinγ≤39.

 
4. Oldjuk meg a következő egyenletet, ha p és q pozitív prímszám:
25p2+9q2-2515p-1509q+30pq+1996=0

 
5. Az ABC egyenlő szárú háromszög C-nél levő szöge 120∘-os. A BC oldal felezéspontja D. A D pontban a BC-re állított merőleges az AB szakaszt E-ben metszi. Mennyi az ACE és BCE háromszögekbe írt körök sugarának aránya?
a)  3+36 b)  23 c)  3+33 d)  32 e)  2+33

 
6. Az ABC egyenlő szárú háromszög C-nél levő szöge 90∘-os. Legyen H mindazon P pontok halmaza, amelyekre a PA, PB és PC szakaszok négyzetei ilyen sorrendben számtani sorozatot alkotnak. H-nak az ABC háromszög belsejébe vagy a határára eső eleme:
a) csak a BC szakasz C-hez közelebbi negyedelőpontja
b) csak az AB szakasz felezéspontja
c) a BC szakasz C-hez közelebbi negyedelőpontját és AB felezéspontját összekötő szakasz minden pontja
d) csak az AC szakasz A-hoz közelebbi negyedelőpontja
e) nincs ilyen pont.
 
7. A cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=4⋅cos5x egyenlet valós megoldásainak száma a ]0;2π[ számközben:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) nincs valós megoldása.

 
 
Heves Megyei Szakközépiskolák
Kertész Andor Matematikai Emlékversenyének feladatai
I.‐II. osztály
 
 


 
1. Az ABC háromszög AB oldala mint átmérő fölé rajzolt kör az AC oldalt a D, a BC oldalt az E belső pontokban metszi oly módon, hogy CE=DE és CD=BE. Mekkorák az ABC háromszög szögei?
 
2. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges x, y valós számokra fennáll az
(x-1)⋅(y+1)<x2+y2 egyenlőtlenség.

 
3. Oldjuk meg a következő egyenletet, ha x és y pozitív egész:
x22+x⋅y+x+y=997,5

 
4. Az f(x)=||x-2|-|x+2|| és a g(x)=-35x+1 függvények képe mekkora nagyságú zárt területet határoz meg?
 
5. Hány olyan  p  és  q  pozitív prímszámokból álló számpár van, amelyekre 3p2=q+1996 teljesül, ahol q<1996?
a) nincs ilyen számpár b) 1 c) 2 d) 3 e) 10
 
6. Hány olyan egész szám van, amelynek négyzete négyjegyű szám és ha ebben a négyjegyű számban az egyesek és a százasok helyén álló számjegyet fölcseréljük, akkor az eredetinél kettővel nagyobb szám négyzetét kapjuk?
a) nincs ilyen szám b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
 
7. Hány pozitív egész n-re lesz a 4n-3, 15n-4, 12n+4 számhármas valamilyen sorrendben egy derékszögű háromszög három oldalának mérőszáma?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nincs ilyen n.

 
 
III.‐IV. osztály
 
 


 
1. Legyen az  f(x)=lg(x2-5x+4)  függvény értelmezési tartománya Df, a
g(x)=-2x2+6x+206 függvény értelmezési tartománya Dg. Határozzuk meg a Df∩Dg halmazt.
 
2. Oldjuk meg a következő egyenletet, ha x pozitív egész:
75⋅78⋅...⋅73x+2=(0,1˙42857˙)-124

 
3. Egy kocka A csúcsából induló testátlójának A-hoz közelebbi harmadolópontja legyen H. Tekintsük H-nak a kocka mindazon csúcsaitól mért távolságait, amelyek nincsenek rajta az A-ból induló testátlón. Ezen szakaszok hosszának szorzata a kocka felszínének és térfogatának szorzatával egyenlő. Mekkora a kocka felszíne és térfogata?
 
4. Adjuk meg a sin2x-2sinx+15sin2x-2sinx+6 kifejezés legkisebb értékét és az összes olyan x valós számot, amelyre ezt a legkisebb értéket a kifejezés fölveszi.
 
5. Az ABC egyenlő szárú háromszög C-nél levő szöge 120∘-os. A BC oldal felezéspontja D. A D pontban a BC-re állított merőleges az AB szakaszt E-ben metszi. Mennyi az ACE és BCE háromszögekbe írt körök sugarának aránya?
a)3+36b)23c)3+33d)32c)2+33

 
6. Hány olyan x egész szám van, amelyre a 6x2-7x-20 kifejezés egy pozitív prímszámmal egyenlő?
a) nincs ilyen szám b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
 
7. A cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=4⋅cos5x egyenlet valós megoldásainak száma a ]0;2π[ számközben:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) nincs valós megoldása.