A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A Bolyai János Matematikai Társulat az 1996. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 18-án rendezte meg a következő 20 városban: Békéscsaba, Bonyhád, Budapest, Debrecen, Eger, Győr, Kaposvár, Kecskemét, Miskolc, Nagykanizsa, Nyíregyháza, Pécs, Salgótarján, Sopron, Szeged, Székesfehérvár, Szolnok, Szombathely, Tatabánya, Veszprém. (A korábbi 19-hez idén csatlakozott Bonyhád.) A Társulat a verseny lebonyolítására a következő bizottságot kérte fel: Bakos Tibor, Bártfai Pál, Csirmaz László, Fejes Tóth Gábor, Károlyi Gyula (titkár), Kós Géza, Pálmay Lóránt, Pelikán József, Reiman István, Surányi János (elnök), Szeidl Ádám. A bizottság szeptember 27-i ülésén (nem tudott részt venni Bártfai Pál) a következő feladatokat tűzte ki:
1. Igazoljuk, hogy ha egy trapéz átlói merőlegesek, akkor szárainak szorzata legalább akkora, mint a párhuzamos oldalak szorzata.
2. Egy konferenciára két országból, -ból és -ből érkezik egy-egy azonos létszámú küldöttség; tagjaik közül néhányan már régebbről ismerték egymást. Bizonyítsuk be, hogy az országbeli tagok közül kiválasztható néhány (legalább egy) úgy, hogy teljesüljön az alábbi lehetőségek valamelyike:
* | a)a kiválasztottak között a országbeli tagok mindegyikének páros számú ismerőse van; |
* | b)a kiválasztottak között a országbeli tagok mindegyikének páratlan számú ismerőse van. |
3. Jelöljön és tetszőleges nemnegatív egész számot. Tegyük fel, hogy egy konvex -szögnek berajzoltuk átlóját. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan töröttvonal, amely berajzolt átlóból áll, és egyetlen ponton sem halad át egynél többször. Mutassuk meg, hogy átló berajzolása esetén ez nem feltétlenül igaz.
A bizottság a dolgozatok áttanulmányozása után december 6-i ülésén (nem tudott részt venni Bakos Tibor, Bártfai Pál és Károlyi Gyula; utóbbi eljuttatta javaslatát a bizottsághoz), egyhangúlag a következő jelentést fogadta el: ,,A verseny mindenütt rendben zajlott le (viszont a posta késedelmes továbbítása kissé nehezítette a bizottság munkáját). A vidéki városokban összesen 190-en indultak, 179-en adtak be dolgozatot. Budapesten 148 indulótól 138 dolgozat érkezett. Sokan oldották meg az 1. és a 2. feladatot, viszont a 3 feladat két része közül az elsőt csak -re oldotta meg egy versenyző; a másodikra, ellenpélda szerkesztésére születtek értékelhető eredmények, de ezek sem teljesek. Hat versenyző adott végtelen sok esetre vonatkozó ellenpéldát. A feladat általános bizonyításának alapját alkotó ötlet is felmerült, de nem megfelelően alkalmazva. A nem kielégítő eredményt a bizottság megítélése szerint nem annyira a 3. feladat nehézsége okozhatta, mint inkább az, hogy a 2. és 3. feladat együtt túl időigényes volt. Ennek alapján a bizottság I. díjat nem ad ki. Az említett hat dolgozat közül kiemeli a bizottság Lippner Gábor, Braun Gábor és Kun Gábor dolgozatát. Lippner az első két feladat megoldása mellett a harmadikra ellenpéldát ad minden -ra (megfelelően nagy esetén). Leírása nagyon vázlatos, kiegészítés nélkül megfelelő, ha és párossága ellenkező. Braun és Kun is végtelen sok sokszögre és értékre szerkeszt jó ellenpéldát. Ennek alapján II. Kürschák József díjban és 4500‐4500 Ft jutalomban részesül:
Lippner Gábor, aki a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium III. osztályos tanulója, Thiry Imréné, Dobos Sándor és Pósa Lajos tanítványa;
Braun Gábor, a budapesti Szent István Gimnázium IV. (12.) osztályos tanulója, Halek Tamás tanítványa és
Kun Gábor, a budapesti Piarista Gimnázium III. osztályos tanulója, Nyeste Pál tanítványa. Figyelemre méltó még Bárász Mihály, Burcsi Péter és Mátrai Tamás dolgozata. Bárász és Mátrai a 3. feladatnál néhány értékre ad végtelen sok sokszög esetén jó ellenpéldát. Burcsi pedig a feladat első részét esetén bebizonyítja. Ennek alapján dicséretben és 3000‐3000 Ft jutalomban részesül:
Bárász Mihály, aki a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnáziumban tett érettségi vizsgát, tanára Surányi László, Beleznay Ferenc és Dobos Sándor volt;
Burcsi Péter, aki a pápai Türr István Gimnáziumban tett érettségi vizsgát, Spissich László és Németh Zsolt tanár tanítványa volt és
Mátrai Tamás, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Laczkó László és Pósa Lajos tanítványa.'' |