Cím: 1995. Matematika és fizika TOTÓ eredménye
Szerző(k):  Gnädig Péter 
Füzet: 1996/március, 173. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A múlt havi számunkban közreadtuk az 1995. évi Téli Ankéton meghirdetett Totó kérdéseit. A telitalálatos szelvény:

x,x,x,2,2,1,2,2,2,1,2,1,1,x.

Az Ankéton az egyik feladatot (a 13-ikat!) szerencsétlen módon hibás számadatokkal tettük közzé, s így a helyes megoldás nem szerepelt a felkínált lehetőségek között. Ezt a feladatot nem értékeltük, így a maximálisan elérhető találatszám csak 13 volt. A legjobb eredményt 11 találatos szelvényével Varga Tamás (Révkomárom, Selye János Gimn.) érte el, s ezért könyvjutalmat kapott. Dicséretet érdemelnek a 10 találatosok is: Elek Péter, Gombár Zsolt, Gröller Ákos, Havasi Ferenc, Kovács Baldvin, Pallinger Ágnes, Papp Eszter, Rozmán András, Tóth Gábor Zsolt és Varga Dezső.
Néhány megjegyzés a totószelvényen szereplő ,,trükkösebb feladatok'' megoldásáról.
2. Ha egy n fiókos asztalba p valószínűséggel elrejtünk egy levelet, és n-1 fiókot kinyitva még nem találtuk meg azt, akkor az n-edik fiókban ─ meglepő módon ─ p-nél kisebb valószínűséggel találjuk meg a levelet! (Kivételt csak a nyilvánvaló határesetek, p=0 és p=1 képeznek.) Jól látható ez például az n=2, p=1/2 esetben. Ha két darab kétfiókos asztal négy fiókjának valamelyikébe dugjuk a levelet, akkor az egyik (mondjuk a bal oldali) asztalba 1/2 valószínűséggel kerül. Ha ennek az asztalnak egyik fiókjában eredménytelenül kerestük a levelet, a másik fiókban ─ mivel már csak 3, egymással egyenértékű helyen lehet ─ nyilván 1/3 valószínűséggel találjuk meg. Általában a kérdéses valószínűség p/(p+n-np), s ez n>1 és 0<p<1 esetben p-nél kisebb.
3. A felmelegített szobában levő levegő belső energiája ugyanakkora, mint a hideg szobában levő levegőé, hiszen a belső energia a pV szorzattal arányos, s a melegítés során sem a levegő nyomása, sem a szoba térfogata nem változik meg (ha a falak hőtágulásától eltekintünk).
4. Ha egy körön felveszünk n pontot, és bármelyik kettőt összekötjük, az egyenes szakaszok a kör belsejét f(n) részre osztják. Közvetlen leszámolással beláthatjuk, hogy (az elfajult eseteket kizárva) n=1,2,3,4,5 esetekre az f(n) számok rendre 1,2,4,8,16 értékűek. A csalóka látszat ellenére f(n) mégsem exponenciális függvény, hiszen pl. f(6)=31. Az Euler-féle poliédertétel segítségével beláthatjuk, hogy f(n) negyedfokú polinom. A kör belsejében és a kerületén ugyanis összesen c=(n4)+n csomópont található. A belső csomópontok mindegyikébe 4, a kerületi pontokba pedig n+1 él fut, az összes élek száma tehát e=2(n4)+n(n+1)2. Ha most a vizsgált hálózatot képzeletben egy gömb felületére terítjük, akkor Euler tétele értelmében a lapok száma (a kör külsejének megfelelő lap nélkül) f(n)=e-c+1=(n4)+(n2)+1, s ez valóban negyedfokú polinom.
6. Egy hosszú lejtőn rugalmasan pattogó golyó mozgása a vízszinteshez képest a lejtő szögével megdöntött koordinátarendszerből nézve éppen olyan, mintha egy vízszintes asztalon pattogó golyóra a (lecsökkent erősségű) gravitációs erőn kívül még egy állandó nagyságú ,,vízszintes'' erő is hatna. Ekkor a ,,függőleges'' mozgás azonos időközönként bekövetkező pattogások közötti szabadesésből áll, a vízszintes mozgás pedig (egyenletesen gyorsuló lévén) a pattogási helyek távolságára számtani sorozatot ad. (Ez a szellemes, részletes számolást nem igénylő megoldás Major Andrástól származik.)
7. A sorosan és a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét a számtani és a harmonikus közepekre vonatkozó egyenlőtlenség felhasználásával hasonlíthatjuk össze.
10. n darab ellenállás soros kapcsolásával legfeljebb 2n-féle eredő ellenállást kaphatunk, tehát 1000-féle lehetőséghez legalább 10 ellenállás szükséges. Ennyi viszont elegendő is, hiszen 1,2,4,8,...512 ohmos ellenállásokat választva (az előállítandó eredő kettes számrendszerbeli alakjának megfelelően) 1 és 1023 között bármelyik egész számértékű ellenállás megkapható.
11. Egy G súlyú ládát μ súrlódási együtthatójú vízszintesen talajon μG-nél kisebb erővel is el lehet húzni, ha a húzóerő alkalmasan választott α szögben ferdén felfelé hat. Optimális esetben csupán Gμ/1+μ2 húzóerőt kell kifejtenünk.
13 + 1. A súrlódó csőben α szögben bekanyarodó kicsiny test R(α) relatív sebességváltozása eleget kell tegyen az R(α+β)=R(α)⋅R(β) függvényegyenletnek (hiszen egy nagyobb szögű kanyar felfogható egymás utáni két kisebb kanyarként is). Ennek a feltételnek a megadott lehetőségek közül csak az R(α)=e-μα kifejezés tett eleget.
G. P.